第15讲导数与不等式问题（5类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（天津专用）

第15讲导数与不等式问题 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握导数与不等式的关系 2.能掌握不等式的恒成立与有解问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助图像解决不等式问题 4.会证明不等式问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数，证明不等式成立，以及求解不等式恒成立及有解问题。 知识讲解 知识点一.不等式 1．恒成立问题的转化：恒成立；恒成立 2．能成立问题的转化：能成立；；成立 3．恰成立问题的转化：在M上恰成立 的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若 在D上恰成立，则等价于在D上的最大值． 4．设函数、，对任意的，存在，使得，则 5．设函数、，对任意的，存在，使得 ，则 6．设函数、，存在，存在，使得，则 7．设函数、，存在，存在，使得 ，则 8．设函数、，对任意的，存在，使得 ，设在区间[a，b]上的值域为A，在区间[c，d]上的值域为B，则AB． 9．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方． 10．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方． 知识点二.恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： 1 一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象． 考点一、导数与不等式解集问题 1.（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，则的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由导数四则运算列不等式即可求解. 【详解】由题意知，且， 若，则，解得或． 又，所以． 故选：C. 2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式. 【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以， 因为时，，所以对恒成立， 所以在单调递减， 又因为， 所以不等式等价于，所以， 即的解集为. 故选：A. 1.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 2.（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【详解】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A 3.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】依据题意判断函数关于直线对称，结合，构造函数，易得其关于对称，最后分类讨论即可. 【详解】因为定义在上的函数满足 所以函数关于直线对称，即 因为当时,有即 故令 则，在上单调递增, 因为， 所以关于点对称， 所以 在上单调递增，因为， 所以所以当时, , 所以，当时,， 所以且,即无解.所以不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查求导数，解题关键是合理构造合适的原函数，得到，然后构造，再进行分类讨论，得到所要求的解集即可． 4.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由已知得出为偶函数，且在上是增函数，在上为减函数，将转化为求解即可． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 故答案为：． 5.（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设条件，构造函数，判断其单调性，将所求不等式整理成，利用的单调性即可解得. 【详解】令，则 因为当时，，即 所以当时，单调递减， 由不等式可得， 即,故有，解得：， 即不等式的解集为. 故答案为：. 考点二、单变量不等式的证明 1.（2023·陕西榆林·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨单调区间即得. （2）构造函数，再利用导数探讨最大值即得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求出得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. （2）当时，，令， 函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，则， 所以. 2.（2024·陕西榆林·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，对进行分类讨论，即可求出结果； （2）将问题转化成求证，由（1）将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可证明结果. 【详解】（1）易知的定义域为，又， 当时，在区间上恒成立，此时，在区间上单调递减， 当时，当时，，时，，此时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）当时，证原不等式等价于证， 由（1）知时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，得到，当且仅当时等号成立， 所以欲证，只需证，即证， 令，则，由，得到，由，得到， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，得到 所以，所以当时，. 1.（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线为． (1)求的解析式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出 可得，根据点在切线上求出可得答案； （2）得，由零点存在定理存在使得，根据单调性得，构造函数，利用导数求出的最大值可得答案． 【详解】（1）函数的导数，且切线斜率为， ，即， 又点在切线上， ，即， 所以； （2）由（1）知， 又在内单调递增，且，， 存在使得． 当时，，递减； 当时，，递增． ， 由得， ， 令，则， 在区间内单调递减，∴， ． 综上，对任意，． 2.（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 【答案】(1)3； (2)证明见解析； 【分析】（1）求导，由求解； （2）转化为证，令，由证明. 【详解】（1）解：， 依题意，，解得， 经检验符合题意，所以； （2）由（1）可知，， 要证，即证， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值，也是最小值， 因为，， 所以. 【点睛】方法点睛：证明不等式，往往由证明. 考点三、双变量不等式的证明 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若的最小值为，正实数满足，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先将函数写成分段函数，再分段得到不等式组，解得即可； （2）首先画出的图象，即可求出，即可得到，利用基本不等式求出的取值范围，又 ，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以不等式即或或或， 解得或或或， 综上可得不等式的解集为. （2）由（1）可得的图象如下所示： 所以当时取最小值，所以， 又正实数满足，即，所以， 又，解得或（舍去），当且仅当时取等号， 所以 ， 令，， 则， 当时，，， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 即恒成立，当且仅当时取等号， 即恒成立，当且仅当时取等号， 即恒成立，当且仅当时取等号. 2.（2024·贵州黔东南·二模）已知函数在处的切线为轴. (1)求实数的值； (2)若，证明：. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的几何意义即可列方程求得的值； （2）利用导函数确定函数的单调性，由可得，结合函数单调性即可证得结论. 【详解】（1）由题可得，， ， . （2）证明：由（1）可知：， 函数在上单调递增， 当时，， ，，， ，即， ， . 1.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间; (2)若，证明:． 【答案】(1)的单调递减区间为，没有单调递增区间 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解函数单调性即可. （2）对要证不等式进行化简，再由第（1）问结论证明即可. 【详解】（1）， 令，所以， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 又因为，所以，即，且至多在一个点处取到. 所以在上单调递减， 故的单调递减区间为，没有单调递增区间. （2）证明， 只需证：， 即证：， 令，所以， 只需证：， 即证：， 由（1）知，当时，在上单调递减， 所以当时，， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数证明不等式问题.其关键点是对要证不等式进行化简，即证明，再结合第1问求得的单调性证明即可. 2.（2024·陕西榆林·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)已知，证明：. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得的单调性，进而求得的极值； （2）先利用题给条件构造出的不等式，再利用（1）的结论即可证得. 【详解】（1），，令，可得. 令，可得， 令，可得，或 所以在上单调递增，在和上单调递减. 所以的极大值为的极小值为. （2）由， 可得， 所以. 由对称性，不妨设， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 由（1）可知在上的最大值为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因为等号不能同时取到，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； （2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 考点四、不等式恒成立问题 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分离参数可得在区间上恒成立，构造函数，，转化为，然后求导即可得到，从而得到结果. 【详解】由题意在区间上恒成立， 即恒成立，即在区间上恒成立， 令，，只需， 因为， 令，，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 2.（24-25高三上·浙江金华·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）先求函数的定义域，利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）当时，不等式恒成立，构造函数，转化为在时恒成立，然后利用导数分析函数的单调性最值，求解实数a的取值范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 所以时，，所以在上单调递增； 时，，所以在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，不等式恒成立， 即，在时恒成立， 令，只需要在时恒成立， ，， 设，则， 所以在上单调递减，所以， 当时，，在上单调递减，所以恒成立， 当时，，在上单调递减， 所以，使得时，，在上单调递增， 所以，不合题意， 综上所述：实数a的取值范围为. 1.（2024·黑龙江大庆·三模）已知，函数，且. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）先得到函数的定义域，求导，由解出的值，进而得到，由得到单调递减区间，由得到单调递增区间； （2）若恒成立，则成立，由（1）知，从而可以得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，由已知得， 因为，所以，解得，所以. 令，解得（舍），. 当时，；当时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，有极小值. 因为在上只有一个极值，所以. 因为恒成立，所以，即，得. 所以的取值范围是. 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】先把在上恒成立，转化为在上恒成立，从而构造函数，再借助单调性求得的最小值，进而得解. 【详解】对任意，恒成立，即恒成立， 即在上恒成立.令， 则，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即，故的取值范围为. 3.（2024·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解. 【详解】（1）当时，，则． 又，所以切线方程为，即． （2）． 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 又，所以恒成立，满足题意； 当时，，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 4.（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）求出导数，结合导函数与原函数的单调性关系即可求解； （2）将恒成立问题转化为最值问题，再利用导数求出函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时， 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为 （2） 令， 当时， 令， 当时，，的增区间为 当时，，的减区间为 所以， 恒成立 当时，因为，所以不恒成立 综上 考点五、不等式有解问题 1.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知利用导数判断出函数在上的单调性，分别求得其最大值和最小值即可得出实数m的取值范围. 【详解】关于x的方程在上有解， 即方程在上有解，可得， 令，可得， 当或时，时，， 所以上，函数单调递增，上单调递减， 又时m为；时m为10；时，， 即在上的最大值为10，最小值为； 综上关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是. 故选：A． 2.（2024·西藏拉萨·二模）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)最小值为，没有最大值 (2) 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性进行求解； （2） 在上有解，整理，得.因为，所以.令，求导，求出单调性求解． 【详解】（1）当时，，求导，得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，取得极小值，也是最小值， 所以函数的最小值为，没有最大值. （2）方程在上有解， 即在上有解，整理，得. 因为，所以. 令，求导，得. 因为，所以当时，， 所以当时，单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，，. (1)若的最小值为0，求的值； (2)当时，证明：方程在上有解. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的最小值求参数即可； （2）转化为在上有解，根据图象特征即可证明； 【详解】（1）由已知得，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，所以. （2）要证在上有解，即证在上有解， 即证在上有解. 令，则. 设，则. 当时，；当时，. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 又因为，， ， 所以由零点存在性定理知，，使，即， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为，所以，即，且时， ，所以当时，直线与函数的图像在上有交点，即在上有解. 【点睛】思路点睛：将方程在上有解转化为在上有解，求出在上的单调性，则直线与函数的图像在上有交点即可证明； 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 3.（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得导数，可得切线的斜率和切点，即可得切线的方程； （2）由题意得在上有解．当时，在上有解，令，讨论的单调性，求出的最小值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1），， 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为在上有解，所以在上有解， 当时，在上有解， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，故， 则当时，，即． 所以，当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是． 4.（2024高三·全国·专题练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意有解，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为1，无极大值； (2). 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可求极值； （2）由题意可得任意有解，设，分、及讨论即可求解. 【详解】（1），得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，无极大值； （2）对任意即， 设，， ①当时，单调递增，单调递增，，成立； ②当时，令单调递增，单调递增，，成立； ③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立. 综上，. 1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2．（2024·四川成都·二模）在区间上随机取一个实数，使恒成立的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数求得为递增函数，且，得到不等式的解集为，结合长度比的几何概型的概率计算，即可求解. 【详解】设函数，可得，所以为递增函数，且， 所以，当时，；当时，， 所以不等式的解集为， 因为，所以不等式的解集为， 由长度比的几何概型的概率计算，可得使恒成立的概率是. 故选：A. 3．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】参变分离得，求出的值域即的取值范围． 【详解】有解，即，令， ，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，故的取值范围为． 故答案为：． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接用导数求出的最大值即可； （2）构造并证明时，并对该不等式代入特殊值即可得证. 【详解】（1）首先由可知的定义域是，从而. 故，从而当时，当时. 故在上递增，在上递减，所以具有最大值. 所以命题等价于，即. 所以的取值范围是. （2）不妨设，由于在上递增，在上递减，故一定有. 在的范围内定义函数. 则，所以单调递增. 这表明时，即. 又因为，且和都大于， 故由在上的单调性知，即. 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）直接求导并令可得，再代入原表达式即可； （2）构造函数并用导数证明，然后利用即可. 【详解】（1）由有，取得到，解得. 将代入可得. （2）设，则，故当时，当时. 所以在上递减，在上递增，故. 从而. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题. 6．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）利用导数的性质进行求解即可； （2）利用（1）的结果，取特殊值代入进行证明即可. 【详解】（1）显然该函数的定义域为全体正实数， 由， 当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减， 因此； （2）由（1）可知：，即， 即， 当时，. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先研究的正负，然后利用该结果说明当时原不等式对不成立，而时原不等式对任意成立，即可说明的取值范围是. 【详解】设，则，故对有， 对有. 所以在上递减，在上递增，故有. 不等式即， 这等价于. 从而条件等价于对任意都有. 若，则，从而对于有 . 这表明原不等式对不成立，故不满足条件； 若，则对任意都有 ， 故满足条件. 综上，的取值范围是. 1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，得，再根据不等式恒成立问题转化为，分类讨论，即可求解. 【详解】函数，，所以，所以为偶函数， ，令， 当时，单调递增，则当时，单调递减， 所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 所以对任意恒成立，等价于，对任意恒成立， 当时，，符合题意，； 当时，等价于， 等价于，即； 当时，等价于， 等价于，即； 综上，对任意恒成立时，实数的取值范围是. 故选：A 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由题意函数恒成立，可得到为正奇数，讨论的范围，参变分离转化成恒成立问题，定义新函数求导求最小值，从而得到的最大值. 【详解】当为正偶数时，当时，，不合题意，所以为正奇数， 则当时，恒成立，只需研究时，恒成立即可， 当时，成立，则当时，，因为此时，所以恒成立. 当时，恒成立， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，又因为为正奇数， 所以的最大值为7. 故选：D 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）要证明，只要证即可，设，利用导数求得最值即可证明． 【详解】（1）函数的定义域为，且． 当时，恒成立， 所以在区间上单调递增； 当时，令，解得， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）当时，因为，所以要证，只要证明即可， 即要证，等价于（*）． 令，则， 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以，所以（当且仅当时等号成立）， 所以（*）成立，当且仅当时，等号成立． 又在上单调递增，， 所以存在，使得成立． 综上所述，原不等式成立． 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)证明：． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用曲线在点处的切线方程为，利用切线的斜率即切点坐标即可求出. （2）要证，变形即证，设函数，，判断两函数的单调性，求解函数的最值，满足，即可证明. 【详解】（1）函数，函数的定义域为，， 曲线在点处的切线方程为， 可得，即，解得，． （2） 由（1）得，要证．即证：， 即，等价于． 设函数，则． ∴当时，；当时，． 故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为． 令，则． ∴当时，；当时，． 故在单调递增，在单调递减， 从而在的最大值为． 综上，当时，，即． 可知． 5．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 6．（2024·四川内江·三模）已知函数，. (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导研究函数的单调性及最小值，然后构造，利用导数研究的单调性及最大值，结合恒成立列式求解即可. （2）由（1）可知，令，利用累加法求和即可. 【详解】（1）由题可知函数的定义域为， ∵，∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增，∴， 由已知恒成立，所以，. 令，则， ∴当时，，单调递增，当时，，单调递减， ∴，∴， 又∵，∴，即， ∴，故a的取值集合为. （2）由（1）可知，当时，，即，即， ∴（当时，“＝”成立）， 令，， 则，即， 故，，…，， 由累加法可得， 即. 7．（2024·福建福州·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由，得，当时，不符合题意；当时，最小值为，若恒成立，则，设．根据导数研究的最大值，即可求出的值. 【详解】（1）定义域为，由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）定义域为，， ①当时，，不符合题意． ②当时，令，解得， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为． 所以. 1.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 2.（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 3.（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证结论； （3）构造，，作差法研究函数单调性可得，再构造且，应用导数研究其单调性得到恒成立，对作放缩处理，结合累加得到，即可证结论. 【详解】（1），则， 所以，故处的切线斜率为； （2）要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. （3）设，， 则， 由（2）知： ，则， 所以，故在上递减，故； 下证， 令且，则， 当时，递增，当时，递减， 所以，故在上恒成立， 则， 所以，，…，， 累加得：，而， 因为，所以， 则， 所以，故； 综上，，即. 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究单调性证右侧不等关系，再构造且，导数研究其函数符号得恒成立，结合放缩、累加得到为关键. 4.（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见详解（2） 【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果； （2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解. 【详解】（1）构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 构建， 则， 构建，则对恒成立， 则在上单调递增，可得， 即对恒成立， 则在上单调递增，可得， 所以； 综上所述：. （2）令，解得，即函数的定义域为， 若，则， 因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，不合题意，所以. 当时，令 因为， 且， 所以函数在定义域内为偶函数， 由题意可得：， （i）当时，取，，则， 由（1）可得， 且， 所以， 即当时，，则在上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递减， 所以是的极小值点，不合题意； （ⅱ）当时，取，则， 由（1）可得， 构建， 则， 且，则对恒成立， 可知在上单调递增，且， 所以在内存在唯一的零点， 当时，则，且， 则， 即当时，，则在上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意； 综上所述：，即，解得或， 故a的取值范围为. 【点睛】关键点睛： 1.当时，利用，换元放缩； 2.当时，利用，换元放缩. 5.（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能. 方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略. 方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在. 6.（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 7.（Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明. 【答案】（I）在内单调递增.； （II）（i）见解析；（ii）见解析. 【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果； （II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果； （ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】（I）解：由已知，的定义域为， 且， 因此当时，，从而， 所以在内单调递增. （II）证明：（i）由（I）知，， 令，由，可知在内单调递减， 又，且， 故在内有唯一解， 从而在内有唯一解，不妨设为， 则，当时，， 所以在内单调递增； 当时，， 所以在内单调递减， 因此是的唯一极值点. 令，则当时，，故在内单调递减， 从而当时，，所以， 从而， 又因为，所以在内有唯一零点， 又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点. （ii）由题意，，即， 从而，即， 因为当时，，又，故， 两边取对数，得， 于是，整理得， 【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 8.（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲导数与不等式问题 （5类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 由导数求求在曲线上一点处的切线方程(斜率)函数的最值(含参) 2023年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数证明不等式 利用导数研究不等式恒成立问题 2022年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的零 2021年天津卷，第20题,16分 求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 利用导数研究能成立问题 函数极值点的辨析 2020年天津卷，第20题,16分 利用导数证明不等式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度较高，分值为16分 【备考策略】1.理解、掌握导数与不等式的关系 2.能掌握不等式的恒成立与有解问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助图像解决不等式问题 4.会证明不等式问题 【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数，证明不等式成立，以及求解不等式恒成立及有解问题。 知识讲解 知识点一.不等式 1．恒成立问题的转化：恒成立；恒成立 2．能成立问题的转化：能成立；；成立 3．恰成立问题的转化：在M上恰成立 的解集为M 另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若 在D上恰成立，则等价于在D上的最大值． 4．设函数、，对任意的，存在，使得，则 5．设函数、，对任意的，存在，使得 ，则 6．设函数、，存在，存在，使得，则 7．设函数、，存在，存在，使得 ，则 8．设函数、，对任意的，存在，使得 ，设在区间[a，b]上的值域为A，在区间[c，d]上的值域为B，则AB． 9．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方． 10．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方． 知识点二.恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： 1 一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象． 考点一、导数与不等式解集问题 1.（24-25高三·上海·随堂练习）若函数，其中，则的解集为（    ）． A． B． C． D． 2.（2024·山东潍坊·三模）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 1.（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3.（23-24高三下·北京·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是 ． 4.（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 5.（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 考点二、单变量不等式的证明 1.（2023·陕西榆林·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 2.（2024·陕西榆林·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 1.（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线为． (1)求的解析式； (2)证明：． 2.（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点. (1)求a； (2)证明：. 考点三、双变量不等式的证明 1.（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若的最小值为，正实数满足，证明：． 2.（2024·贵州黔东南·二模）已知函数在处的切线为轴. (1)求实数的值； (2)若，证明：. 1.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间; (2)若，证明:． 2.（2024·陕西榆林·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)已知，证明：. 考点四、不等式恒成立问题 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为 ． 2.（24-25高三上·浙江金华·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 1.（2024·黑龙江大庆·三模）已知，函数，且. (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 2.（2024高三·全国·专题练习）已知函数.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 3.（2024·陕西西安·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，恒成立，求的取值范围． 4.（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 考点五、不等式有解问题 1.（2023高三·全国·专题练习）若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·西藏拉萨·二模）已知函数. (1)当时，求函数的最值； (2)若方程在上有解，求实数的取值范围. 1.（2024·全国·模拟预测）已知函数，，. (1)若的最小值为0，求的值； (2)当时，证明：方程在上有解. 2.（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； 3.（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 4.（2024高三·全国·专题练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若对任意有解，求的取值范围. 1．（2022·福建南平·三模）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）在区间上随机取一个实数，使恒成立的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为 ． 4．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个不同的零点，证明． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知. (1)求并写出的表达式； (2)证明：. 6．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·模拟预测）已知，函数恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求； (2)证明：． 5．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 6．（2024·四川内江·三模）已知函数，. (1)若恒成立，求a的取值集合； (2)证明：. 7．（2024·福建福州·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的值 1.（2024·全国·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 2.（2023·全国·高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 3.（2023·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在处的切线斜率； (2)求证：当时，； (3)证明：． 4.（2023·全国·高考真题）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． 5.（2021·全国·高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 6.（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 7.（Ⅰ）若，讨论的单调性； （Ⅱ）若， （i）证明恰有两个零点 8.（2019·天津·高考真题）已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$