第6讲 相似判定和实际应用-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

相似三角形的判定和实际运用 教学目标：通过本章的学习，对相似的判定及运用有更好的理解，并且能够熟练掌握相似三角形的几种判定。 教学重点：相似的判定 教学难点：黄金分割题型 考点一、相关知识点内容 在△ABC与△中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，，我们就说△ABC与△为相似三角形。记作：△ABC∽△，为它们的相似比。 相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 相似三角形的判定方法： 两个三角形相似的条件 符号 适用范围 两角对应相等 AA 所有三角形 两边对应成比例且夹角相等 SAS 所有三角形 三边对应成比例 SSS 所有三角形 例1：（1）1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC． （1）求证：△ABD∽△DCB； （2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长． （2）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且． （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）若，求的值． 变式练习1：（1）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AE=6，求AF的长． （2）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE． 求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF． 例2：（1）如图，在平行四边形ABCD中，AF⊥BC于点F，AE⊥CD于点E，连接AC、EF。 （1）求证：△ABF∽△ADE； （2）求证：△ABC和△AFE相似。 例3：如图，已知△ABC中，BD、CE为高，求证： 变式练习2（1）如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上。 1、如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE； 2、如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论。 （2）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长． 例4、下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是 ( ) 变式练习4.如图所示，某地四个乡镇A、B、C、D之间建有公路，已知AB＝8千米，AD＝16千米，BD＝12千米，BC＝24千米，DC＝18千米，公路AB与DC平行吗？说明你的理由。 考点二、相关知识点内容 1、 测量旗杆的高度有三种方法： (1) 利用阳光下的影子； (2) 利用标杆（对应“A”字形） (3) 利用镜子反射（对应“8”字形） 2、对影子没“落地”问题的处理有两种方法：①人为“抬高地平线”；②设法消除“障碍物”，让光线与水平地面相交，转化为常规影长问题。 例5.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米。 （1）求路灯A的高度； （2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？ 变式练习5：（1）如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？ （2）小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=25米。当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米。请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）。 例6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DE保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上。已知纸板的两条边DE=70cm，EF=30cm，测得AC=m，BD=9m，求树高AB。 变式练习6：（1）如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼的同侧观察这堵墙，视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②（CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF），甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高5米，DF=100米，BG=10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差． （2）如图，小明测得树AB落在水平地面上的影长BC为 2.4 米，落在坡面上的影长CE为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，长度为2米．已知坡面的铅直高度CH与水平距离DH的比为3：4，试求树AB的高度． 考点二、相关知识点内容 黄金分割：如图，点把线段分成两条线段和（），若（即：），则称点为线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即:．称为黄金分割数，它的近似值为0.618 简记为：叫做黄金比值。 例7：实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2=BM•AB，BN2=AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b-a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差 m-n= . 变式练习7：如图所示，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，即AD=AE，BE交DC于点F，已知AB=+1，则CF=______． 课后作业 1、如图：F是的AB边上一点，下列结论正确的个数是（ ） ①若，则∽；②若,则∽； ③若，则∽；④若，则∽； A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2、如图，已知AB：AC＝AE：AD，求证：△ODB∽△OEC。 3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB． （1）求证： AB/AE=AC/AD； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形． 4、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，AD=AC，EC交AD于点F． （1）求证：△ABC∽△FCD； （2）求证：FC=3EF． 5、 如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD； （2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm2． ①求y关于x的函数关系式． ②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由． 6．如图，某光源下有三根杆子，甲杆GH的影子GM，乙杆EF的影子一部分照在地面上EA，一部分照在斜坡AB上AD． （1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面上的影子． （2）在（1）的结论下，若过点F的光线FD⊥AB，斜坡与地面夹角为60°，AD=1米，AE=2米，请求出乙杆EF的高度．（结果保留根号） 7．小明和同学去公园游玩，他们在一个平台上看见一个移动通信的信号转播铁塔，他们决定尝试着测量这个铁塔的高度，于是，小明来到平台的边缘的C处，测得仰角为45°，他们沿着台阶往下走，来到第二个平台的E处，测得仰角为30°，（其中，点A、C、D、E在同一平面上）小明和同学发现台阶共10级，每阶高20厘米，每阶宽30厘米，另测得E点到台阶的边缘D处距离为8米，请你利用上述数据求出铁塔AB的高度．（≈1.7 结果精确到1米） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$