第9讲 反比例函数k值几何意义-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

反比例函数K值的几何意义 教学目标：:在学习了反比例函数的图象和性质的基础上,结合图象及反比例函数解析式掌握”k”的几何意义;并运用”k”的特殊意义求相关面积或求出反比例函数的解析式。 教学重点：掌握”k”的几何意义;并运用”k”的特殊意义求相关面积或求出反比例函数的解析式. 教学难点：灵活运用”k”的几何意义解答题. 相关知识点内容 如图所示， 过双曲线上任一点作轴、轴的垂线PM、PN,垂足为M、N，所得矩形PMON的面积S=PMPN= ∴; 过双曲线上任一点作轴的垂线EF,垂足为F,所得△OEF的面积S=OFEF= 这就说明，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数。这是系数k几何意义,明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便。 下面两个结论是上述结论的拓展： 如下图，则有 （1）如图①， 图① 图② （2）如图②， 题型一：利用k值几何意义求围成的矩形或三角形面积 例1：已知点P（﹣3，2），点Q（2，a）都在反比例函数y=（k≠0）的图象上，过点Q分别作两坐标轴的垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 变式练习1：如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形ABCD的面积为（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 例2：如图，点A为反比例函数y=﹣图象上一点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△ABO的面积为（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．无法确定 变式练习2：如图，在△AOB中，AO=AB，点A在第一象限，点B在x轴上，△AOB的面积为4，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，则k的值等于（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 题型二：利用k值的几何意义及组合面积求解 例3：如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 变式练习3：如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=（x＞0）、y=（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 例4：如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥y轴，C、D在y轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　） A．1.5 B．1 C．3 D．2 变式练习4：如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．﹣4 例5：如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 变式练习5：如图，点A，B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D． 题型三：特殊位置点之间的坐标关系及相似 例6：如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式练习6：如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A．8 B．3 C．2 D．4 题型四：特殊位置线段之间的比例关系 例7：函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P是y=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=AP．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 变式练习7：如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（　　） A．﹕1 B．2﹕ C．2﹕1 D．29﹕14 题型五：综合应用 例8：如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（　　） A． B．6 C．3 D．12 变式练习8：如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx与y=﹣的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 例9：如图，点A在反比例函数y=图象的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且EC=AC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为5，则k的值为（　　） A． B．10 C． D．12 变式练习9：如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与正方形OABC的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN，则下列选项中的结论错误的是（　　） A．△ONC≌△OAM B．四边形DAMN与△OMN面积相等 C．ON=MN D．若∠MON=45°，MN=2，则点C的坐标为（0，+1） 例10：如图，矩形ABCD的顶点D（m，4）在反比例函数y=（k≠0，x＜0）的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E（0，﹣2），连结BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（　　） A．﹣12 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣6 变式练习10：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（﹣2，6），点B是动点，反比例函数y=（x＜0）经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 课后作业 1、如图，点A的反比例函数y=（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 2.若反比例函数y=的图象如图，P，Q为任意两点，SOAP记为S1，S△OBQ记为S2，则：（　　） A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法判断 3.如图，点A在双曲线y=﹣上一动点，过点A作AB∥y轴交双曲线y=﹣上于点B，点C在y轴上，当点A在双曲线y=﹣上一运动时，△ABC的面积（　　） 4.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（　　） A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y= 5．如图，平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上，CD平行于x轴，直线AC交x轴于点E，BC⊥AC，连接BE，反比例函数（x＞0）的图象经过点D．已知S△BCE=2，则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．4 6．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形AGHD和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（　　） A． B．+1 C． D．3 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（　　） A． B． C．4 D．5 8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是12，则k=（　　） A．6 B．9 C． D． 10．如图，点A，点B分别在反比例函数y=和y=的图象上，AB∥x轴，点C，点D分别是OA，OB的中点，则四边形ABDC的面积为（　　） A． B． C．4 D．2 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，连接OA交⊙A于点C，且点C为OA中点，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4﹣ B．4 C．2 D．2 12．如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=（x＞0）上，点A、C在x轴上，连结BC交AD于点P，则△OBP的面积是（　　） A．2 B． C．4 D．6 二．解答题（共1小题） 13．如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式． 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $$