专题02 与三角形的角有关的四种考法全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题02 与三角形的角有关的四种考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、与角平分线有关内角和问题】 2 【考法二、三角形折叠中的角度问题】 4 【考法三、坐标系中的动角问题】 5 【考法四、角度之间的关系】 7 【课后练习】 8 【知识点归纳】 1.三角形内角和定理（重点） 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2.三角形的外角及三角形内角和定理的推论（重点、难点） 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 【考法一、与角平分线有关内角和问题】 例．在中，，点在射线上运动（点不与、重合），连接，过点作，垂足为，交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于．求证：； (2)如图2，作的角平分线和的角平分线且相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由． (3)如图3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于，的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？请说明理由． 变式1．已知，点、分别在、上运动（不与点重合）． (1)如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________． (2)如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ． (3)如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． 变式2．已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    (1)如图1，当时，则的度数为__________． (2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 变式3．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【考法二、三角形折叠中的角度问题】 例．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 变式1．   (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 变式2．在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由. 【考法三、坐标系中的动角问题】 例．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．    (1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． ①在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，______； ②在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示； (2)点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，，且，且的面积为10． (1)直接填空： ___________，___________，___________； (2)如图2，射线交轴于点D，点F是线段上的动点，点R是轴负半轴上的动点，过点R作，连，若，请探究与之间的数量关系；（注：可用含的式子表达并说明理由） (3)如图3，点E为射线上一动点，点M为y轴负半轴上一动点，过点M作，连接与的平分线交于点G，的平分线交于点P，则点M在y轴负半轴上运动的过程中， 【考法四、角度之间的关系】 例．将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 变式1．如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 【课后练习】 1．在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 2．【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接． (1)写出点的坐标：点C________，点D________； (2)如图2，点P是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点E，求证：； (3)如图3，点P是射线上一点，点Q是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点F，求的值． 4．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． （1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ； （2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ； （3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．    （4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 . 5．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数 6．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与三角形的角有关的四种考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、与角平分线有关内角和问题】 2 【考法二、三角形折叠中的角度问题】 11 【考法三、坐标系中的动角问题】 18 【考法四、角度之间的关系】 27 【课后练习】 33 【知识点归纳】 1.三角形内角和定理（重点） 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2.三角形的外角及三角形内角和定理的推论（重点、难点） 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 【考法一、与角平分线有关内角和问题】 例．在中，，点在射线上运动（点不与、重合），连接，过点作，垂足为，交射线于点．    (1)如图1，当点在线段上时，过点作交于．求证：； (2)如图2，作的角平分线和的角平分线且相交于点，随着点的运动，的度数会变化吗？如果不变，求出的度数；如果变化，说明理由． (3)如图3，当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于，的角平分线与的角平分线的反向延长线相交于点，的度数会变化吗？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数不会变化；理由见解析 (3)的度数不会变化；理由见解析 【分析】（1）先证得，再由可得，最后证得； （2）由角平分线定义可得，，从而证得，最后在中，可得； （3）先证得，再证明，由角平分线性质可得，，最后得出结论． 【详解】（1）∵ ∴在中，    又∵ ∴ ∴ ∴   ∵ ∴   ∴ ∴在中， ∴ （2）的度数不会变化；理由： ∵ ∴在中，   ∵、的角平分线相交于点P    ∴， 由①得， ∴   ∴ ∴在中， （3）的度数不会变化；理由： 如图：    ∵ ∴在中， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设的平分线交于H点 ∵平分、平分 ∴， ∴   ∴ ∴ ∴的度数不会变化 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的内角和平行线的性质． 变式1．已知，点、分别在、上运动（不与点重合）． (1)如图1，、分别是和的平分线，随着点、的运动，__________． (2)如图2，已知不平行于，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，点、在运动的过程中，的度数将不发生变化， ． (3)如图3，延长至，已知、的平分线与的平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义，可得，，在中应用三角形内角和定理，可得，在中应用三角形内角和定理，可得， 将代入，即可求解， （2）根据四边形内角和，角平分线定义，可得，在中应用三角形内角和定理，结合平角的定义，可得，代入，即可求解， （3）由的平分线与的角平分线，可得，，结合三角形外角定理，得出，由、分别是、的角平分线，可得，在中，分情况讨论，即可求解， 本题考查了，与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】（1）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵、分别是和的平分线，、分别是和的平分线， ∴，，，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， 故答案为：， （3）解：∵的平分线与的角平分线相交于， ∴，， ∴， ∵、分别是、的角平分线， ∴， 当时，，， 当时，，，（舍）， 当时， ，， 当时， ，（舍）， ∴，或， 故答案为：或． 变式2．已知：如图，在中，P为内一点，平分，平分．    (1)如图1，当时，则的度数为__________． (2)如图2，过C作，交延长线于点Q，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，过C作，延长与延长线交于点N，若，且，求的度数． 【答案】(1)；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角平分线的定义． （1）根据三角形的内角和得出，则，即可求解； （2）由图可知，推出，根据角平分线的定义得出，则，再根据三角形的内角和可得，即可求证； （3）设， 推出，，则，根据，得出，在中，，列出方程求出x，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由图可知， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴． 变式3．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有； 新定义：在图1中，我们把，，，叫做“8字形”的边，，，，叫做“8字形”的内角，“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2中，，为“8字形”的内角，图3中，，为“8字形”的外角．    (1)在图2中，的平分线和的平分线相交于点P，若，，求的度数． (2)在图3中，的平分线和的平分线所在直线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (3)在图4中，的平分线和的平分线相交于点P，猜想与、的关系，并说明理由． (4)在图5中，的平分线和的平分线相交于点P，用、来表示出，直接写出结论，无需说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）设，，解方程即可得到答案； （2）由“8”字三角形得①， ②， ，得，整理后可得结论； （3）连接PB，PD根据，得到 同理得到：，再根据，，，，即可求解． （4）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到180°，再根据，得到即可求解； 【详解】（1），分别平分，， ∴， 设，， 则有， ， ； （2）∵的平分线和的平分线所在直线相交于点P， ∴， ∵，① ∴， ∴， ∴． ∵，② ，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）连接 直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵， ∴， ∴    （4）直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴180°， 即． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【考法二、三角形折叠中的角度问题】 例．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 变式1．   (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 变式2．在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.    【答案】（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．证明见解析；（3）满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°. 【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）结论：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG； （3）分两种情形①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时.分别求解即可解决问题. 【详解】解：（1）如图1中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△AED中，∵∠EAD=7°， ∴∠AED=83°， ∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°， ∴∠BAE=∠CAE=41°， ∴∠BAC=82°， ∴∠C=180°-42°-82°=56°． （2）结论：∠AMF=∠ANG． 理由：如图2中， 由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN， ∵∠B+∠C=90°， ∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG， ∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°， ∴∠AMF=∠ANG． （3）①如图3-1当∠PQB=90°时， ∵∠B=∠F′=28°， ∴∠F′DQ=90°-28°=62°， ∵∠FDB=90°，∴∠FDF′=90°-62°=28°，∴旋转角为28°． ②如图3-2，当∠BPQ=90°时，∵∠B=∠F′=28°，∴∠PQB=90°-28°=62°， ∵∠PQB=∠F′+∠F′DB， ∴∠F′DB=62°-28°=34°，∴∠FDF′=90°-34°=56°，∴旋转角为56°， 同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件， 综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°． 【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考法三、坐标系中的动角问题】 例．如图1，已知，点F是线段上一点，满足，是内的一条射线，满足． (1)求证：； (2)如图2，点P是线段上一动点，连接交于点Q，当点P在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由； (3)如图3，若，在（2）的条件下，当时， ①______； ②将绕着点Q以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止旋转，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，t的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)不变，2 (3)①②或4或9 【分析】（1）根据等角的余角相等，推出，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质和平行线的性质，得到，，进行求解即可； （3）①先求出，在用平角的定义求解即可；②分，，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）不变，； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， 由（2）知：， ∴； 故答案为：； ②当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则：， ∴； 当时，如图，则：， ∴， ∴； 综上：的值为或4或9． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形的外角，三角形的内角和定理等知识点，综合性强，难度较大，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式．    (1)点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． ①在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，______； ②在点的运动过程中，记的面积为，用含的代数式表示； (2)点在射线上，点为射线上一动点，，连接，作平分交轴于点，直线上取点，连接，使，当时，求的大小． 【答案】(1)①秒或秒；②当时，；当时，；当时，． (2)或． 【分析】（1）①由非负数的性质得，，解得，，根据当点到的距离为2个单位长度分两种情况，即点在段或在段，求出运动时间； ②分三种情形：当点在段时，；当点在段时，；当点在段时，，分别含的代数式表示； （2）分三种情形分别画出三个图形，即：当点在点左侧时，当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求的大小． 【详解】（1）①解：a、c满足关系式， ∴，， 解得，， ∴，． 当点P到AB的距离为2个单位长度时，分两种情形： 点在段时， ，运动路程 点在段时， ，运动路程， ∴（秒）或（秒）， 故答案为：秒或秒； ②根据点的位置有三种情形： I．当时，点在段，此时； II．当时，点在段，此时； III．当时，点在段，此时，， ， 综上所述：当时，；当时，；当时，． 故答案为：当时，；当时，；当时，． （2）设，，，则，， 在中，， ，即：， I．当点在点左侧时，         如图， ，即：， 在中，， ，即： 联立得：， 解得：， ． II．当点在线段上时，    如图，， ，即：， 在中， ， ， 即： 联立得：， 解得：， 此时：，不合题意舍去； III．当点在线段上时，    如图，， ，即：， ， ， 在中，， ，即： 联立得：， 解得：， 此时：， 故答案为：或． 【点睛】本题是角的转换计算综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的内角和等于、三元一次方程组的应用等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，，且，且的面积为10． (1)直接填空： ___________，___________，___________； (2)如图2，射线交轴于点D，点F是线段上的动点，点R是轴负半轴上的动点，过点R作，连，若，请探究与之间的数量关系；（注：可用含的式子表达并说明理由） (3)如图3，点E为射线上一动点，点M为y轴负半轴上一动点，过点M作，连接与的平分线交于点G，的平分线交于点P，则点M在y轴负半轴上运动的过程中， 【答案】(1)7 ， 2 ， 4 (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质，判断出a，b的值，再利用三角形的面积公式求出m即可； （2）利用平行线的性质，三角形内角和定理证明即可； （3）首先证明，设，，想办法用x，y表示出，，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的面积， ∴， 故答案为：7，2，4； （2）结论： 理由：延长交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图3中，过点G作． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题． 【考法四、角度之间的关系】 例．将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 【答案】（1）；（2），探究：，理由见解析；应用：；拓展： 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，平角的定义，正确识图是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； 探究：同（1）的方法即可得出结论； 应用：由（探究）知，，进而求出，即 可求出，最后用平角的定义即可得出结论； 拓展：首先利用角的关系推导出，结合，得到，进而得解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是直角三角形， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 应用：由（探究）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 拓展：∵，，，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 变式1．如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可； （3）由三角形的内角和定理可得，，可得，再结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， ，， ， ， 由对折可得：， ， （2）证明：如图，    过点作， ， 平分，平分， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的判定及角平分线的定义． 变式2．如图，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度．点的对应点为，点的对应点为． (1)求两点的坐标． (2)连接，求平行四边形的面积． (3)设为轴负半轴上一动点（异于点），连接，的平分线与的平分线交于点，请你探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)15 (3)当点在线段上时，，当点在延长线上时， 【分析】（1）根据非负数的性质得出，，求出的值，即可得出答案； （2）作轴，交的延长线于，设交轴于，则四边形的面积四边形的面积，由平移过程知，求出四边形的面积即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时；当点在延长线上时，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：如图，作轴，交的延长线于，设交轴于， ， 则四边形的面积四边形的面积， 由平移过程知， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴四边形的面积为； （3）解：如图，当点在线段上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； 如图，当点在延长线上时，延长交于，令交轴于， ， 由平移的性质可得：，∴， ∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ， ∴； 综上所述：当点在线段上时，，当点在延长线上时，． 【点睛】本题考查了非负数的性质、平移的性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 【课后练习】 1．在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键． 2．【认识概念】 如图1，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“近三分线”， 是“远三分线”． 【理解应用】 （1）在中，，，若的三分线与的角平分线交于点，则 ____________； （2）如图2，在中，、分别是的近三分线和近三分线，若，求的度数； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，、分别是的远三分线和远三分线，且，直线过点分别交、于点、，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． （4）在中，是的外角，的近三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，；直接写出 的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）或；（2）；（3），（4）m或 【分析】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）分两种情况：①当为近三分线时，如图所示，求得，再利用角平分线的定义求得，最后在中利用三角形的内角和定理即可；②当为远三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解； （2）利用、分别是近三分线和近三分线，求得，然后再利用三角形的内角和定理即可求解； （3）如图2，在中，利用三角形的内角和定理求，再利用、分别是的远三分线和远三分线，求得，进而在中利用内角和定理求，结合，即可求得． （4）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当分别是“近三分线”，可得，可求解；情况二：如图， 是“远三分线”，时，可得可求解． 【详解】解：（1）分两种情况： 当为近三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ； 当为远三分线时，如图所示，， ， 平分，， ， ， 故答案为：或． （2）如图1，、分别是近三分线和近三分线， ，， ， ， ， ， 在中，， ． （3）如图2，在中，，， ． 、分别是的远三分线和远三分线， ， ， 在中，， ， ； ， ． （4）如图当是“近三分线”， ，，， ， 即， ，， ； 如图，当是“远三分线”， ，，， ， 即， ，， ． 故答案为：或． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段，连接． (1)写出点的坐标：点C________，点D________； (2)如图2，点P是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点E，求证：； (3)如图3，点P是射线上一点，点Q是射线上一点，连接，与的角平分线相交于点F，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标，横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减； （2）设，，由平行线的性质可得，即，过点E作，根据两直线平行、内错角相等，可得，，进而可得； （3）设，，，推出，根据推出，再根据三角形内角和定理用表示出，代入即可求解． 【详解】（1）解：由平移方式可得点C的坐标为：，即， 点D的坐标为：，即， 故答案为：，； （2）证明：与的角平分线相交于点E， 设，， 由平移可得， ，即， 如图，过点E作， ，， ， ； （3）解：设，，， ， ， ， 根据平移可得， ， 即， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，角的和差关系等，能够综上应用上述知识点是解题的关键． 4．问题1：现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠． （1）探究1：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ； （2）探究2：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是 ； （3）探究3：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．    （4）问题2：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是 . 【答案】（1）;（2）;（3）见解析;（4） 【分析】（1）根据三角形外角性质可得； （2）在四边形中，内角和为360°，∠BDA=∠CEA=180°，利用这两个条件，进行角度转化可得关系式； （3）如下图，根据（1）可得∠1=2∠，∠2=2∠，从而推导出关系式； （4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理，与（2）类似思路探讨，可得关系式． 【详解】（1）∵△是△EDA折叠得到 ∴∠A=∠ ∵∠1是△的外角 ∴∠1=∠A+∠ ∴； （2）∵在四边形中，内角和为360° ∴∠A++∠∠=360° 同理，∠A=∠ ∴2∠A+∠∠=360° ∵∠BDA=∠CEA=180 ∴∠1+∠∠+∠2=360° ∴ ； （3）数量关系： 理由：如下图，连接    由（1）可知：∠1=2∠，∠2=2∠ ∴；                     （4）由折叠性质知：∠2=180°－2∠AEF，∠1=180°－2∠BFE 相加得：． 【点睛】本题考查角度之间的关系，（4）问的解题思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理和四边形的内角和定理进行角度转换． 5．如图1，三角形中，．点E是边上的定点，点D在边上运动．沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出的度数 【答案】（1）64°；（2）26°；（3）58°或148°或154°或122°或116°或26°． 【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=58°，即可求出∠ADG； （2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG； （3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知： ∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE， ∵DE∥AB，AB⊥BC， ∴DE⊥BC，则G在BC上， ∴∠CDE=∠A=∠GDE=58°， ∴∠ADG=180°-58°×2=64°； （2）由折叠可知：∠C=∠DGE=32°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG， ∵GE∥AB， ∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°， ∴， ∴∠ADE=45°+32°=77°，∠GDE=180°-45°-32°=103°， ∵∠A=58°，∠B=90°， ∴∠ADG=∠GDE -∠ADE =103°-77°=26°； （3）如图，DG∥AB， 则∠CDG=∠A=58°； 如图，DG∥BC， ∠ADG=∠C=32°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =148°； 如图，EG∥AC， ∠ADG=∠G=∠C=32°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =148°； ； 如图，EG∥AB， ∴∠A=∠CFE=58°，∠B=∠CEG=90°， 由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°， ∴∠CDE=180°-45°-32°=103°=∠EDG， ∴∠EDF=180°-103°=77°， ∴∠ADG=103°-77°=26°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =154°； 如图，DG∥AB， ∴∠ADG=∠A=58°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =122°； 如图，DE∥AB， ∴∠ADG=2∠C=64°， ∴∠CDG=180°-∠ADG =116°； 如图，GE//AB， ∴∠CEG=∠B =90°， ∴∠CDG=∠CEG -∠C-∠G =26°； 综上：其他所有情况下∠CDG的度数为58°或148°或154°或122°或116°或26°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系． 6．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$