专题01 三角形的中线、高线与角平分线压轴题的考法全攻略-2024-2025学年八年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题01 三角形的中线、高线与角平分线的考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、中线】 2 【考法二、高线】 5 【考法三、角平分线】 6 【课后练习】 8 【知识点归纳】 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【考法一、中线】 例．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：； （结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积； （拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：； （迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ． 变式1．【理解概念】 （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． 【新知探究】 （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． 【拓展提高】 （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 变式2．典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【考法二、高线】 例．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．    (1)在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； (2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 变式 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． (1)求证：． (2)如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 【考法三、角平分线】 例．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点． (1) ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，若过点作交轴于点，且分别平分，求的度数． 变式1．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足． (1)请直接写出a，b的值； (2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式； (3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE． 变式2．在平面直角坐标系中，点为原点，点是轴负半轴上一点，将点向右平移个单位得到点． (1)如图，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，当点运动到点时，同时停止运动，设点运动时间为秒． 用含的式子表示两点的坐标． 是否存在使的面积为？若存在，求出，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (2)如图，点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 【课后练习】 1．（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 2．如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．    (1)求的面积； (2)求点到的距离； (3)如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，在第三象限内有一点． (1)填空：_______，______； (2)请求出的面积（用含m的式子表示）； (3)请求出和之间的数量关系； (4)当时，在y轴上有一动点P，点P从点）开始沿y轴以每秒1个单位的速度，竖直向下运动，设运动的时间为t秒，t为何值时使得的面积与的面积相等，请直接写出t的值． 4．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 6．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 7．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的中线、高线与角平分线的考法全攻略 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、中线】 2 【考法二、高线】 11 【考法三、角平分线】 17 【课后练习】 23 【知识点归纳】 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【考法一、中线】 例．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分． （经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：； （结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积； （拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：； （迁移应用）（4）如图4，中，M是的三等分点，N是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积： ． 【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用： 【经验发展】过C作于H，依据三角形面积计算公式，即可得到结论； 【结论应用】连接，依据“如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系； 【拓展延伸】依据如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，即可得到与面积之间的关系； 【迁移应用】连接，设,即可得出,, ,进而得到． 【详解】（经验发展）如图1，过作于，    ，， ， 即． （结论应用）如图2，连接， ∵， ， 又∵， ， ， 又的面积为1， 的面积为12． （拓展延伸）如图3， ∵是上任意一点， ∴， ∵是上任意一点， ，， ∴，即． （迁移应用）如图4，连接， ∵是的三等分点， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，则，，， ，， ． 故答案为． 变式1．【理解概念】 （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． 【新知探究】 （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． 【拓展提高】 （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 【答案】（1）见解析；（2）；（1）同意，见解析；（2）见解析． 【分析】（1）三角形中线可将三角形面积平分，因此取中点连线即可； （2）平行线中先找到面积相等的三角形，再减去相同的部分直接求出剩余部分面积相等即可； （1）通过作辅助线得到，然后推论出，即可证明等积线； （2）与（ 1）同理，推论出，然后取中点，连接即可． 【详解】（1）取中点，连接，是的等积线． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （1）连接， ∵， ∴， ∴， ∵的中点是E， ∴， ∴ ∴就是的等积线． （2）过作交延长线于，连接，取中点，连接， 与（1）同理可得，即为四边形的等积线． 【点睛】此题考查三角形中线的性质和平行线的性质，解题关键是在平行线中找出等面积的三角形进行转化． 变式2．典型题例： （1）如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）如图2，是的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形？（两种方法画图）    迁移应用： （3）如图3，的两条中线，相交于点，求证：； （4）如图4，的三条中线，，相交于点， ①请你写出所有与面积相等的三角形； ②写出与的数量关系式，并说明理由；    拓展应用； （5）设的面积为a，如图①将边分别2等份，、相交于点O，的面积记为；如图②将边分别3等份，、相交于点O，的面积记为；……，以此类推，若，则a的值为__________．    【答案】（1）；理由见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）①与面积相等的三角形有，，，，；②，理由见解析；（5）27 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． （1）根据过点A作于点H，根据中心得出，根据三角形的面积公式得出，，即可求出结果； （2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可． （3）根据三角形的中线的性质得到，同理可得，证明结论； （4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断； ②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明； （5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得． 【详解】解：（1）；理由见如下： 过点A作于点H，如图所示：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）方法一：取的四等分点E、D、F，连接、、，此时分的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵， ∴； 方法二：取、、的中点E、D、F，连接、、，则此时的四个三角形面积相等，如图所示：    ∵D为的中点， ∴， ∴， 同理得：，， ∴； （3）是的中线，则 ， 同理， ， ； （4）①； ∴与面积相等的三角形有，，，，； ②， 理由如下：， ， ； （5）在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、，    则，， 设，则，解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ，解得，．由可知，， ，，解得． 故答案为：27． 【考法二、高线】 例．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，其中a、b满足． (1)求a、b的值； (2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2) (3)或或或 【分析】本题考查绝对值和二次方的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，三角形的面积，坐标与图形，分类讨论思想． （1）根据非负数的性质得出a和b的值； （2）过点M作轴于点N，根据四边形的面积等于和的和得出答案； （3）首先根据题意得出的面积，然后分点N在x轴和y轴两种情况分别求出答案． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴,． （2）解：过点M作轴于点N，如图所示： ∵，，且在第二象限， ∴，，， ∴， ， ∴； （3）解：当时，四边形的面积为． ∴， ①当N在x轴上时， 设，则， ， 解得：或， ∴或； ②当N在y轴上时， 设，则， 解得：或， ∴或． 综上所述，点N的坐标为或或或． 变式1．“等面积法”是解决三角形内部线段长度的常用方法．如图1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．    (1)在题干的基础上， ①如图2，点为上一点，作，，设，，求证：； ②如图3，当点在延长线上时，猜想、之间又有什么样的数量关系，请证明你的猜想； (2)如图4，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接、，求的最小值． 1【答案】(1)①见解析；②猜想：，证明见解析；(2) 【分析】（1）①根据，代入数据即可求解； ②作，，根据，代入数据即可求解； （2）作点关于直线的对称点，则，，过作于，过作于，根据求得，进而根据求得，由，可得当，，共线，且时，和最小，最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）①∵ ∴ 即    ∴ ②猜想： 理由如下：，作，， ∵ 即 即 ∴    （2）作点关于直线的对称点， ∴， ∵点在延长线上，则、、、共线， ∴， 过作于，过作于， ∵ ∴ ∴ ∵ 即 ∴ ∵ 当，，共线，且时，和最小，最小值为的长， 此时    【点睛】本题考查了三角形高的定义，垂线段最短，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 变式 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． (1)求证：． (2)如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了坐标与图形，用代数式表示式，三角形面积，等高模型，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用等高模型解决面积问题，学会构建方程解决问题， （1）根据坐标点的特点可得出轴，轴，即可得出结论； （2）①过点M作于点F，过点A作于点E，过点M作于点G，连接，首先表示出各点坐标，表示出，，，，根据三角形面积即可得出结果； ②过点M作于点G，先得出，利用以及的面积等于面积的1.5倍，列出方程组求出结果，即可求出M点坐标为，结合B点坐标可得出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：如图: ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∴； （2）①过点M作于点F，过点A作于点E， 过点M作于点G，连接， ∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴； ②过点M作于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于面积的1.5倍， ∴，解得：， 又由①知， ，解得：，所以M点坐标为． ∵，∴轴， ∴，∴，∴． 【考法三、角平分线】 例．如图①，在平面直角坐标系中，，且满足，过点作轴于点． (1) ， ， ； (2)在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图②，若过点作交轴于点，且分别平分，求的度数． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解得，，则，，然后根据三角形面积公式计算； （2）根据面积之间关系列式代数，进行计算，即可作答． （3）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则． 本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，角平分线的定义．也考查了平行线的性质和三角形面积公式． 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：，2，4； （2）解：存在， 理由如下：设 三角形的面积是三角形的2倍， ， ， ， ∵ 或； （3）解：作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ． 变式1．在平面直角坐标系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）两点，并且a，b满足． (1)请直接写出a，b的值； (2)如图1，BC⊥x轴于点C，AB交y轴于点D，点F（m，n）在线段AB上，求点D的坐标，并求m与n满足的关系式； (3)如图2，若CF，BE分别是△ABC的高与角平分线，BE交CF于点G，CH平分∠ECG，交BE于点H，求证：CH⊥BE． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用平方数、二次根式的非负性求解； （2）设D(0，y），利用点的坐标求出相关线段长度，利用S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC求出点D的坐标；利用S△ACF+S△BCF=S△ABC求m与n满足的关系式； （3）利用BC⊥AC，CF是△ABC的高，证明∠CBF=∠ACF，再结合角平分线的定义证明∠FBE=∠GCH，进而推出∠GHC=∠GFB=90°，即可证明CH⊥BE． 【详解】（1）解：∵， ，， ∴， 解得：，； （2）解：设D(0，y），则， 由（1）得，， ∴，， ∴，，， 由S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC得， ， 解得：y=3， ∴D(0，3）． ∵点F（m，n）在线段AB上， ∴△ACF中AC边的高为n，△BCF中BC边的高为， 由S△ACF+S△BCF=S△ABC得， ， 化简得，； （3）证明：∵BC⊥AC，CF是△ABC的高， ∴∠BCA=90°=∠BFC， ∴∠CBF=90°－∠A，∠ACF=90°－∠A， ∴∠CBF=∠ACF． ∵BE平分∠CBA，CH平分∠ECG， ∴∠FBE=∠CBF，∠GCH=∠ACF， ∴∠FBE=∠GCH； ∴∠GHC=180°－∠GCH－∠CGH=180°－∠FBE－∠BGF=∠GFB=90°， ∴CH⊥BE． 【点睛】本题考查平方数、二次根式的非负性，利用面积法求点的坐标，角平分线的定义，三角形内角和定理等，难度一般，解第二问的关键是熟练运用数形结合思想，解第三问的关键是利用角度等量代换． 变式2．在平面直角坐标系中，点为原点，点是轴负半轴上一点，将点向右平移个单位得到点． (1)如图，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动，当点运动到点时，同时停止运动，设点运动时间为秒． 用含的式子表示两点的坐标． 是否存在使的面积为？若存在，求出，并写出此时点的坐标；若不存在，说明理由． (2)如图，点为线段（端点除外）上某一点，当点在线段上运动时，过点作直线交轴正半轴于，交直线于，、的平分线相交于点，若，请用含的式子表示的大小，并说明理由． 【答案】(1)，；，，； (2)存在，． 【分析】（）由平移的性质得出轴，根据点坐标可求出答案；求出和，根据三角形的面积公式可得出答案； （）过点作轴，由平行线的性质及角平分线的性质可得出，，利用三角形外角性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵将点向右平移个单位得到点， 轴， ∵点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向上运动， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴，； （2）解：存在． 如图，过点作轴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题考查了平移的性质，三角形的面积公式，平行线的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【课后练习】 1．（1）如图1，是等腰直角三角形，，为的中点，，则________； （2）如图2，是直角三角形，，为的中点，，，则________； （3）如图3，在中，为的中点，，，则________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式； （1）过点作垂足分别为，根据三角形中点的性质可得，根据已知得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解； （3）过点作垂足分别为，同（1）的方法即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作垂足分别为， 依题意，是等腰直角三角形，，为的中点，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴； 故答案为：． （2）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴ ∴ ∴ 同（1）可得∴ ∴，∴； 故答案为：． （3）如图所示，过点作垂足分别为，， ∵为的中点， ∴， ∴ 同（1）可得，∴ ∴， ∴，故答案为：． 2．如图，为轴正半轴上一动点，，，且，满足，．    (1)求的面积； (2)求点到的距离； (3)如图，若，轴于点，点从点出发，在射线上运动，同时另一动点从点出发向点A运动，到点A时两点停止运动，，的速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点到的距离为 (3)或 【分析】（1）先根据算术平方根和二次方的非负性求出，，得出，，即可得出答案； （2）过点作于，根据等积法求出即可； （3）由三角形的面积关系列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ，， 点，点， ，， ∴； （2）解：如图，过点作于，    ∵， ∴； 点到的距离为； （3）解：设运动时间为秒，则，，其中， ∴， ∵， ， ， ， 解得：，， ， 运动时间为秒或秒． 当时，， ， ； 当时，， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质，算术平方根和平方的非负性，三角形的面积公式等知识，求出的长是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足，在第三象限内有一点． (1)填空：_______，______； (2)请求出的面积（用含m的式子表示）； (3)请求出和之间的数量关系； (4)当时，在y轴上有一动点P，点P从点）开始沿y轴以每秒1个单位的速度，竖直向下运动，设运动的时间为t秒，t为何值时使得的面积与的面积相等，请直接写出t的值． 【答案】(1)，6 (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可； （2）过点M作轴于点N，得出，，求出即可； （3）先求出，得出即可； （4）分两种情况进行讨论：当点P在上方时，当点P在下方时，分别画出图形，利用割补法表示出面积，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：过点M作轴于点N，如图所示： ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，， 当点P在上方时，过点M作轴，过点B作轴，过点P作轴，如图所示： ∵， ∴此时，点P一定在x轴上方， ∵，，， ∴，，，， ∴， 解得：； 当点P在下方时，过点M作轴，交x轴于点E，过点B作轴，过点P作轴，如图所示： ∵，，， ∴，，，， ，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，的面积与的面积相等． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 4．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)线段的长度为 【分析】（1）如图，过点做，证明，求出，进而求出，根据平行线的性质即可求出； （2）如图，先求出，再求出，过点做，即可求出； （3）过点做于点，过点做于点，设，，根据得到，求出，进而得到，，根据，即可求出线段的长度为． 【详解】（1）解：过点做， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）解：由（1）问得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点做， ∴，， ∴； （3）过点做于点，过点做于点， ∵点到的距离与线段的长度之比是， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点到的距离等于7， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质进行角的计算，点到直线的距离，三角形形面积公式等知识，熟知平行线的性质定理，根据题意适当添加辅助线是解题关键，第3问利用方程思想解决问题是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点，点，点，且． (1)求a，b的值； (2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接，设的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式； (3)在（2）的条件下，点D是直线上一点，点D的横坐标为1，连接，，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据即可得到答案； （2）分点P在点下方与上方两类讨论，根据面积加减即可得到答案； （3）过点D作于点E，根据点D的横坐标为1即可得到，从而求出，结合的面积为，代入求解即可得到答案； 【详解】（1）∵点，点，点， ∴，，， ∵， ∴，，∴； （2）解：当点P在OC上时， ∵，， ∴， ∴， 当点P在OC的延长线上时， ∵， ∴， ∴或； （3）解：过点D作于点E， ∵点D的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∴ ∴， ∵， ∴ 当时， ∴ 当时， ∴ ∴或． 【点睛】本题考查动点三角形面积问题，解题的关键是分类讨论出现的情况，根据面积加减列式求解． 6．【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． 7．【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$