第1讲 一元二次方程的定义及解法-2024-2025学年九年级数学上册（北师大版）

第一讲 一元二次方程的定义及解法 教学目标：理解一元二次方程的定义；掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 教学重点：一元二次方程的四种解法。 教学难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 考点一：一元二次方程的定义 知识点再现及解析 一元二次方程的定义：只含有一个未知数______方程，并且都可以化为（、、为常数，）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有： （1）必须是一个_________方程； （2）只含有___________未知数； （3）未知数的最高次数是______。 一元二次方程的一般式是（、、为常数，）。其中是_______项，是________；是______项，是_________；是______项。 例1：（1）方程①；②；③；④中一元二次方程是 。 A、①和② B、②和③ C、 ③和④ D、①和③ （2）关于的方程，当 时，是一元二次方程，其一般式为 。 变式训练1：（1）下列各项中是一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、 （2）若为关于的一元二次方程，则其二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 考点二：一元二次方程的解 知识点再现及解析 （1） 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边______的______的值是一元二次方程的_____．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的_____，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的______． （2）一元二次方程一定有_____个解．设是一元二次方程（）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．（），（）． 例2：一元二次方程 的一个根为2，求的值。 变式训练2：（1）关于的一元二次方程的一个根为0，则=________。 （2）设方程的两根是、，则方程的根是多少？ 考点三：直接开平方法解一元二次方程 知识点再现及解析 直接开平方法：如果方程题型为 或，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 解题步骤：①观察方程_____________，________________； ②直接开平方，得到_______个一元一次方程； ③解这两个_____________方程得到原方程的解。 例3：用直接开平方法解下列方程： （1） （2） （3） 变式训练3：用直接开平方法解下列方程： （1） （2） （3） 考点四：配方法解一元二次方程 知识点再现及解析 配方法是一种以_________为手段，以________为基础的一种解一元二次方程的方法，它适用于所有有实根的一元二次方程。 解题步骤：①将二次项系数化为_______； ②移项，使方程左边只含有_______项和______项，右边为______项； ③方程两边都加上______________________； ④原方程变为_________________； ⑤直接开平方，得到两个_____________________； ⑥解这两个一元一次方程得原方程的_________。 例4：用配方法解下列方程： （1） （2） （3） 变式训练4：用配方法解下列方程： 考点五：公式法解一元二次方程 知识点再现及解析 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法，它是通过配方推导出来的，它适用于所有有实根的一元二次方程。 一元二次方程的求根公式是 解题步骤：①化方程为一元二次方程的_______形式； ②确定__________的值； ③求出_________的值； ④将的值代入。 例5：用公式法解下列方程： （1） （2） 变式训练5：用公式法解下列方程： （1） （2） 考点六：因式分解法解一元二次方程 1、常见因式分解法解方程 知识点再现及解析 因式分解法适用于左边能____________，右边等于_______的方程。 解题步骤：①将方程右边化为________； ②将方程左边进行________________； ③令每个因式等于_______，得两个_____________方程； ④解这两个__________方程，得到原方程的______。 例6：用因式分解法解下列方程： （2） （3） （4） 变式训练6：（1）用因式分解法解下列方程： 1、 2、 （2）已知，求的值。 2、实数范围内的因式分解 知识点再现及解析 1.可以因式分解到无理数.与有理数下因式分解相对应。如在有理数范围内不能分解，而在实数范围内分解为: 例7：解方程： 变式训练7： 考点七、 换元法解方程 知识点再现及解析 换元法是一种整体代换的思想，当要解的方程比较复杂且有相同的部分时，我们可以用一个新的字母来代替它从而达到简化方程的目的 。 例8:解答下列各题： 1、若，求的值。 2、 3、为解方程，我们可设，则，原方程可化为．解得，当=1时，=1，所以=±1；当=4时，=4，所以=±2．故原方程的解为=1，=﹣1，=2，=﹣2．以上解题方法主要体现的数学思想是（　　） A．数形结合 B．换元与降次 C．消元 D．公理化 4、如果，则的值是　 　． 5、能使 成立的值为　 　． 变式训练8：1、，则的值为（　　） A．5 B．﹣1 C．5或﹣1 D．无法确定 2、 3、解方程： 4、解方程＋－3＝2 5、如果 ，则的值是　 　． 6、解方程： 课后作业 1. 若是一元二次方程 的一个实数根，则=______ 2. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） （5） 3.已知为实数，且满足，那么的值为多少？ 4.解方程： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$