第4讲 比例线段与平行线分线段成比例-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

比例线段与平行线分线段成比例 教学目标：1.理解并掌握成比例线段的定义及基本性质； 2.理解并掌握平行线分线段成比例的相关定理及其证明。 3.应用相关知识解决实际问题。 教学重点：重点：成比例线段及平行线分线段成比例定理的理解。 教学难点：应用比例性质及平行线分线段成比例定理解决问题。 相关知识点内容 考点一： 1、线段的比： 若对同一个长度单位量得的两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么说这两条线段的比AB：CD= ，或写成= ，其中，线段AB、CD分别叫做这个线段比的 、 。如果把表示成比值k，那么，或，两条线段的比实际上就是两个数的比。 2、比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，其中a、d叫做 ，b、c叫做 ，若a:b=b:c，则称b是a、c的 ； 【注意顺序问题】 A.当题目给出a、b、c、d为成比例线段时，表示有先后顺序之分：为； B、当题目问a、b、c、d是否为成比例线段时说明没有先后顺序，只要按照一定的顺序，满足比值相等就行。 例1、（1）a=4，b=16，c=8，若a、c、b、d成比例线段．则d=　 　． （2）已知C是线段AB上一点，若=，则=　 　 （3）已知a、b、c、d是成比例线段，即=，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d=　 　 变式练习： （1）已知线段a，b，c，d成比例线段，且a=4，b=2，c=2，则d的长为　 　． （2）已知三条线段的长是1，，2，请你再添上一条线段，使这四条线段成比例线段，则这条线段长为　 　． （3）（黄冈二模）如图是两把按不同比例尺进行刻度的尺子，每把尺子的刻度都是均匀的，已知两把尺子在刻度10处是对齐的，且上面尺子在刻度15处与下面的尺子在刻度18处也刚好对齐，则上面尺子的刻度16在下面尺子对应的刻度是（　　） A、19.4 B、19.5 C、19.6 D、19.7 方法总结： 考点二：比例的基本性质： （1）基本性质：若，则ad=bc，可由ad=bc推出a:b=c:d,a:c=b:d,d:b=c:a和d:c=b:a； （2）合比性质：若，则； （3）反比性质：若，则； （4）等比性质：若……=，则（b+d+…+n≠0） 注：与比例有关的计算和证明，用比例的性质不方便时，就先设比值为k（或其中一份为k），从而转化为关于k的代数式运算。 例2、（1）（2018·白银）已知，下列变形错误的是（ ） A． B． C． D． （2）（2018·成都）已知，且a+b-2c=6，则a的值为___ _____． （3）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=　 　 变式练习： （1）已知=，且y﹣x=2，则xy的值为　 　 （2）若===，3b﹣2d+f≠0，则=　 　． （3）若2x=3y=4z=k（k≠0），则的值是　 　． （4）已知：，求a：b：c的值． （5）已知x：y=3：2，y：z=0.3：，求x：y：z． （6）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=48，，求： ①求a、b、c的值； ②若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 方法总结： 考点三：比例尺 ，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。 例3、在比例尺为1：38000的城市交通图上，某道路的长为7厘米，则这条道路的实际距离为　 　千米 变式练习： （1）在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为 m。 （2）小丽家住在花园小区离站前小学的直线距离是5km． ①请你先量一量花园小区到站前小学的图上距离（四舍五入，保留整厘米），再求出这幅图的比例尺； ②将求出的比例尺用线段比例尺表示出来． 方法总结： 考点四：线段的等比性应用 例4、若===m，则m的值是　 　 变式练习： （1）已知＝＝＝k（a+b+c≠0），那么y=kx+k的图象一定不经过（　　） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 （2）设a，b，c是△ABC的三条边，且＝＝，判断△ABC为何种三角形，并说明理由。 （3）（鞍山）已知k= = =（a+b+c≠0），且 +n2=6n-9，则自变量为x的反比例函数y= 的图象分布在第 象限。 方法总结： 考点五：平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 （1）定理的基本图形： ∵，则， ，) ①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。 ②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： ，可以说成“上比下等于上比下” ，可以说成“上比全等于上比全” ，可以说成“下比全等于下比全”等。 （2）三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形： ☆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 于三角形的第三边； ☆推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得 成比例。 ☆平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 ☆三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。 ①这个定理可以用来判定两条直线平行。 ②使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 （3）三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。 ①这个定理可以用来判定两条直线平行。 ②使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。 （4）平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图，其中AB=BC，DE=EF，则=1，但L1、L2、L3不平行。 例5、如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 变式练习： （1）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，AH=2，HB=1，BC=5，则=（　　） A． B．2 C． D． （2）如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　） A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=GC D．EG=2GC 方法总结： 例6、如图，△ABC中，DE∥BC，=，AE=2cm，则AC的长是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 变式练习： （1）如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=　 　． （2）如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． （3）P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图）． 求证：； ． （4）如图，已知AD∥EF∥BC，如果AE=2EB，DF=6，那么CD的长为　 　． 方法总结： 例7、如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（　　） A． B． C． D． 变式练习： （1）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，若AO=3，BO=6，CO=2，则BD的长为（　　） A．4 B．10 C．11 D．12 （2）如图所示，AB∥CD∥EF，AC与BD相交于点E，若CE=4，CF=3，AE=BC，则的值是　 　． （3）在△ABC中，AD是高，E是AD的中点，连接CE，并延长交AB于点P，过点A作AQ∥BC，交CP的延长线于点Q，BD：CD：AD=1：2：3． ①求的值； ②若BD=5，求CQ的长． 方法总结： 例8、如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（　　） A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5 变式练习： （1）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE=AD，BE的延长线交AC于F，则的值为（　　） A． B． C． D． （2）如图，△ABC中，D在AC上，且AD：DC=1：n，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，那么的值为　 　（用n表示）． （3）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论： ①当=时，=； ②当=时，=； ③当=时，=；… 猜想：当=时，=？并说明理由． 方法总结： 例9、如图，已知点O是△ABC中BC边上的中点，且，则=　 　． 变式练习：如图，延长△ABC的边BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．求EC：AC的值． 方法总结： 例10、如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=，那么等于（　　） A． B． C． D． 变式练习： （1）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，BC=7，AE=4，求DE的长． （2）如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于　 　． （3）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是　 　． 方法总结： 例11、已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值． 变式练习： （1）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE． （2）如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，以AC、AD为边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于F，求证：EF=FB． 方法总结： 例12、如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，点G在边BC上，AG交DE于点H，点O是线段AG的中点，若AD：DB=3：1，则AO：OH=　 　． 变式练习： （1）如图，四边形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AC、AD上，连接EF，FG．如果EF∥BC，且AE•AD=AG•AB．求证：FG∥CD． （2）已知△AEF中，BD∥EF，B、D分别在AE、AF上，DE、BF交于点C，AC交EF于点M，求证：EM=MF． 方法总结： 【课后作业】 1、已知M是线段AB延长线上一点，且AM：BM=5：2，则AB：BM为　 　． 2、如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2． （1）求下列各线段的比：，，； （2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可） 3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且==≠0，求： （1）的值． （2）若△ABC的周长为90，求各边的长． 4、如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则的值应该（　　） A．等于 B．大于 C．小于 D．不能确定 5、已知：如图，在三角形ABC中，FG∥DE∥BC，且BD=DF=AF；求证：DE+FG=BC 6、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AE：ED=1：2，BE的延长线交AC于F，则AF：FC=　 　． 7、如图，在△ABC中，E为AB边的中点，P为BE上一点，过点P作PQ∥BC交AC于Q，交CE于M，若PM=2，MQ=3，则BC=　 　． 8、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求： （1）的值； （2）线段GH的长． 9、如图，△ABC中，AB=7，BC=6，AC=8，延长∠ABC、∠ACB的角平分线BD、CE分别交过点A且平行于BC的直线于N、M，BD与CE相交于点G，则△BCG与△MNG的面积之比是　 　． 10、如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，求：BG：GH：HM的值。 15 学科网（北京）股份有限公司 $$