专题04 全等三角形之倍长中线模型全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题04 全等三角形之倍长中线模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 1 【课后练习】 5 【知识点归纳】 模型1. 在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则 模型2. 为的中点 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 模型3. 已知，点为线段的中点 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 倍长中线原理：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角和对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角，一般用“SAS”证明对应边之间的关系。 【例题精讲】 例1．（模型1）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1），∴， 在中，（依据2），∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 例2．（模型2）如图，，平分，点为中点，求证：．    例3．（模型3）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    例4（培优1）．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α. (1)当α=60°, 如图则，∠DPE的度数______________ (2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示） (3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证 ：EC ⊥ BF 例5．（培优2）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【课后练习】 1．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由． 3．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点E，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则x的取值范围是__________． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点E，F分别在上，且．求证：．    4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 5．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 6．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 7．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点． （1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长． （2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED． 8．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形之倍长中线模型全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 1 【课后练习】 13 【知识点归纳】 模型1. 在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.；若连结BE，则；若连结EC，则 模型2. 为的中点 证明思路：若延长至点，使得，连结，则; 若延长至点，使得，连结，则. 模型3. 已知，点为线段的中点 证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则. 倍长中线原理：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角和对应边都对应相等。此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角，一般用“SAS”证明对应边之间的关系。 【例题精讲】 例1．（模型1）阅读下列材料，完成相应任务． 数学活动课上，老师提出了如下问题： 如图1，已知中，是边上的中线．求证： 智慧小组的证法如下： 证明：如图2，延长至E，使， ∵是边上的中线， ∴， 在△BDE和△CDA中，， ∴△BDE≌△    CDA（依据1）， ∴， 在中，（依据2）， ∴． (1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： ；依据2： ． 【归纳总结】 上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ； A．； B． ； C． (3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题． 如图4，中，，D为中点，求证：． 【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边 (2)C (3)见解释 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键． （1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可． （2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可． （3）判断，即可． 【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）； 依据2：三角形两边的和大于第三边； 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边． （2） 解：如图，延长至点，使,连接． 是的中线， , 在与中， , ， , 在中，， 即， ． 故选：C． （3）证明：如图4，延长至F，使连接， 是的中点， ∴, 又 ∴， ，， ∵， ∴, , 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 例2．（模型2）如图，，平分，点为中点，求证：．    【答案】见解析 【分析】延长，交于点，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：延长，交于点，   ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明． 例3．（模型3）【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使．连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图2，若，，试求出的中线的长的取值范围． 【理解与感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，与均为等腰直角三角形，．试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），．见解析 【分析】（1）根据即可求证； （2）设，延长至点，使，连接．证，在中利用三角形的三边关系即可求解； （3）延长至点，使得，连接，延长交于点．证、即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ． 在和中， ． （2）如图：设，延长至点，使，连接．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． 在中，， 即， ， 即． （3），． 证明：如图，延长至点，使得，连接，延长交于点．    是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ∴， ． ， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ， ． ， ． ， ． 综上，可得，． 【点睛】本题考查了全等三角形的常见模型―倍长中线模型，熟记模型的构成条件、求证过程及结论是解题关键． 例4（培优1）．如图, AB=CB, BD=BE, ∠ABC=∠DBE=α. (1)当α=60°, 如图则，∠DPE的度数______________ (2)若△BDE绕点B旋转一定角度，如图所示，求∠DPE（用α表示） (3)当α=90°，其他条件不变，F为AD的中点，求证 ：EC ⊥ BF 【答案】（1）60°；（2）α；（3）证明见解析． 【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CBD，得到∠AEB=∠CDB，再由对顶角相等及三角形内角和公式可得∠EPD=∠EBD即可； （2）与（1）同理可求∠DPE=∠DBE，即可得出结论； （3）延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M．由SAS证明△AFB≌△DFK，得到AB=KD，∠ABF=∠DKF，进而得到BC=KD，KD∥AB，再证明∠BDK=∠4，得到△EBC≌△BDK，由全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，设BE和CD相交于M． ∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABE=∠CBD． 在△ABE和△CBD中，∵，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠AEB=∠CDB． 在△PME和△BMD中，∵∠PME=∠BMD，∠AEB=∠CDB，∴∠EPD=180°－∠AEB－∠PME=180°－∠CDB－∠BMD=∠MBD=60°； （2）如图2，同理可求∠DPE=∠DBE=α； （3）如图3，延长BF到K，使FK=BF，连接KD，延长EC交BK于M． ∵AF=DF，∠AFB=∠DFK，BF=KF，∴△AFB≌△DFK，∴AB=KD，∠ABF=∠DKF，∴BC=KD，KD∥AB，∴∠BDK+∠ABD=180°，∴∠BDK=180°－∠ABD=180°－（∠2+∠3+∠4+∠5）=180°－[（90°－∠4）+90°]=∠4． 在△EBC和△BDK中，∵EB=BD，∠4=∠BDK，BC=DK，∴△EBC≌△BDK，∴∠1=∠2． ∵∠2+∠EBK=90°，∴∠1+∠EBK=90°，∴∠EMB=90°，∴EC⊥BF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目往往求解思路相同，证明三角形全等是解题的关键． 例5．（培优2）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证即可； （4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）为边上的中线， ， 在和中     ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、    由（1）同理易知， ，， ，且， ， ，， ， ，， ， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ， ， 和互余，， ， ，， ， 又，，故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． 【课后练习】 1．（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　） ∴（ 　　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据前后逻辑关系填空即可； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）; 故答案为：，全等三角形的对应边相等； （2）延长到，使，连接，    是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点，    ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：    (1)由已知和作图能得到的理由是________． A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，在四边形中，，的角平分线交于，连接，且平分，猜想①的度数；②、、的数量关系；说明理由． 【答案】(1)B (2)C (3)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据，，，得出和全等即可； （2）根据（1）得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据三角形三边关系，得出，求出即可； （3）①根据平行线的性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，，进而得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；②延长交的延长线于点，根据①得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在和中 ， ∴， 故选：B； （2）解：∵由（1）知：， ∴，， ∵在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴， 故选：C． （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ∵由①可知：， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 3．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图①，是的中线，延长至点E，使，连接．求证：． 【变式与应用】 （2）如图②，是的中线，若，．设，则x的取值范围是__________． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图③，是的中线，点E，F分别在上，且．求证：．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论； （3）延长至G，使得，连接，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， （2）解：； 如图，延长至点，使，连接，    在与中， ， ， ， 在中，， 即， 的取值范围是； 故答案为：； （3）证明：延长至G，使得，连接，    在和中，，，， ，， 在和中， ，，， ，， 在中，两边之和大于第三边 ，， 又，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键． 4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 5．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，，∴≌， ∴，， ∵．∴≌，∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 6．【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 7．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点． （1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2，求BF的长． （2）如图2，连接BE、BD、EF，当∠DBE＝45°时，求证：EF＝ED． 【答案】（1）；（2）见详解； 【分析】（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可； （2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M；利用△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；进而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再证明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故； 【详解】（1）由题可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE=； ∴ ED=CD=2；又AB=BC=3；∴ BD=1； 在Rt△ABD中，； 又点F是线段AD的中点， ∴； （2）如图，延长EF到N，使得FN=EF，连接BN，延长DE交AB于M； 在△AFN和△DEF中， AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF； ∴△AFN≌△DEF ∴ AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE ∴ DM∥AN ∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°； ∠MOB=∠DOC； ∴ ∠BAN=∠BCD； 在△BAN和△BCD中， AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD； ∴△BAN≌△BCD ∴ ∠ABN=∠CBD；BN=BD； ∴∠DBN=∠CBA=90°； 又∠DBE=45° ∴ ∠EBN=∠EBD；又BE=BE； BN=BD； ∴△BEN≌△BED ∴DE=EN=2EF； ∴ ． 【点睛】本题考查三角形综合问题，全等三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；难点在于辅助线的添加和三角形全等的构造． 8．已知ABC． (1)如图1，按如下要求用尺规作图： ①作出ABC的中线CD； ②延长CD至E，使DE＝CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．） (2)在（1）中，直线AE与直线BC的关系是 ； (3)如图2，若∠ACB＝，CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由； (4)如图3，若∠ACB＝，AC＝BC，CD是ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF＝4，则DE的长是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）①根据三角形的中线的定义，作的垂直平分线，交于点，连接即可． ②根据要求，延长CD至E，使DE＝CD，连接AE即可． （2）结论：，利用全等三角形的判定和性质证明即可． （3）结论：．利用全等三角形的判定和性质证明即可． （4）利用全等三角形的性质证明，再利用（3）中结论解决问题． 【详解】（1）①如图1所示，作的垂直平分线，交于点，连接，则线段CD即为所求； ②如图1中，线段DE，AE即为所求； （2）结论：． 理由：在△CDB和△EDA中， ， ∴△CDB≌△EDA（SAS）， ∴∠B=∠DAE， ∴． 故答案为：． （3）AB与CD的数量关系是：AB=2CD，理由如下： 如图3-2，延长CD至E，使DE=DC，连接BE， ∵CD是中线， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDE中， ， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E=∠ACD，AC=BE， ∴， ∴∠ACB+∠EBC=， ∵∠ACB=， ∴∠EBC=， 在△ACB和△EBC中， ， ∴△ACB≌△EBC（SAS）， ∴AB=CE， ∵CE=2CD， ∴AB=2CD． （4）如图3中， ∵BE⊥AC，∠ACB=， ∴∠CEB=∠BEA=，∠ECB=∠EBC=， ∴EC=EB， ∵AC=BC，CD是中线， ∴CD⊥AB， ∵∠CEF=∠BDF=，∠CFE=∠BFD， ∴∠ECF=∠ABE， 在△CEF和△BEA中， ， ∴△CEF≌△BEA（ASA）， ∴CF=AB=4， ∵AD=BD，∠AEB=， ∴DE=AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$