第2讲 绝对值及拓展-2024-2025学年七年级数学上册（新北师大版）

绝对值的拓展 教学目标： 借助数轴理解绝对值的概念，性质和意义. 利用绝对值比较大小. 理解绝对值的非负性. 能解决有关绝对值的常考题型. 教学重点： 绝对值性质和非负性的运用. 教学难点： 绝对值的几何意义的理解和运用. 考点一：绝对值的概念 1.绝对值的定义（几何意义）：在数轴上，一个数所对应的点到 的距离叫做这个数的绝对值.用表示一个数，则的绝对值记作 ，读作 . 2.绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它 ； 当时， ； 零的绝对值是 ； 当时， ； 一个负数的绝对值是 。 当时， ； 3.绝对值的易错点分析： 零的绝对值是_______，零的相反数是_______； 绝对值是它本身的数是_______； 若，则； 绝对值是它的相反数的数是_______； 若，则； 绝对值大于它的本身的数是_______； 若，则； 例1:（1）求下列各数的绝对值: （2）已知，则____________. 变式练习1:（1）求下列各数的绝对值： （2） 已知，则=_____________. 例2：如果一个有理数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是（ ） A. 负数 B.负数或0 C.正数或0 D.正数 变式训练2：有下列说法： ①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值；⑥正数的相反数是负数。 其中正确的是_________________.（只填序号） 考点二：绝对值比较大小 两个负数比较大小，绝对值______的反而小。 （在数轴上，右边的数总比左边的数_________；正数大于0，负数小于0，正数__________负数；） 例3：（1） （2） 变式练习3：（1） （2）与 例4:在四个数中，比-2小的数是（ ） A. -3 B.-1 C.1 D.3 变式练习4:已知四个数：3﹣2，﹣32，30，（﹣3）,3其中最大的数是 ． 考点三：绝对值的非负性 1.绝对值具有_________，即对任意有理数，总有，总之形如，不论绝对值里面是何种形式的数式，的值总是_____________. 2.非负数的性质:几个非负数（绝对值）之和为零，则分别为________． 3.关于绝对值最值问题（最大值或最小值）： 当_____时，有最_____值为___________； 当_____时，有最_____值为___________； 当_____时，有最_____值为_________ ； 例5：已知，求的值. 变式练习5:（1）已知，求的值. （2）已知和互为相反数，求的倒数是多少？ 方法总结：这种几个部分和这零的题型以后常会见到，能分别为零的关键是相加的几个部分是否具有___________.（有的题目中没有明确告诉，需要列出算式再进行判断.） 例6:（1）已知，试求的值. （2）已知，试求的值； （3）若，则的所有可能值是什么？ 变式练习6:（1）已知，则的值为____________. （2）已知，则的值为多少？ （3）若m=，则m的值为多少？ 考点四：绝对值的多解问题（分类讨论法） 1.根据绝对值的几何意义可以知道：在数轴上到原点的距离为a的点（a不为0）有两个，且两点表示的数互为相反数。即时， 2.绝对值不等式的求解问题.（如：求的整数解，要考虑解有负整数。）例7:（1）绝对值等于2018的数是____________. （2）已知，则的值为______________. （3）已知，则的值为_______________. 变式练习7:（1），则的值为_____________. （2）已知，则的值为_______________. （3）解方程：① ② 方法总结：要注意上面这种类型的题目多为填空题，由绝对值的几何意义可以直接求解，答案一般是有两个解. 例8:已知，且，试求的值. 变式练习8:（1）已知，且，试求的值. （2）已知求的值． 例9:若，且为整数，则的值为__________________. 变式练习9:已知不大于4，且为整数，则的值为___________________. 考点五：绝对值的计算求值及化简 1.要注意在有理数的混合运算中出现的绝对值以及绝对值的符号.负数的绝对值等于它的相反数. 2.取绝对值符号的唯一标准是根据绝对值里面代数式整体的正负形.（即根据绝对值的代数意义去绝对值符号后再进行化简.） 即： 注意：互为相反数的两个数的绝对值相等.（如：|-3|=|3|、|5-2|=|2-5|、|a-b|=|b-a|.） 3.数形结合思想:借助数轴化简绝对值. 例10:化简：（1） （2） （3） 变式练习10：化简：（1） （2） 例11:计算：（1） （2） 变式练习11:计算：（1） （2） 例12:,化简. 变式练习12：1.已知，化简 2.若，，为整数，且，试计算的值． 例13：已知在数轴上的位置如图所示，且． （1）比较的大小关系． （2）化简. 变式练习13：1.有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空： ，， （2）化简：. 考点六：根据绝对值的几何意义求最值 1.绝对值的几何意义：是指数轴上表示的点到__________的距离. 2.绝对值的几何意义：是指数轴上表示的点到________的距离. 3.绝对值的几何意义：是指数轴上表示的点到________的距离. 综上所述： 在数轴上表示点到 的距离。在数轴上表示点到 的距离.再画出数轴，利用数形结合思想解题.（分段讨论） 注意：数轴上两点A、B表示的数分别为a、b，则这两点间的距离. 例14：1.大家都知道，表示3与-1之差的绝对值，实际上也可理解为3和-1两个数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求. （2）找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 2.若y=，求y的最小值. 方法总结:在数轴上表示点到 的距离。在数轴上表示点到 的距离。再画出数轴，利用数形结合思想解题. 变式练习14:（1）求的最小值. （2）已知，求的最小值． 课后作业 1、如果||=－，那么一定是（ ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 2、若的相反数是3，，则的值为（ ） A.2 B.8 C.8或-2 D.-8或2 3、已知:那么以下判断正确的是（　 　） A. B. C. D. 4、若，则（ 　　） A． B． C． D． 5、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A． B． C． D． 6、如果，则；如果，则；若，则. 7、绝对值不大于4且不小于π的整数分别有　 　． 8、有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则. 9、（1）当为　 　时，有最小值，最小值是　 　； （2）当为　 　时，有最大值，最大值是　 　． 10、取最小值时，相应的x的取值范围是　 　． 11、若，求的值． 12、若a、b、c为整数，且，求． 13、认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　 　（用含绝对值的式子表示）. （2）利用数轴探究：①找出满足的的所有值是　 　，②设，当的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是　 　；当的值取在　 　的范围时，取得最小值，这个最小值是　 　． （3）求的最小值为　 　，此时的值为　 ． （4）求的最小值，求此时的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$