第3讲 一元二次方程的应用-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

第三讲 一元二次方程的应用 教学目标：学会用一元二次方程解决实际应用题；掌握一元二次方程的几种应用。 教学重点：一元二次方程解决应用题的方法 教学难点：利用一元二次方程解决增长率问题与利润问题 考点一：增长率问题 知识点再现及解析 1. 对于平均增长（降低）率问题，应用公式_______________可直接列方程，为增长（降低）前的基础数量，为增长率（降低率），为增长（降低）的次数，为增长（降低）后的数量． 要注意根据具体问题的实际意义检验结果的合理性． 例1、（1）成都市2014年平均房价为每平方米8000元．连续两年增长后，2016年平均房价达到每平方米11000元，设这两年平均房价年平均增长率为，根据题意列出方程。 （2） 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆． ①求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率； 为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆． 变式训练1：某城市居民最低生活保障在2014年是480元，经过连续两年的增加，到2016年提高到691.2元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______． 考点二：草坪问题(面积问题） 知识点再现及解析 实质是面积问题，根据面积关系列出方程求解即可，一般情况下将中间的小矩形平移到边上再求解。 例2、如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。若耕地面积需要551m2，则修建的路宽应为多少米？ 变式训练2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。 考点三、篱笆问题 知识点再现及解析 一段篱笆的长度是固定，可以设出长或宽以后根据条件列出方程。（题目中面积发生变化，但是________不变） 例3、如图，利用一面长25的墙，用50长的篱笆，围成一个长方形的养鸡场。 （1）怎样围成一个面积为300的长方形养鸡场？ （2）能否围成一个面积为400的长方形养鸡场？如能，说明围法；如不能，请说明理由。 变式训练3：如图所示，有一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙（墙长为12）的矩形鸡场ABCD，由大小相等且彼此相连的三个矩形组成，鸡场的总面积为32，求出AB边的长。 考点四：销售问题 知识点再现及解析 1.解决销售问题必须熟练掌握以下内容： ①每件商品的利润=每件商品的___________—每件商品的__________价； ②利润率=每件商品的_________÷每件商品的________价（成本）×100％； ③总利润=________商品的利润×_________量=总销售量—总进价； ④打几折=原价的百分之几十。 ⑤进价×（1+利润率）=卖价×（打折数÷10） 例4：东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 变式训练4：某商店进了一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低1元，商场平均每天多售出2件，求： （1）若商场平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降低多少元时，该商场每天盈利最多？ 例5、某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克，且10≤≤18）之间的函数关系如图所示； （1）求（千克）与销售价的函数关系式； （2）该经销商想要获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 变式训练5：某商场销售一种商品，在一段时间内，该商品的销售量（千克）与每千克的销售价（元）满足一次函数关系（如图所示），其中30≤≤80． （1）求关于的函数解析式； （2）若该种商品每千克的成本为30元，当每千克的销售价为多少元时，获得的利润为600元？ 考点五：动点问题 例6、如图所示,在△ABC中,∠B=,点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积等于8㎝？（2）如果点P、Q分别从A、B同时出发，并且点P到点B后又继续在BC边上前进，点Q到C后又继续在CA边上前进，经几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6㎝？ 变式训练6：如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. （1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？ （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？ 课后作业 1.为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本）．该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本． （1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率； （2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人．如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长，求的值至少是多少？ 2.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 3.水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 4.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$