4.4 课时1 探索三角形相似的条件 讲义 （知识梳理+例题巩固+强化训练）2024—2025学年北师大版数学九年级上册

§4.4 课时1 探索三角形相似的条件 讲义 （知识梳理+例题巩固+强化训练） 知识模块1 知识点1：用两角分别相等判定两个三角形相似 ★定理：两个角分别相等的两个三角形相似。 如图所示，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。 ●提示： （1）在两个三角形中，只需找到两组对应角相等，就可以判定两个三角形相似，这种方法说明不用边我们也可以判定两个三角形相似，这是判定两个三角形相似的很重要的一种方法。 1. 当平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交时，根据平行线的性质可得两组相等的角，从而可知构成的两个三角形相似。在利用平行说明两个三角形相似时，不必再说明有两个角对应相等。 ◎重点剖析 利用两角分别相等判定两个三角形相似时，关键是找准对应角。一般地，公共角、对顶角、同角（或等角）的余角（或补角）都是对应的，解题时应注意挖掘题中的隐含条件。 【典型例题1】 1.在△和△中，∠∠，∠,,这两个三角形相似吗？请说明理由。 【典型例题2】 2.如图，点D、E在△ABC的边BC上，且FD∥AB，FE∥AC。求证：△ABC∽△FDE。 1.如图，已知，添加一个条件使，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    2.如图，在中，点D在边上，点E在边上，且，则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明． 4.如图，在中，，，，点是边上的动点（点与点、不重合），过动点作交于点．若与相似，则 ． 5.如图，已知，则图中相似三角形是 ．    6.如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 7.如图，在中，为上一点，且满足．   （1）求证：； （2）当时，，，求的长． 8.如图，四边形是平行四边形，E为线段延长线上一点，连结交对角线于点F，． （1）求证：； （2）如果 ，则=________度． 知识模块2 知识点2：利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 ★定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 如图所示，在△ABC和△DEF中，若,且，则∽。 ●提示： （1）可以类比全等三角形的判定方法------“SAS”理解，因为相似三角形只考虑形状，不考虑大小，所以对边的限制由“相等”拓展到了“成比例”。 1. 应用该判定条件时，等角必须是对应成比例两边的“夹角”。 【典型例题1】[来源:学§ 1.如图所示，点D、E在△ABC的边AB、AC上，且AD=2，BD=4，EC=1，则△ADE与△ACB相似吗？为什么？ 【典型例题2】 2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥CD，AC=CD，AB=CD，E是AC的中点， 求证：△ABE∽△CED。 【典型例题3】 3.如图，，且，，求证：．    1.如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 2.如图，下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3.如图，下列条件中不能说明的是（    ）    A． B． C． D． 4.如图，，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 5.如图，在正方形中，E是边的中点，要依据“两边成比例且夹角相等”判定，还需添加的一个条件是 ． 6.如图，在中，，，，求证：．    7.如图，点，在线段上，且是等边三角形，，，．求证：． 8.如图，在和中，,且．求证：    学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$