第2讲 判别式与韦达定理-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

第二讲 根的判别式与韦达定理 教学目标：会用判别式判定方程的根的情况，掌握并能熟练的运用韦达定理解题 教学重点：利用判别式与韦达定理求参数的值 教学难点：判别式与韦达定理的综合使用 考点一：判别式的简单运用及逆运用 知识点再现及解析 在中，令___________，其中，称为一元二次方程根的判别式。 （1）当时，方程有_______个_________的实数根； （2）当时，方程有_______个_________的实数根； （3）当时，方程__________实数根。 换言之，当方程有实根时，_______0。 例1:已知一元二次方程：①；②．下列说法正确的是（ ） A． ①②都有实数解 B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解 D．①②都无实数解 变式练习1：一元二次方程，根的情况是（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实数根 C．无法判断 D．无实数根 考点二：恒成立问题 例2：已知关于的方程．求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 变式训练2：已知关于的方程。求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； 考点三：方程的解问题 例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 变式练习3：（1）关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，求的取值范围． （2）已知关于的方程。若等腰三角形ABC的一边长=1，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。 考点四：韦达定理的直接运用 知识点再现及解析 对于有实数根的一元二次方程（），设两根为、，则有：_________；_________。 注意：利用根与系数的关系求两根的代数式的值时，注意前提条件为：一元二次方程要有实数根。所以通常需要利用判别式来检验根的情况。 例4：下列方程两根的和与两根的积各是多少？ （1） （2） （3） 变式训练4：已知一元二次方程的两个根为，下列结论正确的是（　　） A． B． C．都是有理数 D．都是正数 考点五：韦达定理的导出公式 知识点再现及解析 韦达定理中常用导出公式： ①=_________________；②=_________________； ③=_________________；④=_________________； ⑤=___________________；⑥=____________________； ⑦=____________________；⑧_________________. 例5：设是方程的两实数根，则　 　． 变式训练5：（1）一元二次方程的两根分别为，求 （2）已知是方程的两个根，求的值 考点六：一元二次方程中参数的确定 1、 简单的参数确定 例6：已知是方程的一根，则方程的另一根是 ， 。 变式训练6：已知关于的方程．当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； 2、 运用判别式确定参数 知识点再现及解析 ①若一元二次方程有两个不相等的实数根 △__________0； ②若一元二次方程有两个相等的实数根 △__________0； ③若一元二次方程没有实数根 △__________0； ④若一元二次方程有实数根 △__________0。 例7、关于的方程有实根，求的取值范围。 变式训练7：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围。 3、 4、 运用判别式及韦达定理求参数 知识点再现及解析 ①方程有两正根，则； ②方程有两负根，则 ； ③方程有一正一负两根，则； ④方程一根大于，另一根小于，则。 例8：若是方程的两个根，且，求的值。 变式训练8：（1）已知斜边为5的直角三角形的两条直角边的长是方程的两个根，求的值。 （2）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求的值。 考点七：直接构造求代数式的值 知识点再现及解析 在如果方程的两个根是，那么________,________。 以为根的一个一元二次方程为______________________________ 例9：甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为﹣3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2和2，则原方程是（　　） A． B． C． D． 变式训练9：求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数。 考点八：变形构造求代数式的值 例10：已知满足，则的值等于_________。 变式训练10：已知实数，且满足．则的值为　 　． 例11：已知，，且，求。 变式训练11：已知，且有，，求的值。 考点九：利用降次整体的思想求代数式的值 例12：已知是方程的两根，求的值。 变式训练12：（1）已知是方程的实数根，求的值。 （2）已知关于的一元二次方程的两个实数根为和。 1、若此方程的两根之和不大于两根之积，求之值； 2、若，求之值。 课后作业 1.关于的一元二次方程，其中分别为△ABC三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 2.已知是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值。 3.已知是关于的一元二次方程的两实数根，求的最小值。 4.关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，存不存在这样的实数，使得？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由。 5. 若实数分别满足，求的值。 6.已知，且，求的值。 7.设是方程的两个实数根，求的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$