第8讲 反比例函数的概念、图象及性质-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

反比例函数的定义与性质 教学目标：通过本堂学习，理解反比例函数的表达形式，掌握反比例函数的图像的性质，并能根据性质解决相关问题 教学重点：教会学生理解并运用反比例函数图像的增减性、对称性 教学难点：反比例函数图像的增减性、对称性 考点一:反比例函数的定义 相关知识点内容 概念：一般的，如果两个变量的对应关系课表达为的形式，则我们称，是的反比例函数。 表达形式：反比例函数除了（1）中的常见表达形式外，还有和这两种表达形式。 【例题讲解】 例1:下列函数中是反比例函数的有____________（填序号） ①；②；③；④；⑥；⑦ 变式练习1：下列函数：①；②；③；④；⑤中是反比例函数的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例2：下列选项中，是反比例函数关系的为（ ） A.在直角三角形中30°所对的直角边和斜边之间的关系 B.在等腰三角形中，顶角与底角之间的关系 C.圆的面积与它的直径之间的关系 D.面积为20的菱形，其中一条对角线与另一条对角线之间的关系 变式练习2：下列所给出的变量间的关系，是反比例函数（ ） A.周长一定时，等腰三角形的腰与底边之间的关系 B.三角形的高一定时，三角形的面积和底边之间的关系 C.某村庄的耕地为k亩，人口逐渐增加，每个人所分到的土地和人口之间的关系 D.已知圆柱的底面直径不变，圆柱的体积和高之间的关系 例3：已知是反比例函数，则m的取值为_____________。 变式练习3： 1、已知是反比例函数，则k的取值为________________。 2、函数是反比例函数，则m的取值为_____________。 3、函数是反比例函数，则k的取值范围是______________。 考点二:求反比例函数的表达式 相关知识点内容 常用方法：待定系数法（先把表达式假设出来，再代入对应的横纵坐标值求出待定的系数）常用的形式是： 例4:在物理上我们知道欧姆定理，电压不变时。电流和电阻成反比例关系。已知电压不变电阻，（Ω和是电阻和电流单位）。 （1）求电流和电阻之间的关系； （2）时，这时候的电流强度有多大？ 变式练习4： 1、已知平行四边形ABCD中AB=4，AD=2，E为AB上的动点，DE延长交BC延长于F，AE=，CF=，求与之间的函数关系 2、如图，已知三角形ABC的边长为，E、F分别爱CB和BC的延长线上，∠EAF=120°，BE=，CF=。 （1） 求与之间的函数关系，并求出自变量的取值范围。 （2） 当为何值时△ABE≌△ACF 例5:已知与成反比例；与成反比例。 （1）试证明，是的一次函数； （2）若当=1时=2，当=2时=1，求当=5时，的值。 变式练习5： 1、已知与成正比例，与成反比例，且，当=6时=9，当= -1时=2，求与之间的函数关系。 2、已知，与成正比例，与成反比例，当=-1时=3，当= 2时=-3，求与之间的函数关系。 考点三:反比例函数的图像及性质 相关知识点内容 1. 反比例函数图像的特征 ①整个图像是双曲线； ②它有两个分支分别关于原点对称，要么在一、三象限，要么在二、四象限； ③另外因为自变量所以，故不过原点； ④两支无限延长且永远和轴轴没有交点 2. 图像与性质 表达式： 反比例函数 表达式： 的符号 图 像 性 质 （1） 自变量，因变量。 （2） 图像在一、三象限，并且在每个象限内随值增大而减小。 （1）自变量，因变量。 （2）图像在一、三象限，并且在每个象限内随值增大而增大。 题型一：反比例函数的图象 例6 : （1）对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A.图像经过点（2，-1） B.图像位于第二、四象限 C.当时，随增大而增大 C.当时，随增大而减小 （2）已知反比例函数的图像在每个象限内y随x增大而增大，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A.方程有两个不等实数根 B.方程有两个相等实数根 C.方程不一定有实数根 D.方程没有实数根 （3）已知反比例函数（k<0）的图像上有两个点，且，则的值是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 变式练习6： 1、如果反比例函数的图像所在的每个象限内，随增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、若关于的一元二次方程没有实数根，则反比例函数（ ） A.图像经过一、三象限 B.像经过二、四象限 C.在每个象限内随增大而增大 D.在每个象限内随增大而减小 例7:已知点，都在反比例函数图像上，则（ ） B. C. D. 变式练习7： 1、如图，点M（xM，yM）、N（xN，yN）都在函数图象上，当0＜xM＜xN时，（　　） A．yM＜yN B．yM=yN C．yM＞yN D．不能确定yM与yN的大小关系 2、已知都是反比例函数上的点，且，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 题型二：反比例函数的对称性 （1） 反比例函数和正比例函数均关于原点成中心对称； （2） 反比例函数图像关于轴对称，并且形成交点，两交点距离最短。 例8:如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，若点A的坐标为（-2，3），则点B的坐标是_____________ 变式练习8： 1、如图，过原点的直线与双曲线交于A、B两点，点A横坐标为-2，点B的纵坐标为-3，求a的值。 2、如图，过原点的一条直线与反比例函数（k≠0）的图象分别交于A，B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（　　） A．（a，b） B．（b，a） C．（-b，-a） D．（-a，-b） 3、如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则x1y2-3x2y1的值为（　　） A．-10 B．-5 C．5 D．10 题型三：一次函数与反比例函数中的分类讨论 例9：在同一坐标系下，函数和的图像大致是（ ） 变式练习9： 1、已知一次函数的图像（如图所示），那么正比例函数和反比例函数在同一坐标系下的图像大致是（ ） 2、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标轴下的图像可能是（ ） 课后练习 1、若函数的图象在第一、三象限，则函数y=kx-3的图象经过( ) A.第二、三、四象B.第一、二、三象限C.第一、二、四象D.第一、三、四象限 2、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（　 　） A、－1或1 　 B、小于 的任意实数 C、－1　　 　Ｄ、不能确定 3、反比例函数y=的图象如下图所示，则下列结论正确的是（　　） A．常数m＜1 B．y随x的增大而增大 C．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k D．若P（﹣x，y）在图象上，则P′（x，﹣y）也在图象上 4、已知点A（）、B（）是反比例函数（）图象上的两点，若，则有（　　） A． B． C． D． 5、如图，正比例函数y=mx与反比例函数（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（　　） A．（-2，-4） B．（-2，-1） C．（-1，-2） D．（-4，-2） 6、正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（ ） x y x o y x o y x o A B C D 7、从-3，5,0,1，-2，3五个数中任取一个数记作k的值，其中能使的图像经过二、四象限，又能使一元二次方程有实数根的有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8、已知是的反比例函数，当=3时，=4，则当=2时= 。 9、若反比例函数的图象在第二、四象限，则 m 的取值范围是 . 10、已知-2与成反比例，当=3时，=1，则所得与间的函数关系式为 。0. 11、小明给气球充气时发现气球内的气压是气体体积的反比例函数，函数如图所示。 （1）写出关于的函数表达式。 （2）当时，气球内的体积是多少？ （3）为了安全起见，气球内的气压不能大于120，则气球的体积应控制在什么范围？ 12、如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为。 （1）求出两个函数的表达式； （2）求过点B关于x轴对称的点的反比例函数解析式； （3）当过原点的正比例函数与反比例函数两交点为A，B两点，且AB=20，再将A，B两点关于y轴对称形成A’，B’，求过A’，B’的正比例函数。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$