专题03 三角形中“8”字模型考法全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题03 三角形中“8”字模型考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 1 【课后练习】 4 【知识点归纳】 “8”字模型 结论：三角形三个内角的和等于180°，对顶角相等 【例题精讲】 例1．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 例2．如图，算一算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＝ ． 例3．在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（　　） A． B． C． D．α比β有时大有时小 E．无法确定 例4．（1）如图①， ． （2）如图②， ． （3）如图③，的度数为 ． （4）一个不规则的图形如图④所示，那么 ． 变式1．如图所示，这是一个“星形”图案，则 ．    变式2．阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．        （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是 ． （2）如图3所示， ． 变式3．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【课后练习】 1．如图，的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，的值等于（    ）    A．360° B．450° C．540° D．720° 3．如图，（       ）度．    A．450 B．540 C．630 D．720 5．如图所示，为（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，的度数是______ A．180° B．270° C．360° D．540° 9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于（    ） A．180° B．360° C．540° D．720° 10．数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（    ） A．360° B．540° C．720° D．无法计算 11．如图所示，为（    ） A． B． C． D． 12．如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图（b）称为二环四形边，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1⋯⋯；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示） 13．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是 ． 14．如图把图（a）称为二环三角形，它的内角和 度；把图（b）称为二环四边形，它的内角和 度；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中“8”字模型考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【例题精讲】 1 【课后练习】 8 【知识点归纳】 “8”字模型 结论：三角形三个内角的和等于180°，对顶角相等 【例题精讲】 例1．五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为．分析图形，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，，，，，，全部转化到，所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 例2．如图，算一算∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＝ ． 【答案】720° 【分析】连接CF，FI，IL，根据三角形外角的性质将各个角转化为六边形的内角，再根据六边形内角和等于720度即可求解． 【详解】解：连接CF，FI，IL，CD交EF于M， 在△MDE中， ，在△CFM中， ， ∵ ，∴ ， 同理可得： ， ， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠J＋∠K＋∠L＝ （六边形ABCFIL内角和）．故答案为：720° 【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及多边形的内角和，n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n−2）×180°（n≥3的整数）．本题做好辅助线找到该多边形是解题关键． 例3．在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（　　） A． B． C． D．α比β有时大有时小 E．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查多边形的内角和．根据多边形内角和的计算方法分别求出各个图形中的、，再比较大小即可． 【详解】解：如图，连接、， 四边形的内角和为， ， 又，而， ， 即， 如图，连接， 五边形的内角和为， ， 又， ， 即， 如图，连接， 由图可得，， 即， ， 故选：B． ． 例4．（1）如图①， ． （2）如图②， ． （3）如图③，的度数为 ． （4）一个不规则的图形如图④所示，那么 ． 【答案】 【分析】如图①，连接，记，的交点为，由三角形的内角和定理可得：，再利用三角形的内角和定理可得答案；如图②，连接，同理可得：，再利用四边形的内角和定理可得答案；如图③，证明，，，再利用三角形的内角和定理可得答案；如图④，连接，同理可得：，再利用四边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：如图①，连接，记，的交点为， 由三角形的内角和定理可得： ， ∵， ∴， ∴ ； 如图②，连接， 同理可得：， ∴ ； 如图③， 同理可得：，，， ∴ ； 如图④，连接， 同理可得：， ∴ ． 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 变式1．如图所示，这是一个“星形”图案，则 ．    【答案】 【分析】如图，连接，由题意知，，，则，同理可得，，由，可得，即． 【详解】解：如图，连接，    由题意知， ，， ∴，同理可得，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 变式2．阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．        （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是 ． （2）如图3所示， ． 【答案】 /97度 /360度 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解； （2）连接，如图，可知：，根据等量代换和四边形内角和即可求解． 【详解】解：（1）和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：，即， ，，．故答案为：； （2）连接，如图，    可知：， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可． 变式3．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）    A．1440 B．1800 C．2880 D．3600 【答案】C 【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了． 【详解】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度； 二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度； 二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度； … ∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数． 【课后练习】 1．如图，的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质、多边形内角和等知识．理解并掌握三角形外角的定义和性质是解题关键． 如图，根据三角形外角的定义和性质可得，，再结合四边形内角和等于，计算求解可得结果． 【详解】解：如图，    ∵， 又∵， ∴， 故选：B． 2．如图，的值等于（    ）    A．360° B．450° C．540° D．720° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，（       ）度．    A．450 B．540 C．630 D．720 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形内角和定理，根据，，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵， ∴ 故选：B． 5．如图所示，为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，四边形内角和为，根据三角形外角的性质，将各角转化为四边形的内角和求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， 故选：C． 6．如图所示，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键． 【详解】解：由三角形内角和可知， ∵， ∴， 则 ， 故选：B． 7．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解． 【详解】解：如图，连接，    则， 根据“8字形”数量关系，， 所以． 故选：C． 8．如图所示，的度数是______ A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质以及四边形内角和等于360°，即可求解． 【详解】解：∵∠E+∠F=∠ANM，∠ANM+∠A=BMD， 又∵∠B+∠C+∠D+∠BMD=360°， ∴=360°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和等于360°，是解题的关键． 9．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于（    ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解． 【详解】解：，，，， ， 又， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，解题的关键是正确转化为多边形的外角和． 10．数学活动课上，小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（    ） A．360° B．540° C．720° D．无法计算 【答案】B 【分析】根据五边形的内角和是，可求，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，从而求出所求的角的和． 【详解】解：如图， 在五边形中：， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 11．如图所示，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的外角的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ . 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 12．如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图（b）称为二环四形边，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1⋯⋯；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示） 【答案】360（n-2） 【分析】连接BB1，可得∠A1+∠C=∠BB1A1+∠B1BC，再根据四边形的内角和公式即可求解；AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1=∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1，再根据边形的内角和公式即可求解；二环n边形添加（n-2）条边，再根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：如图（a），连接BB1，则∠A1+∠C=∠BB1A1+∠B1BC， ∠A+∠ABC+∠C+∠A1+∠A1B1C1+∠C1=∠A+∠ABB1+∠BB1C1+∠C1=360度； 如图(b)，AA1之间添加两条边，可得∠B1+∠C1+∠D1=∠EAD1+∠AEA1+∠EA1B1 则∠BAD1+∠B+∠C+∠D+∠DA1B1+∠B1+∠C1+∠D1=∠EAB+∠B+∠C+∠D+∠DA1E+∠E=720°； 二环n边形添加（n-2）条边，二环n边形的内角和成为（2n-2）边形的内角和．其内角和为180（2n-4）=360（n-2）度． 故答案为：360（n-2）． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3）且n为整数），正确画出辅助线是解题关键． 13．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则的度数是 ． 【答案】/度． 【分析】延长交于，与相交于，由三角形的外角得，，再由四边形内角和为即可求解． 【详解】解：延长交于，与相交于， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角及四边形内角和；通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”将角进行转换到四边形中是解题的关键． 14．如图把图（a）称为二环三角形，它的内角和 度；把图（b）称为二环四边形，它的内角和 度；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 度．（用含n的式子表示）    【答案】 360 720 【分析】连接，可得，再根据四边形的内角和公式即可求解；之间添加两条边，可得，再根据边形的内角和公式即可求解；二环边形添加条边，再根据边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：连接，则， ； 如图，之间添加两条边，可得， 则； 二环边形添加条边，二环边形的内角和成为边形的内角和．其内角和为，    故答案为：360；720；． 【点睛】本考查了多边形内角和定理：（且为整数，熟记多边形内角和定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$