第二章 对称图形—圆（B卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（苏科版，江苏专用）

第二章 对称图形—圆（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 5．如图所示，是的直径．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 9．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 10．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知的直径为，点A在上，则线段的长为 cm． 12．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 13．如图，内接于，是直径，若，则 ． 14．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 16．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．      17．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 18．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）已知：如图，A、B、C三个点．求作：，使经过A、B、C三点． 20．（8分）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：． 21．（8分）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 22．（8分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 23．（8分）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 24．（10分）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25．（10分）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．    (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； (2)在图中画出，并连接，； (3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 27．（12分）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 28．（14分）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 对称图形—圆（B卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：第1个图形既是轴对称又是中心对称图形，第2个图形既不是轴对称又不是中心对称图形，第3个图形是轴对称但不是中心对称图形，第4个图形既是轴对称又是中心对称图形， 综上可知，共有2个图形既是轴对称又是中心对称图形． 故选：B． 2．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 3．若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 4．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】C 【解析】解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 5．如图所示，是的直径．，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图， ，， ， ． 又， ， ． 故选：A． 6．如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 7．如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【解析】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 9．两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图：连接，作于点B， ∵， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴, ∴． 故选：A． 10．如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知的直径为，点A在上，则线段的长为 cm． 【答案】4 【解析】解：的直径为， 的半径为， 点在上， 线段． 故答案为：4． 12．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是 ． 【答案】3 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，内接于，是直径，若，则 ． 【答案】 【解析】解：如图所示，连接， ∵内接于，是直径， ∴， ∵,， ∴ ∴， 故答案为：． 14．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）    【答案】6 【解析】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步， 故答案为：6． 15．如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 16．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 个．    【答案】10 【解析】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10．    17．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【解析】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108． 18．如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【解析】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当 时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 三、解答题：本大题共10小题，共96分． 19．（6分）已知：如图，A、B、C三个点．求作：，使经过A、B、C三点． 【解析】解：如图，即为所求， 20．（8分）已知：如图，、、是的三条半径，，、分别为、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵、为的半径， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（8分）如图，在中，是直径，且交圆于，求证：． 【解析】证明：连接， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ． 22．（8分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一类似问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深两寸，锯道长一尺二，问径几何?”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为寸，锯道尺（尺寸），求该圆材的直径为多少寸 【解析】解：设该圆材的半径为寸． 如图所示，过点作 于点，交于点，连接， 则寸， 设寸，尺寸， 所以 寸． 在中， 即 解得， 则，即该圆材的直径为寸． 23．（8分）如图，四边形内接于，为的直径，． (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 【解析】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 24．（10分）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 25．（10分）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【解析】解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为．将向右平移个单位，得到（点平移后的对应点为）．    (1)点的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________； (2)在图中画出，并连接，； (3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）． 【解析】（1）∵，所在圆的圆心为， ∴，所在圆的圆心坐标是． 故答案为：，． （2）如图所示：即为所求； （3）∵，， ∴的半径为， ∴， ∵将向右平移个单位，得到， ∴，， ∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长． 故答案为：． 27．（12分）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【解析】（1）证明：连接，过点作于点， ，是的中点， 为的平分线， 与相切于点，是的直径， 为的半径， ， 又， ， 即为的半径， 是的切线； （2）解：过点作于点， 点为的圆心， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ． 28．（14分）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【解析】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 学科网（北京）股份有限公司 $$