专题09 将军饮马模型-最短路径问题全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题09 将军饮马模型-最短路径问题全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【模型一、两定一动】 2 【模型二、两定两动】 2 【模型三、三动点】 3 【模型四、拼接三角形构造全等】 4 【课后练习】 5 【知识点归纳】 将军饮马模型：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 【模型一、两定一动】 例．已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为 ． 变式1．如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    变式2．如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为 ． 【模型二、两定两动】 例．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 变式1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 变式2．在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【模型三、三动点】 例．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 变式1．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 变式2．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【模型四、拼接三角形构造全等】 例．如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（    ）    A． B． C． D． 变式1．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 变式2．如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为 ． 【课后练习】 1．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ． 3．如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 4．如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 5．如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    6．综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 7．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 将军饮马模型-最短路径问题全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【模型一、两定一动】 2 【模型二、两定两动】 5 【模型三、三动点】 8 【模型四、拼接三角形构造全等】 12 【课后练习】 16 【知识点归纳】 将军饮马模型：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 【模型一、两定一动】 例．已知，点为射线上一点，点为的中点，且.当点在射线上运动时 ，则与和的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP,，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可． 【详解】解：作点D关于OA的对称点D′，连接CD′交OA于点P′，连接DP′，根据轴对称的性质得到P′D′=P′D，此时DP′+CP′=CD′即为PC+PD的最小值. 设DD′与OA交于点E， ∵∠O=30°，OD=3，由对称性可知∠DEO=90°, ∴∠ODE=60°，DE=OD=, ∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD， ∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°， ∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°， ∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′= ∴CP′=2DP′=2 ∴DP′+CP′=3 故与和的最小值为3 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质．得出动点所在的位置是解题的关键． 变式1．如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中，，，， ，，， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，，的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 变式2．如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】15° 【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1， ∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点， ∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE， ∴CE为线段BD的垂直平分线， ∴PD=BP， ∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD， ∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值， 连接BP1，则BP1=DP1， ∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC， ∴∠CBP1=∠CDP1， ∵AC=BC=CD， ∴∠CDP1=∠CAD，即 延长AC至Q， ∵∠ACB=90°，∠BCD=60°， ∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1， ∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°， ∴当的值最小时，=15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键． 【模型二、两定两动】 例．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 变式1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　） A．118° B．121° C．120° D．119° 【答案】A 【分析】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N，则的长度即为周长的最小值．根据，得出．根据，，且，，可得，即可求出答案． 【详解】如图，作A关于和的对称点，，连接，交于M，交于N， 根据对称的性质有：，， ∴周长的为． 当点、、M、N四点共线时，的值最小，且最小为， 则的长度即为周长的最小值． ∵， ∴． ∵，，且，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查最短路线问题，三角形内角和定理和三角形外角的定义等知识，利用轴对称的性质确定M、N的位置是解题的关键．考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 变式2．在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值． 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，， ， 两点之间线段最短 的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【模型三、三动点】 例．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴，∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵，∴，∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 变式1．如图，锐角中，，，的面积是，D，E，F分别是三边上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作于，作关于和的对称点和，连接交于，交于，则，求得即可； 【详解】解：如图2，作于，作关于和的对称点和， 连接交于，交于， 由对称性得， ，， ，，，， ，即△DEF周长的最小值是GH的长， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， 的周长的最小值是； 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解决问题的关键是运用“将军饮马”模型和将问题转化为AD的最值问题． 变式2．如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 【模型四、拼接三角形构造全等】 例．如图，等腰中，，当的值最小时，的面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得，则，连接交于，在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小，证明，根据全等三角形的性质得，过点作于，根据含角的直角三角形的性质求出，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，使，连接，    ∵， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 连接交于， 在中，由三角形三边关系可得，则、、三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ， 在和中， ， ， ， 过点作于， ， ， 的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的三边关系、最短距离问题、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式1．如图，在三角形中，，，于D，M，N分别是线段，上的动点，，当最小时， ． 【答案】 【分析】在下方作，使，连接，则最小值为，此时A、N、三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】解：在下方作，使，连接． 则，． ∴， 即最小值为，此时A、N、三点在同一直线上． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 变式2．如图，在矩形中，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，且，当取得最小值时，AE的长为 ． 【答案】 【分析】作，点关于的对称点，过点作的平行线，过点作的平行线，由矩形,，，得到，，，根据对称的性质得到，由，得到，由是平行四边形，得到，，进而得到，由，点到当点在点时，取得最小值，长即为所求，由，求出，由为梯形的中位线，求出，根据，即可求解， 本题考查了，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，特殊角三角函数，梯形的中位线，解题的关键是：通过对称、平移找到． 【详解】解：过点作，垂足为，作点关于的对称点，连接，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，连接与交于点， ∵矩形,，， ∴，，， ∵、关于对称，∴， 又∵，∴，∴， ∵，，∴是平行四边形， ∴，，∴，∴， 在中， ∴当点在点时，取得最小值，长即为所求， ∵，，∴，∴, ∴， ∵为中点，， ∴为梯形的中位线， ∴， ∴， 故答案为：． 【课后练习】 1．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 2．如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=4，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OH即可得出结论． 【详解】解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图， 则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=4， ∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC， ∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC， ∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN周长最小， 作OH⊥CD于H，则CH=DH， ∵∠OCH=30°，∴OH=OC=2， CH=OH=2，∴CD=2CH=．∴△PMN周长的最小值是 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 3．如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点， ∴在上， 连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为7， ∴， ∴ ， 即的最小值为， 故答案为：． 4．如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．可证为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．    是的垂直平分线， ，， ，， ， 为等边三角形． 又与均为等边三角形的高， ， ， 的最小值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握解法是解题的关键． 6．综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 7．在等边中，点D是直线上的一个点（不与点B、C重合），以为边在右侧作等边，连接．    【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段上时，则线段与线段的数量关系为______． 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，猜想三条线段、与的数量关系，并加以证明． 【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现有公共顶点的两个等边三角形时，常常考虑旋转某个三角形，从而使问题得到解决． 【拓展延伸】（3）如图3，边长为a的等边中，是中线，且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，请直接写出周长的最小值． 【答案】（1）    （2），理由见解析    （3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形判定与性质、最短路径问题： （1）由等边三角形的性质可得，，，推出，进而根据“SAS”证得，由全等三角形对应边相等即可得出结论； （2）证明，结合全等三角形的性质，利用线段的和差关系即可得出结论； （3）证明，由全等三角形的性质得，进而根据等边三角形的性质可得，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，再根据线段的和差关系，即可得到答案． 【详解】（1）证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， . 故答案为：； （2）解：. 证明：与都是等边三角形， ，，， . 即. 在和中， ， . ， . （3）解：如图，连接， ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， 等边中，是中线，且， ，，， 点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，当点运动到点时，周长的最小，    ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$