专题07 全等三角形之截长补短模型全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题07 全等三角形之截长补短模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 4 【知识点归纳】 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： ①截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 在线段上截取 ②补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 延长，使得 小结：当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 【例题精讲】 例1．（截长）已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N． （1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系； （2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明； （3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系． 例2．（补短）如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 例3．（旋转型）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 例4．（角平分线型）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【课后练习】 1．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 2．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 3．已知等腰中，，点在直线上，，交直线于点，且，，垂足为． （1）当点在线段上时，如图1，求证； （2）当点在线段的延长线上时，如图2；当点在线段延长线时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 4．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系； （2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论； （3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值． 5．如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且． 求证： 如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 6．把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 7．已知是等边三角形，． （1）如图1，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求的值； （2）如图2，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，求的最小值． 8．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 9．已知：在中，，．将按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点落在轴的负半轴上，使得点落在轴的正半轴上，点在第二象限，并且满足． （1）由题意可知_____，_____（直接写答案）； （2）求点的坐标； （3）的斜边交轴于，直角边交轴于．在上截取，连接．探究线段的数量关系并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 全等三角形之截长补短模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 12 【知识点归纳】 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： ①截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 在线段上截取 ②补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 延长，使得 小结：当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 【例题精讲】 例1．（截长）已知等边三角形ABC，D为△ABC外一点，，BD=DC，，射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N． （1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系； （2）当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明； （3）当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并求出BM、NC、MN之间的数量关系． 【答案】（1）BM+NC=MN，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN，证明见解析． 【分析】（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN； （2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立； （3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN． 【详解】解（1）BM、NC、MN之间的数量关系：BM+NC=MN． 证明如下： ∵BD=DC，DM=DN， ∴∠BDC=∠DCB=，△MDN为等边三角形， ∴MN=MD=DN， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）， ∴∠BDM =∠CDN=， ∴, ∴BM+NC=MN． （2）猜想：结论仍然成立．    证明：在CN的反向延长线上截取CM1=BM，连接DM1． ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， （3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．    与（2）同理可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1， 与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N， ∴NC-BM=MN． 【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法． 例2．（补短）如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）利用所在直线是的垂直平分线，点F在直线AD上即可得出结论． （2）由是等边三角形，得AC=AE=AB推得．易证≌（SSS），即可， （3）延长至点处，使，连接．先证直角三角形≌（SAS），推出，．再证．求出，．用表示．而，得．可证≌（SAS），可推得即可． 【详解】（1）证明：∵，是边的中点， ∴所在直线是的垂直平分线， 又∵点F在直线AD上 ∴． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 由（1）可知，， 又∵，， ∴≌（SSS）， ∴， ∴． （3）解：如图，延长至点处，使，连接． ∵，是边的中点， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，，， ∴≌（SAS）， ∴，． 由（2）可知，， ∵， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，∴， ∴． ∵，，∴≌（SAS）， ∴，∴， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形全等判定与性质，会利用引辅助线构造三角形全等转化线与线关系，角与角关系来解决问题． 例3．（旋转型）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论； （2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论 【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，    在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）结论：． 理由：如图2中，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长到，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 例4．（角平分线型）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题； （2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案； （3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC， ∴，， ∵，， ∴， ∵AD为△ABC的角平分线，即， ∴； ∴ （2）如图2， 在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC， ∴AG+AC＝EC，即， ∴， 设，则； 又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴； 当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立； 当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立； 如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC， ∴AG+AC＝EC，即， ∴， 设，则； 又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS），∴， ∴，解得：， ∴． ∴∠ACB的度数为44°或104°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键． 【课后练习】 1．如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接． （1）探究、、之间的关系，并说明理由； （2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE． 【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得，，延长AB至G，使得BG=CF，连接DG，进而证明，再根据全等三角形对应边相等的性质解得，再结合等腰三角形的性质可证明，最后根据全等三角形的性质解题即可； （2）在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明得到，据此方法再证明，最后根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】（1）和是等腰三角形， 延长AB至G，使得BG=CF，连接DG 在和中， BG=CF， ， 在和中， DE=DE， ， （2）在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 3．已知等腰中，，点在直线上，，交直线于点，且，，垂足为． （1）当点在线段上时，如图1，求证； （2）当点在线段的延长线上时，如图2；当点在线段延长线时，如图3，线段，，又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】（1）见解析；（2）图2：；图3： 【分析】（1）在线段AH上截取HM=BH，连接CM，CD，证明△DMC≌△DEC，即可可得DE=DM则结论可得； （2）当点D在线段BA延长线上时，在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE=DM，则可得DH=BH-DE；当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE=DM，则可得DE=DH+BH．． 【详解】解：（1）证明：在上截取，连接，． ∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）当点D在线段BA延长线上时，DH=BH-DE 如图：在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD=BC， ∴∠BDC=∠DCB ∵DE∥BC ∠E=∠ACB=∠B=∠EDB ∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM ∴△BHC≌△CHM ∴∠B=∠M ∴∠E=∠M ∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC 又∵∠E=∠M，DC=CD ∴△DEC≌△DMC ∴DE=DM ∵DH=MH-DM ∴DH=BH-DE 当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH 如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD ∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90° ∴△MHC≌△BHC ∴∠ABC=∠BMC ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB， ∵BD=BC ∴∠BDC=∠BCD ∵BC∥DE ∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED ∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD ∴△CDM≌△CDE ∴DE=DM ∵DM=DH+HM ∴DE=DH+BH． 【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键． 4．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系． （1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系； （2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论； （3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）仍然成立．证明见解析；（3）． 【分析】（1）连接GE，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论； （2）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质可得，，然后利用ASA即可证出，从而得出结论； （3）在的延长线上截取，连接，AF，利用ASA证出，可得为等腰直角三角形，设CA=CB=a，则，利用勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：（1）， 连接GE ∵，点是的中点，点G为AC的中点 ∴AG=CG=CE=EB， 因为， 所以，． 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 在与中， 所以． 所以 （2）仍然成立． 在上截取，连接． 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以，． 所以． 在与中， 所以． 所以． （3）如下图所示，在的延长线上截取，连接，AF 因为， 所以． 因为，， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， ∴∠EBF=180°－∠ABF－∠ABC=45°． 所以． 在与中， 所以． 所以． ∴为等腰直角三角形 设CA=CB=a，则 ∴CE=a＋na 由勾股定理可得AE== ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握构造全等三角形的方法是解决此题的关键． 5．如图1，在四边形中，，，它的两边分别交点．且． 求证： 如图2，当的两边分别交的延长线于点，其余条件均不变时，中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段又有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF，理由见详解 【分析】（1）延长到，使，连接，由题意易证，则有，进而可证，然后根据线段的等量关系可求解； （2）在AE上截取AH=CF，连接BH，然后根据题意易证△ABH≌△CBF，则有BH=BF，∠ABH=∠CBF，进而可得△EBF≌△EBH，最后根据线段的等量关系可求解． 【详解】证明：延长到，使，连接，如图所示： ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； （2）不成立，AE=CF+EF，理由如下： 在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示： ， ， ∵AB=CB， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH=BF，∠ABH=∠CBF， ∵，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH， ∴∠EBF=∠EBH， ∵EB=EB， ∴△EBF≌△EBH（SAS）， ∴CF=AH，EF=EH， ∵AE=AH+HE， ∴AE=CF+EF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6．把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形以D为顶点作，交边、于M、N． (1)若，，两边分别交、于点M、N，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，证明见解析； (3)作图见解析，． 【分析】（1）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到E，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【详解】（1）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （2）．证明如下： 如图，延长到E，使，连接． ， ． ， ，． 在和中， ， ， ，． ，，， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ； （3）补充完成题图，如图所示． ．证明如下： 如上图，在上截取，连接． ，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．已知是等边三角形，． （1）如图1，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求的值； （2）如图2，过点作于点，点是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，求的最小值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）在CN上截取点H，使CH=CM，先证出△CMH为等边三角形，然后利用ASA证出△AMC≌△NMH，从而得出AC=NH，从而求出结论； （2）连接BQ，利用SAS证出△QCB≌△PCA，从而得出∠CBQ=∠CAP，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ⊥BQ时，DQ最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：（1）在CN上截取点H，使CH=CM，连接MH ∵△ABC为等边三角形 ∴∠ACB=60°，AC=AB=6 ∴∠ACM=180°－∠ACB=120° ∵CN平分∠ACM ∴∠MCN=∠ACM=60° ∴△CMH为等边三角形 ∴CM=HM，∠CMH=∠CHM=60° ∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC＋∠AMH=60° ∴∠ACM=∠NHM ∵ ∴∠NMH＋∠AMH=60° ∴∠AMC=∠NMH 在△AMC和△NMH中 ∴△AMC≌△NMH ∴AC=NH ∴=CN－CH=NH=AC=6 （2）连接BQ ∵△ABC和△CPQ都是等边三角形 ∴BC=AC，QC=PC，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60° ∴∠PCQ－∠PCB=∠ACB－∠PCB ∴∠QCB=∠PCA 在△QCB和△PCA中 ∴△QCB≌△PCA ∴∠CBQ=∠CAP ∵ ∴∠CAP=∠BAC=30°，BD=BC=3 ∴∠CBQ=30° ∴∠ABQ=∠ABC＋∠CBQ=90° ∴点Q在过点B作AB的垂线上运动 根据垂线段最短可得：当DQ⊥BQ时，DQ最短 此时在Rt△BDQ中，∠QBD=30° ∴DQ=BD= 即DQ的最小值为． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 8．等边中，点、分别在边、上，且，连接、交于点． （1）如图1，求的度数； 图1 （2）连接，若，求的值； （3）如图2，若点为边的中点，连接，且，则的大小是___________． 图2 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由是等边三角形，可得出，，再利用，可证，得出，由可求出，最后由补角定义求出. （2）在上取点，使，由可证，再利用，，可证明，进而求出，再用补角的性质得知，在中利用外角的性质可求出，进而证出为等腰三角形，最后可证出即可求解. （3）延长至，使为等边三角形，延长交于，可得出，进而得出，利用角的和差得出，则证出，进而证出，再利用，证出为等边三角形，进而证出. 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）在上取点，使． 由（1）知， 又， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）． 提示：目测即得答案．详细理由如下： 由（1）知．延长至，使为等边三角形． 延长交于． ∵ ， ∴， 在和中， , ∴， ∴． ∴， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴ ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键. 9．已知：在中，，．将按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点落在轴的负半轴上，使得点落在轴的正半轴上，点在第二象限，并且满足． （1）由题意可知_____，_____（直接写答案）； （2）求点的坐标； （3）的斜边交轴于，直角边交轴于．在上截取，连接．探究线段的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）3，4；（2）；（3）BE=DF+AD，理由见解析 【分析】（1）由非负数的性质求出m，n即可； （2）如图，作CH⊥y轴于点H，只要证明△ACH≌△BAO即可解决问题； （3）在OB上取一点K，使得OK=DH，则△CHD≌△AOK，再证明DF=EK，AD=BK即可解决问题． 【详解】解：（1）∵ ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴OA=3，OB=4， 故答案为：3，4 （2）如图，作CH⊥y轴于点H， ∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°， ∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°， ∴∠ACH=∠BAO， ∵AC=BC， ∴△ACH≌△BAO， ∴AH=OB=4，CH=OA=3， ∴OH=1， ∴ （3）结论为：BE=DF+AD 理由：如图，在OB上取一点K，使得OK=DH， ∵CH=OA，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK， ∴△CHD≌△AOK（SAS）， ∴CD=AK， ∵AD=BK，AB=AC， ∴△AKB≌△CDA（SSS）， ∴∠KAB=∠ACD=45°， ∴∠EAK=45°=∠FCD， ∵CE=AF， ∴CF=AE， ∵CD=AK， ∴△CDF≌△AKE（SAS） ∴DF=KE， ∵BE=EK+BK， ∴BE=DF+AD 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$