专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 5 【知识点归纳】 “一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。 “三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。 基本图形如下： 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：， CE=DE 证明思路：，任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，任意一边相等 证明思路：，任一边相等 【例题精讲】 例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．      （3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．    例2．（异侧一线三直角）如图1，，，，，连接、，交于点． (1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； (3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 例3．（一线三等角）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 例4．（坐标系中的K字模型）如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上． （1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标； （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； （3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围． 例5．（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则 ； （2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．    【课后练习】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； ②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 2．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 5．如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，过点D作于点，过点E作于点． （1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段、、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线于点H，可以先证明和________，于是可得：________和________，所以得到线段、、AB之间的数量关系是________； （2）【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段、、AB之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段，，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为________． 6．已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形之一线三等角模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 13 【知识点归纳】 “一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。 “三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。 基本图形如下： 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：， CE=DE 证明思路：，任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，任意一边相等 证明思路：，任一边相等 【例题精讲】 例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，，垂足分别为点、．证明：①；②．    （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．      （3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．    【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE；证明见解析；（3）见解析 【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD＋CE； （2）由条件可知∠BAD＋∠CAE＝180°−α，且∠DBA＋∠BAD＝180°−α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【详解】（1）①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l ∴∠BDA=∠CEA=90° ∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90° ∴∠CAE=∠ABD ②在△ADB和△CEA中 ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立：DE=BD+CE证明如下： ∵∠BDA=∠BAC=α ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α ∴∠DBA=∠CAE 在△ADB和△CEA中 ∴△ADB≌△CEA（AAS） ∴AE=BD、AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）如图过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N ∴∠EMI=GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中 ∴△EMI≌△GNI（AAS） ∴EI=GI ∴I是EG的中点．    【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键． 例2．（异侧一线三直角）如图1，，，，，连接、，交于点． (1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； (3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设交于点，根据已知条件证明，可得，，进而根据三角形内角和可得，即可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件证明，可得，进而根据即可求解； （3）过点，分别作的垂线，交的延长线于点，，可得，进而根据三角形面积公式求得，根据等底等高可得． 【详解】（1），理由如下， 如图，设交于点， ，， ， ， ， 又，， ， ，， 又， ， ， （2）、分别平分和， ，， ， , ， 在与中， ， ， ， ， ； （3）如图，过点，分别作的垂线，交的延长线于点， ， ， ， 又， ， ， 的面积为，的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 例3．（一线三等角）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先根据同角的余角相等得出，再根据AAS证明即可； （2）先根据已知条件证明，，再根据AAS证明即可； （3）根据得出，再根据与的面积之和是6，的面积是15，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：对图标注如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴； （3）解：对图中的角进行标注， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的面积之和是6，的面积是15， ∴，， ∵与等高，， ∴底边之比3：5， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 例4．（坐标系中的K字模型）如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上． （1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标； （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； （3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围． 【答案】（1）（0，5）（2）（3）不变，等于2． 【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题； （2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到，求得BM＝（−1）a，MC＝（2− ）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答， （3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题． 【详解】解：（1）如图1，作CD⊥BO于D， ∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°， ∴∠CBD＝∠BAO， 在△ABO和△BCD中，， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴CD＝BO＝5， ∴B点坐标（0，5）； （2）设AB＝BC＝a， 则AC＝a， ∵MA（即x轴）平分∠BAC， ∴， 即MC＝BM， ∵BC＝BM＋MC＝a， ∴BM＋BM＝a， 解得BM＝（−1）a，MC＝（2−）a 则AM＝a， ∵∠ABM＝∠CDM＝90° 且∠AMB＝∠CMD ∴Rt△ABM∽Rt△CDM， ∴，即CD＝， ∴； （3）的长度不变，理由如下： 如图3，作EG⊥y轴于G， ∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°， ∴∠BAO＝∠EBG， 在△BAO和△EBG中，， ∴△BAO≌△EBG（AAS）， ∴BG＝AO，EG＝OB， ∵OB＝BF， ∴BF＝EG， 在△EGP和△FBP中，， ∴△EGP≌△FBP（AAS）， ∴PB＝PG， ∴PB＝BG＝AO＝2． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键． 例5．（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则 ； （2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．    【答案】（1）或．（2）231 【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）作于M，于N，证明，，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    如图：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 故答案为：或．    （2）作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 同理，， ∴， ∵， ∴， ， ．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 【课后练习】 1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 (1)如图，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到___________，___________．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； 【模型应用】 (2)①如图，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； ②如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为平面内任一点．若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答； （2）①作于，于，证明，，根据全等三角形的性质得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点，利用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 故答案为：；． （2）①证明：如图，作于，于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴点是的中点； ②解：如图，和是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 过点作轴于点，过点作轴于点，两直线交于点，过点作轴于点，交于点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 由（1）可知，， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， 又∵， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为， ∵，，， 由（1）可知，， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，是以为斜边的等腰直角三角形，点B的坐标为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 (3)10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识； （1）由全等三角形的性质可得出答案； （2）过点作交于点，过点作交于点，证明，得出；同理可得：．得出，证明，由全等三角形的性质可得出； （3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 4．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 5．如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，过点D作于点，过点E作于点． （1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段、、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线于点H，可以先证明和________，于是可得：________和________，所以得到线段、、AB之间的数量关系是________； （2）【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，试探究三条线段、、AB之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】在图2中，当D、E两点分别在直线a的上方和下方时，小华同学测得线段，，请用含有m、n的代数式表示△ABC的面积为________． 【答案】（1）△CBH；；；；（2），理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据AAS证明△DA≌△HAC，得到D=AH，同理=BH，即可得到结论； （2）过点C作于点G，证明≌，得到，同理可得：，，由得到； （3）由前面证明可知CG=B，CG=A，求出B=A=（-AB）=(m-n)，再根据三角形面积公式求出答案. 【详解】解：（1）∵，， ∴∠=∠CHA=， ∴∠DA+∠AD=90°，∠AD+∠CAH=90°， ∴∠DA=∠CAH， ∵AD=AC， ∴△DA≌△HAC， 同理△CBH， ∴D=AH，=BH， ∴ 故答案为：△CBH，，，； （2）． 理由：如图，过点C作于点G， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 在和中， ∴≌， ∴， 同理可得：， ∴， 由图可得：， ∴； （3）∵CG=B，CG=A， ∴B=A=（-AB）=(m-n)， ∴△ABC的面积===， 故答案为：. 【点睛】此题考查三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定及性质定理，根据题意找到对应相等的边或角运用定理解决问题，解题中注意运用类比方法思考问题，图形中的点的位置变化，但是问题不变，思考问题的方法及证明思路也应该不变. 6．已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中，， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$