第5讲 相似多边形概念性质和相似三角形性质-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

相似多边形的概念性质及相似三角形性质 教学目标：1、掌握相似多边型的定义和性质 2、掌握相似三角形性质 教学重点：相似多边型的性质与相似三角形性质。 教学难点：相似多边型的性质的灵活运用。 考点一、相似多边形的概念及性质 1. 相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边的长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的长度的比叫作相似比． 2. 相似多边形的性质:由相似多边形的定义知相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 定理1　相似多边形周长的比等于相似比； 定理2　相似多边形面积的比等于相似比的平方． 例1：如图，下列图中与它相似的是（　　） 变式练习1：（1）如图所示，已知四边形ABCD与四边形相似，则∠=　 　． （2）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（　　） A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b 例2：四边形ABCD和四边形中，，且四边形的周长为80cm，求四边形ABCD的周长． 变式练习2：已知中，AB=15cm,BC=20cm,AC=30cm,另一个与它相似的的周长为130cm,求的各边的长。 例3. 如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=　　． 变式练习3：一个矩形ABCD的较短边长为2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 例4.彼此相似的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，）D．（，） 变式练习4：已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　 　． 例5.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD． （1）求证：EB=GD； （2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长． 变式练习5：九年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题： （1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似； （2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE； （3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长． 考点二、相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等。 2.相似三角形的对应边成比例。 3.相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 4.相似三角形的周长比等于相似比。 5.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 6.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC ∽A2B2C2 例6.如图的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空： (2)与(1)的相似比为( )，(2)与(1)的面积比为( )， (3)与(1)的相似比为( )，(3)与(1)的面积比为( ) (3)与(2)的相似比为( )，(3)与(2)的面积比为( )。 变式练习6：（1）已知△ABC∽△DEF，,且AD为BC边上的中线，DG为EF边上的中线，则AD：DG= ．　 （2）中山公园的儿童游乐场是两个相似的三角形，相似比为2：3，面积的差是30m2，则它们的面积之和为　 　． 例7.如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE=4，BC=12，CD=9，AD=3，求AE、BE的长． 变式练习7：（1）已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE． （2）如图，已知△ABC∽△DEF，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF，FC的长． 例8.已知△ABC∽△DEF，，△ABC的周长是12，面积是30． （1）求△DEF的周长； （2）求△DEF的面积． 变式练习8：如图，若△ADE∽△ABC，DE和AB相交于点D，和AC相交于点E，DE=2，BC=5，，求． 例9.如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC＝120mm,高AD＝80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 变式练习9：已知：如图：FGHI为矩形，AD⊥BC于D，，BC＝36cm,AD＝12cm 。求：矩形FGNI的周长。 课后作业 1、如图，把一张矩形纸片对折两次得到四个小矩形，如果每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为（　　） A．：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1 2、下列图形中一定相似的一组是（　　） A．邻边对应成比例的两个平行四边形 B．有一条边相等的两个矩形 C．有一个内角相等的两个平行四边形 D．底角都是60°的两个等腰三角形 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　） A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）或（﹣2，3）D．（﹣2，3）或（2，﹣3） 4、如图，在矩形ABCD中，AB=a，将矩形ABCD沿EF对折后，得ABFE和矩形EFCD，然后再把其中的一个矩形EFCD沿MN对折，得矩形MNCF和矩形MNDE，…，依此类推，得矩形PRSN和RQCS，并且所有矩形都相似，则RS等于（ ） A． a B．a C．a D．a 5、如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） A．0.618 B． C． D.2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$