专题05 全等三角形之手拉手模型全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题05 全等三角形之手拉手模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 4 【知识点归纳】 模型一：等腰三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 模型二：等边三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 模型三：等腰直角三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 【例题精讲】 例1．（等腰三角形手拉手）在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接. （1）如图，当 在线段上时，求证：. （2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由. （3）如图，当点在线段上，，，求最大值. 例2．（等边三角形手拉手）在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E． （1）如图①，连结CD，AE，求证：； （2）如图②，若，，求DE的长； （3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数． 例3．（直角三角形手拉手）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由． （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 例4．（培优1）【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图； 【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求； 【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长． 例5．（培优2）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________； （2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：． （3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【课后练习】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合）， ①求证：△ABD≌△ACE； ②求证： （2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____． （3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．    2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长． 3．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图，当点在线段上，如果，则______度． （2）设，． ①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． ②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 4．（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    5．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE． （1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度； （2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积； （3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想． 6．如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 7．已知：点A(0，3)，点B(-3，0)，E(e，0)是x轴上一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转90°到AF， （1）如图1，若e=1，则点F的坐标是 ； （2）过F点作FD⊥y轴于D点， ①如图2，当3<e<0时，试探求线段OD，OE满足的数量关系． ②当e<3时，直接写出线段OD，OE满足的数量关系． ③当e>0时，直接写出线段OD，OE满足的数量关系． （3）连接BF，BF与y轴交于G点，若BO：BE=2，求AG：OG的值． 8．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上． （1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度； （2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数； （3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 全等三角形之手拉手模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 2 【课后练习】 12 【知识点归纳】 模型一：等腰三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM； 模型二：等边三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°； 模型三：等腰直角三角形的手拉手模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°； 【例题精讲】 例1．（等腰三角形手拉手）在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接. （1）如图，当 在线段上时，求证：. （2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由. （3）如图，当点在线段上，，，求最大值. 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）2 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （2）同（1）先证明，得到∠ACE=∠ABD，结合等腰三角形的性质和外角和定理用不同的方法表示∠ACE，得到和关系式； （3） 同（1）先证明，得到，那么，当时，最小，即最大． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）同（1）的方法得， ∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α， ∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α， 在中， ∵AB= AC，∠BAC=β， ∴∠ACB=∠ABC =(180°-β)= 90°-β， ∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+β，∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-β+α， ∵∠ACE=∠ABD = 90°+β，∴90°-β+α= 90°+β，∴α = β； （3）如图，过A做于点H，∵，， ∴，， 同（1）的方法得，， ,， 即，∴， 当最小时，最大， 当时最小，， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，解题的关键是抓住第一问中的那组全等三角形，后面的问题都是在这个基础上进行证明的． 例2．（等边三角形手拉手）在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E． （1）如图①，连结CD，AE，求证：； （2）如图②，若，，求DE的长； （3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）∠DEB＝30°. 【分析】（1）欲证明CD＝AE，只要证明△ABE≌△DBC即可； （2）如图②，取BE中点F，连接DF，首先证明△DBF是等边三角形，然后证明△BDE是直角三角形，再利用勾股定理计算即可； （3）如图③，连接DC，先证明△ABE≌△DBC，再利用勾股定理的逆定理证明△DEC是直角三角形，得到∠DEC＝90°即可解决问题． 【详解】解：（1）∵△ABD和△ECB都是等边三角形， ∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴CD＝AE； （2）如图②，取BE中点F，连接DF， ∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°， ∴△DBF是等边三角形， ∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°， ∵∠BFD＝∠FED＋∠FDE， ∴∠FDE＝∠FED＝30° ∴∠EDB＝180°−∠DBE−∠DEB＝90°， ∴DE＝； （3）如图③，连接DC， ∵△ABD和△ECB都是等边三角形， ∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中，， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝DC， ∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE， ∴DE2＋CE2＝CD2， ∴∠DEC＝90°， ∵∠BEC＝60°， ∴∠DEB＝∠DEC−∠BEC＝30°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键，要学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型． 例3．（直角三角形手拉手）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由． （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD 【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可； （2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可； （3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可． 【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD， 证明：延长BD交AC于点E． ∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º， ∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，  ∴∠OAC=∠OBD， ∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD； （2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G． ∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º， ∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD，∠OAC=∠OBD， ∵∠AGF=∠BGO， ∴∠AFG=∠BOG=90º， ∴AC⊥BD； （3）AC=BD，AC⊥BD． 证明：BD交AC于点H，AO于M， ∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形， ∴OC=OD，OA=OB， ∠DOC=BOA=90º， ∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC=BD，∠OAC=∠OBD， ∵∠AMH=∠BMO， ∴∠AHM=∠BOH=90º， ∴AC⊥BD．     ． 【点睛】本题考查了三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键． 例4．（培优1）【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图； 【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求； 【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）5 【分析】（1）根据旋转的定义和性质解答； （2）由题意可以得到由此可得 和PC=AM，最后由△PAC的面积等于4.5可以求得PC的值； （3）根据三角形的性质解答． 【详解】（1）如图，作，连结，则即为所求作的图形： （2）作线段垂直于交延长线于点 连接 为等腰直角三角形， 在与中： （3）5．证明如下： 如图，将顺时针旋转至，则，， ， ，即 为直角三角形，其中，，由勾股定理得， 又旋转角为，即， 则，即， 在与中， 【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、旋转的意义和性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键． 例5．（培优2）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________； （2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：． （3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据，AD=AE，运用SAS证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； （2）把绕点A顺时针旋转，得到 ，连接DG，由SAS得到，可得DE=DG，即可把EF、BE、FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明； （3）把绕点A顺时针旋转，得到，可得AF=AE，，EC=BF，，由SAS可证，可得DF=DE，由以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD ∵绕点A逆时针旋转，得到 ∴ ∴， ∴ ∵BA=CA，AD=AE ∴ ∴且CE=BD ∵ ∴，即CE⊥BD 故答案为：CE⊥BD；CE=BD； （2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG， 则 ∴AG=AE，BG=CE， ∵， ∴ 在和中， ∴ ∴ED=GD ∵ ∴ 即 （3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到， ∴ ∴AF=AE，，EC=BF， ∵，AB=AC ∴ ∴ ∵， ∴，且AF=AE，AD=AD ∴，∴DF=DE ∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形 ∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形，∴是直角三角形 若，且，∴BF=2BD=EC， ∵ ∴，∴，∴ 若，且 ∴BD=2BF=2EC， ∵ ∴，∴BD=2，，∴ 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【课后练习】 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A､D､E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE． （1）如图1，若点D在BC边上（点D与B､C不重合）， ①求证：△ABD≌△ACE； ②求证： （2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____． （3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．    【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①根据∠BAC=∠DAE，推出∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC，AD=AE，即可证明△ABD≌△ACE，②根据∠ABD=∠ACE，可得∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠BCE，根据BD=CE，即可证明结论； （2）过点A作AF⊥DE于点F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得AF＝DE，利用全等三角形的判定定理可得△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可得∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，易得EC＝5，DC＝12，利用勾股定理可得DE的长，利用三角形的面积公式可得结论； （3）根据Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，求得CE＝＝8，进而得出CD＝8−6＝2，在Rt△DCE中，求得DE＝=，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长． 【详解】（1）①∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE， ②∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， ∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°， ； （2）过点A作AF⊥DE于点F．    ∵AD＝AE， ∴点F是DE的中点， ∵∠DAE＝90°， ∴AF＝DE， 同理可证△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC， ∵DB＝5，BC＝7， ∴EC＝5，DC＝12， ∵∠DAE＝90°， ∴∠ADE＋∠AED＝90°， ∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°， ∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°， 即∠CED＋∠CDE＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169， ∵DE＞0， ∴DE＝13， ∴AF＝， ∴△ADE的面积为＝DE•AF＝×13×＝； （3）由（1）可知：△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°， ∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6， ∴CE＝＝8， ∴BD＝CE＝8， ∴CD＝8−6＝2， ∴Rt△DCE中，DE＝=， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝＝=． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE． (1)求证：△ABD≌△ACE； (2)若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，请直接写出AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据等角的余角相等证明∠BAD=∠CAE，后利用SAS证明全等即可． （2）连接FE，先证，再证，后利用SAS证明全等△DAF≌△EAF即可． （3）连接DE，先计算DF长，再计算DC及其DE的长，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵AE⊥AD， ∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°， 又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE． （2）结论：．理由如下： 连接FE，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠3=45°， 由⑴知△ABD≌△ACE， ∴∠4=∠B=45°，BD=CE， ∴∠ECF=∠3+∠4=90°， ∴， ∴， ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF=∠EAF， 在△DAF和△EAF中 ， ∴△DAF≌△EAF， ∴DF=EF， ∴． （3）连接DE， 由⑵的结论，， 因为BD＝3，CF＝4， 所以， ∴DF=5， ∴DC=DF+CF=9， 在Rt△CDE中，， ∴， ∴DE=3； ∴在等腰直角△ADE中， ， ∴，∴AD=． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图，当点在线段上，如果，则______度． （2）设，． ①如图，当点在线段上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． ②如图，当点在线段的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）90；（2）①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE的度数； （2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD=∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证△ADB≌△AEC得出∠ABD=∠ACE，再用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴∠ABC=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°， 故答案为：90； （2）①． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∵∠ACE+∠ACB=β， ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ② 当点在射线的反向延长线上时，． 理由如下： ∵， ∴， 在△ABD与△ACE中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键． 4．（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【答案】（1）①60°；②；（2）；（3）的度数是或 【分析】（1）①由条件易证，从而得到：．由点，，在同一直线上和等边三角形性质可求出，从而可以求出的度数． ②由①得，即可得出． （2）仿照（1）中的解法可求出的度数，证出；由为等腰直角三角形可求，从而由勾股定理得出结论． （3）分两种情况求解，由（1）知，得，由，可知，根据三角形的内角和定理可知∠． 【详解】解：（1）①如图，    和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为． ②≌， ． 故答案为． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （3）如图，由（1）知，    ， ， ， 如图，同理求得    ∴， ， 的度数是或 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识，得出是解本题的关键． 5．如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE． （1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为________度； （2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面积； （3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想． 【答案】（1）27；（2）；（3）BG=MN+CN，证明见解析． 【分析】（1）证明△ACD≌△BCE得∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACD，由三角形内角和定理可解决问题； （2）过C作CG⊥DE于点G，由（）1）可证△ACD≌△BCE得BE=AD=3，证明△CGF≌△BEF得CG=3，EF=，根据三角形面积公式可计算出结果； （3）过点C作CF//AB交BG于点F，证明四边形CNBF是平行四边形得CN=BF，CF=BN，证明得GF=MN，进一步可得结论． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴ ∵, ∴△ACD≌△BCE ∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28° ∵∠DCB=10° ∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-10°=80° ∴∠BCE=80° ∴∠CEB=180°-∠CBE-∠BCE=72° ∴∠DEB=∠CEB-∠CED=72°-45°=27°； 故答案为27； （2）过C作CG⊥DE于点G，如图， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴,∠CGE=90° 由（1）同理可证明：△ACD≌△BCE ∴BE=AD=3，∠CEB=∠CDA=180°-45°=135° ∴∠GEB=∠CEB-∠CED=135°-45°=90°=∠CGF ∵CF=BF，∠CFG=∠EFB ∴△CGF≌△BEF ∴GF=EF=，GC=BE=AD=3 ∵CG=GE ∴GF=EF= ∵∠CGF=90° ∴ （3）过点C作CF//AB交BG于点F， ∴∠GCF=∠CAB=∠CBA=45° 由（1）同理可得，△ACD≌△BCE ∴∠BEC=∠ADC ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90° ∴∠BEC=90°=∠DCE ∴CN//BF ∵CF//BN ∴四边形CNBF是平行四边形 ∴CN=BF，CF=BN 在△BMN和△CGF中， ∴ ∴GF=MN ∴BG=GF+BF=MN+CN 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 6．如图1，等边中，分别交、于点D、E． (1)求证：是等边三角形； (2)将绕点C顺时针旋转（），设直线与直线相交于点F． ①如图2，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由； ②若，，当B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)①固定不变；②或8 【分析】（1）先判断出，进而得出，，即可得出结论； （2）①先判断出，得出，进而得出答案； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．过点作于，求出，，进而求出，即可得出答案； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，同Ⅰ的方法，即可得出答案． 【详解】（1）是等边三角形， ， ∵，，．是等边三角形； （2）①的度数是定值，理由如下：如图2， 在和中，， ， ， 又， ； ②Ⅰ、当，，三点共线，且在上方时．如图3， 过点作于，在中，，． ∴，∴，； 在中，，； Ⅱ、当，，三点共线，且在下方时，如图4， 过点作于， ． 同理可得，综上所述，或8． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解本题的关键． 7．已知：点A(0，3)，点B(-3，0)，E(e，0)是x轴上一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转90°到AF， （1）如图1，若e=1，则点F的坐标是 ； （2）过F点作FD⊥y轴于D点， ①如图2，当3<e<0时，试探求线段OD，OE满足的数量关系． ②当e<3时，直接写出线段OD，OE满足的数量关系． ③当e>0时，直接写出线段OD，OE满足的数量关系． （3）连接BF，BF与y轴交于G点，若BO：BE=2，求AG：OG的值． 【答案】（1）；（2）①OD+EO=3；②EO-OD=3；③OD-EO=3；（3）3或5． 【分析】（1）结合题意，可得AE=AF，，从而通过证明得DF=AO、AD=EO，从而完成求解； （2）①结合题意，可得AE=AF，，从而通过证明得DF=AO、AD=EO，从而完成求解； ②结合题意，通过证明得DF=AO、AD=EO，从而完成求解； ③结合题意，通过证明得DF=AO、AD=EO，从而完成求解； （3）分E在线段OB上、E在B点左侧、E在O点右侧三种情况分析；经分别证明和△GDF≌△GOB，结合图形，分别得到AG和OG的值，即可完成求解． 【详解】（1）如图，作FD⊥y轴于点D ∵线段AE绕点A逆时针旋转90°到AF ∴AE=AF， ∴ ∵x轴⊥y轴 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点A(0，3)，点B(-3，0)，e=-1 ∴EO=1 ∴DF=AO=3，AD=EO=1 ∴DO=AO-AD=2 ∴F的坐标是； （2）①∵FD⊥y轴于点D 则∠ADF=90° ∴∠AFD+∠DAF=90°， ∵∠EAO+∠DAF=∠EAF=90° ∴∠EAO=∠AFD ∵∠AOB=∠ADF=90°，AE=AF ∴ ∴AD=EO，DF=AO=3 ∴OD=AO-AD=3-EO 即：OD+EO=3； ②过F点作FD⊥y轴于D点 则∠ADF=90° ∴∠AFD+∠DAF=90°， ∵∠EAO+∠DAF=∠EAF=90° ∴∠EAO=∠AFD ∵∠AOB=∠ADF=90°，AE=AF ∴ ∴AD=EO，DF=AO=3 ∴OD=AD-AO=EO-AO=EO-3 即：EO-OD=3； ③过F点作FD⊥y轴于D点 则∠ADF=90° ∴∠AFD+∠DAF=90° ∵∠EAF=90° ∴∠EAO+∠DAF=180°-90°=90° ∴∠EAO=∠AFD ∵∠AOB=∠ADF=90°，AE=AF ∴ ∴AD=EO，DF=AO=3 ∴OD=AD+AO=EO+AO=EO+3 即： OD-EO=3； （3）当E在线段OB上 由（2）得： ∴FD=AO=OB，AD=OE； ∵BO：BE=2 ∴BO=2BE ∴ ∴ 在△GDF和△GBO ∵∠FGD=∠BGO，∠FDG=∠AOB=90°，FD=BO ∴△GDF≌△GOB ∴DG=OG ∵DG+OG=OD ∴DG=OG=OD= ∴AG=AO-OG= ∴==3； 当E在O点右侧 ∵BE>BO 和BO：BE=2矛盾，故不符合题意； 当E在B点左侧 ∴AE=AF， ∴ ∵x轴⊥y轴 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴FD=AO=OB，AD=OE； ∵BO：BE=2 ∴BO=2BE ∴ ∴ 在△GDF和△GBO ∵∠FGD=∠BGO，∠FDG=∠AOB=90°，FD=BO ∴△GDF≌△GOB ∴DG=OG ∵DG+OG=OD ∴DG=OG=OD= ∴AG=AO+OG= ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形、图形旋转、直角坐标系的知识；求解的关键是熟练掌握全等三角形、图形旋转的性质，从而完成求解． 8．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上． （1）如图1，连接BE，若AE＝3，BE＝，求FC的长度； （2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中，直线EF分别与直线AC，BC交于点M，N，当△CMN是等腰三角形时，求旋转角α的度数； （3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B，E，F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE，猜想AE，CF和BP之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）22.5°或45°或112.5°；（3）CF＋AE＝BP，见解析 【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝7，求出EC＝EF＝4即可解决问题； （2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可； （3）结论：CF＋AE＝BP．如图3中，过点A作AD⊥AE，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1中， 在Rt△ABE中，AB＝， ∴AC＝AB＝7， ∴EF＝EC＝AC﹣AE＝7﹣3＝4， ∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3， ∴CF＝； （2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时， α＝∠MCE＝∠ECN＝∠ACB＝22.5°． 如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°． 如图2﹣3中，当CN＝CM时， ∠NCE＝∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°＋67.5°＝112.5°． 综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°． （3）结论：CF＋AE＝BP． 理由：如图3中，过点A作AD⊥AE， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵∠BAC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABP＝∠ACE， ∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（ASA）， ∴BD＝EC＝EF，AD＝AE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE， ∵P是BF的中点， ∴BP＝BF， ∵BP＝BF＝（2EF＋DE），CF＝EF，DE＝AE， ∴BP＝（CF＋AE）， ∴CF＋AE＝BP． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$