第1讲 有理数概念的应用-2024-2025学年七年级数学上册（新北师大版）

有理数概念的应用 教学目标： 对有理数的概念知识进行复习，对暑假所学知识的巩固。 教学重点：有理数的概念，数轴的三要素，绝对值的含义。 教学难点：有理数的概念，数轴的三要素，绝对值的含义。 知识回顾 1、和统称有理数。 2、数轴的三要素有：、、。 3、不同，相同的两个数互为相反数；的相反数是它本身。 4、的绝对值是它本身，的绝对值是其相反数。 5、一个数的绝对值，就是在数轴上（绝对值的几何意义）。 6、如果两个数，那么这两个数互为倒数。的倒数是它本身。 基础巩固 有理数概念的判断 例1：下列说法中正确的是 （ ） A、0是最小的有理数 B、若有理数，则数轴上表示m的点一定在表示n的点的左边 C、一个有理数在数轴上表示的点距离原点越远，这个有理数就越大 D、既没有最小的正数，也没有最大的负数 例2：判断题 （1）符号相反的数叫相反数；（ ） （2）数轴上原点两旁的数是相反数；（ ） （3）-(-3)的相反数是3；（ ） （4）-a一定是负数； （ ） （5）若两个数之和为0，则这两个数互为相反数；（ ） （6）若两个数互为相数，则这两个数一定是一个正数一个负数。 （ ） 例3：化简下列各数的符号：(1)-(-)； (2)-(+)； (3)+(+3)； (4)-[-(+9)] 。 练习1 1、 选择题 1、下列各数中互为相反数的是 （ ） A、 B、 C、 D、 2、下列说法中正确的是 （ ） A、有最小的正数 B、有最大的负数 C、有最小的整数 D、有最小的正整数 3、下列说法中正确的是 （ ） ① 直线叫数轴。 ② 数轴上的单位长度可以不一致。 ③ 一般地，数轴上的正方向指向左方。 ④ 用数轴上的点可以表示有理数。 A、① B、①，② C、② ，③ D、④ 4、，下列结论中正确的是 （ ） A、 B、 C、 D、 5、下列说法中正确的是 （ ） A、正数与负数互为相反数 B、符号不同的两个数互为相反数 C、数轴上原点两旁的两个点所表示的数互为相反数 D、任何一个有理数都有它的相反数。 7、一个数的相反数小于它的本身，则这个数是 （ ） A、正数 B、负数 C、0 D、负数或0 8、下列说法中正确的是 （ ） A、绝对值等于它本身的数是正数 B、有理数的绝对值一定是正数 C、绝对值等于它的相反数的数是负数 D、任何数的绝对值都不是负数 9、 下列说法不正确的是（ ） A、有理数的绝对值一定是正数 B、数轴上的两个有理数，绝对值大的离原点远 C、一个有理数的绝对值一定不是负数 D、两个互为相反数的绝对值相等 二、填空题 1、比0大的数叫做；比0小的数是。既不是正数也不是负数。 2、地图上A地海拔30米，B地海拔为米，C地海拔为米，那么这三个地方最低处是，最高处是，最高处比最低处高米。 3、若，则；若，则。 4、的相反数是；的相反数是。 四、解答题 1、将下列数分别填写在相应的括号里。 ，4，8，，，，，， 正数： ｛ ｝ 负数： ｛ ｝ 正整数：｛ ｝ 负整数：｛ ｝ 整数： ｛ ｝ 分数： ｛ ｝ 2、化简： （1）、 （2） （3）、 相反数、绝对值、倒数相关运算 1、（绝对值的意义） 1、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是_________；一个负数的绝对值是________；0的绝对值是_________. 2、 相反数的代数定义：互为相反数的两个数之和等于 3、 倒数的代数定义：互为倒数的两个数之积等于 例题讲解 例1、若，则 例2、数轴上A点表示+7，B、C两点所表示的数是相反数，且C点与A点的距离为 2，求B点和C点各对应什么数？ 例3、若a>0>b,且数轴上表示a的点A与原点距离大于表示b的点B 与原点的距离 ，试把a,-a,b,-b这四个数从小到大排列起来。 例4、一个正数的相反数小于它的倒数的相反数，在数轴上，这个数对应的点 在什么位置？ 例5、如果a,b表示有理数，在什么条件下，a+b和a-b互为相反数？a+b与a-b的 积为2？ 练习2： 1、若|x|=4，则x=_______________;若|a-b|=1，则a-b=_________________; 2、若-m>0,|m|=7,求m. 3、若|a+b|+|b+2|=0,求a,b的值。 4、去掉下列各数的绝对值符号： (1)若x<0,则|x|=________________； (2)若a<1,则|a-1|=_______________; (3)已知x>y>0,则|x+y|=________________; (4)若a>b>0,则|-a-b|=__________________. 5、比较-(-a)和-|a|的大小关系。 6、若a<0,b<0且|a|<|b|,试确定下列各式所表示的数是正数还是负数：(1)a+b (2)a-b (3)-a-b (4) b-a 7、一个有理数在数轴上对应的点为A，将A点向左移动3个单位长度，再向左 移动2个单位长度，得到点B，点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等，求点 A的对应的数是什么？ 8、 化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2. 9、 设是最小的自然数， b是最大的负整数。c是绝对值最小的有理数， 则的值。 培优提升 一、掌握命题动态 1、的倒数是（ ）A、2 B、 C、 D、－2 2、若a与2互为相反数，则|a＋2|等于( ) A、0 B、－2 C、2 D、4 3、实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a-b|-的结果是 ( b O a ) A、2a-b B、b C、-b D、-2a+b 二、把握命题趋势 4、（信息处理题）已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，求的值. 5、有理数在数轴上的位置如图所示，化简 6、（科学探究题）已知，，且，求的值 7、（学科综合题）不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别是A、B、C，如果，那么点B （ ）． A．在A、C点的右边 B．在A、C点的左边 C．在A、C点之间 D．上述三种均可能 8、（课标创新题）已知都是有理数，且满足＝1，求代数式：的值. 9、（实际应用题）检查5袋水泥的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查结果如表格所示： 水泥编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差 ＋10 －5 ＋8 －7 －3 （1）最接近标准质量的是几号水泥？ （2）质量最多的水泥比质量最少的水泥多多少千克？ 10、（阅读理解题）阅读下面材料： 　　点A、B在数轴上分别表示实数a 、b，A、B两点之间的距离表示为︱AB︱．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1， ︱AB︱＝︱OB︱＝︱b︱＝︱a－b︱； 图1 图2 图3 图4 当AB两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边， ︱AB︱＝︱OB︱－︱OA︱＝︱b︱－︱a︱＝b－a＝︱a－b︱； ②如图3，点A、B都在原点的左边， ︱AB︱＝︱OB︱－︱OA︱＝ ︱b︱－︱a︱＝－b－（－a）＝ ︱a－b︱； ③如图4，点A、B在原点的两边， ︱AB︱＝︱OA︱＋︱OB︱＝︱a︱＋︱b︱＝a＋（－b）＝ ︱a－b︱． 综上，数轴上A、B两点之间的距离︱AB︱＝ ︱a－b︱． （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是__________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__________； ②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是__________，如︱AB︱＝2，那么x为__________； ③当代数式︱x＋1︱＋︱x－2︱取最小值时，相应的x的取值范围是__________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$