16.1二次根式 导学案 2023—2024学年人教版数学八年级下册

16.1 二次根式 模块一 基础夯实 【知识点1 二次根式的定义】 形如)的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 【知识点2 二次根式有意义的条件】 (1)二次根式中的被开方数是非负数（）；(2)二次根式具有非负性：. 【知识点3 判断二次根式有意义的条件】 （1） 如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数； (2)如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【知识点4 二次根式的性质】 性质1：=)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【基础练习】 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的是（　　） A．π B． C． D． 3．下列计算正确的是（　　） A．±3 B．3 C．（）2＝3 D．（）2＝﹣3 4．下列运算正确的是（　　） A．±2 B．2 C．2 D．3 5．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 6．使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＞1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3 7．化简（）2的结果是（　　） A．﹣8 B．8 C．±8 D．16 8．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（　　） A．2a﹣3 B．﹣1 C．1 D．3﹣2a 9．一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数，“”称为二次根号．理解要点如下： （1）二次根式从形式上界定，必须含有 　 　； （2）二次根式从内容上看，a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意 　 　是为二次根式的前提． 10．　 　． 11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 　 　． 12．当x＜1时，　 　． 13．已知3＜x＜4，化简　 　． 14．若二次根式有意义，则a的取值范围为 　 　． 15．把下列正数写成一个数的平方形式： （1）9； （2）0.25； （3）3； （4）2.5． 16．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义： （1）； （2）； （3）． 17．求下列各式的值： （1）（）2； （2）（﹣2）2； （3）； （4）． 18．计算： （1） （2） （3） （4）（x≥2） 19．化简： （1）； （2）（x≥0）； （3）（b≥1）； （4）． 20．（1）如果a，a应取何值？ （2）a取何值时，在实数范围内有意义？ （3）a为何值时，（）2在实数范围内有意义？ 21．若x，y都是实数，且y3，求11x+9y的平方根． 22．（1）填空：　 　，　 　，　 　，　 　； （2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于a吗？利用你总结的规律计算：，其中2＜x＜3． 23．（1）计算：（）2﹣3； （2）如果a，求的值． 24．先化简再求值：，其中y＝2． 模块二 同步训练 【同步训练一阶】 1．下列式子，一定是二次根式的共有（　　） ，1，，，， A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞﹣1且x≠3 B．x≥﹣1且x≠3 C．x≥1且x≠3 D．x≠﹣1且x≠3 4．若等式（）2成立，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0 5．下列各组数中互为相反数的是（　　） A．3和 B．和﹣（） C．和（）2 D．﹣2和 6．若，则a与1的关系是（　　） A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 7．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 8．二次根式中字母x的取值范围是 　 　． 9．已知：2≤x≤6，化简：　 　． 10．当x分别取下列值时，求二次根式的值． （1）x＝0； （2）x； （3）x＝﹣2． 11．已知a+b6． （1）填空：ab＝　 　，a+b＝　 　； （2）已知x2，求x的值． 12．请利用二次根式的性质解答以下问题： （1）化简：　 　，　 　； （2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 13．已知（a﹣3b）21，求a+b的值． 【同步训练二阶】 1．下列式子一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 2．要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞1且x≠2 B．x≥1且x≠2 C．x＞2 D．1＜x＜2 3．若1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　） A．x B．x C．x D．x 4．若实数m，n满足等式|m﹣3|0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是（　　） A．10 B．11 C．12 D．10或11 5．下列计算正确的是（　　） A．﹣（）2＝﹣6 B．（）2＝9 C．（）2＝±16 D．﹣（）2 6．化简|a﹣3|+（）2的结果为（　　） A．﹣2 B．2 C．2a﹣4 D．4﹣2a 7．把4写成一个正数的平方的形式是（　　） A．（2）2 B．（2）2或（﹣2）2 C．（）2 D．（）2或（）2 8．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：　 　． 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|的结果是（　　） A．2 B．2b C．2a D．2b+2 10．下列各式正确的是（　　） A．2a2+3a2＝5a4 B．a2•a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a 11．若函数y的值恒为2，则x的取值范围（　　） A．x≥4 B．x≤2 C．2≤x≤4 D．x＝2或x＝4 12．化简：（　　） A．2x﹣6 B．0 C．6﹣2x D．2x+6 13．若（）2＝3﹣x，则x的取值范围为（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x≥3 D．x≤3 14．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则2ab＝　 　； （2）已知实数m，n（n≠0）满足，求m﹣n的值； （3）若x，y为实数，且，求x+y的值． 15．（1）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知y2023，求的值． 解：由，得x＝　 　，∴y＝　 　，∴　 　； （2）尝试应用：若x，y为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求m﹣n的值． 16．先阅读，然后回答问题： 化简：． 由于题中没有给出x的取值范围，所以要先分类讨论． ＝|x﹣3|+|x+2|． 令x﹣3＝0，x+2＝0，分别求出x＝3，x＝﹣2（称3，﹣2分别为的零点值），然后在数轴上标出表示3和﹣2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜﹣2，﹣2≤x＜3，x≥3． 当x＜﹣2时，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+2）＝﹣x+3﹣x﹣2＝﹣2x+1； 当﹣2≤x＜3时，原式＝﹣（x﹣3）+（x+2）＝﹣x+3+x+2＝5； 当x≥3时，原式＝（x﹣3）+（x+2）＝x﹣3+x+2＝2x﹣1． （1）分别求出和的零点值； （2）化简：． 模块三 学考真题 【学考真题（安徽）】 1．下列给出的式子是二次根式的是（　　） A．±3 B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．a5+a3＝a8 B．24a6÷（﹣a3）＝﹣12a2 C．（﹣2ab3）2＝4a2b6 D． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2 4．若，则（　　） A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3 5．化简的结果是（　　） A．3﹣π B．3+π C．﹣3﹣π D．﹣3+π 6．已知：，则x+y的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 7．将a根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 8．化简|a﹣2|的结果是（　　） A．2a﹣4 B．0 C．4﹣2a D．4 9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 10．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　． 11．已知y3，则2xy的值为 　 　． 12．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为　 　． 13．观察下列等式： ①；②； ③；… （1）写出④x4＝　 　； （2）猜想：xn＝　 　； （3）由以上规律，计算x1+x2+x3+……+x2022﹣2023的值． 14．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 15．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③；…… （1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出第④个等式：　 　； （2）请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）； （3）请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式． 16．某同学在作业本上做了这样一道题：“当a＝●时，试求的值”．其中，●是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，该同学的答案是否正确？请说明理由． 17．善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论： ①． ②． 请解决以下问题： （1）请仿照①、②，再举一个例子：　 　； （2）猜想：当a≥0，b≥0时，与、之间的大小关系：　 　； （3）运用以上结论，计算：的值． 18．已知|2010﹣a|a，求a﹣20112的值． 19．已知|2016﹣a|a，求a﹣20162的值． 20．已知|2012﹣a|a，求a﹣20122的值． 模块四 题型归类 【题型归类】 【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】 1．下列各式中，一定是二次根式的个数为（　　） ，，，，，（a≥0），（a） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．在式子中，二次根式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式：、，，，，中，一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】 4．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．1 B．3 C．6 D．12 5．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．当x＝　 　时，代数式有最大值，其最大值是 　 　． 7．已知a为实数，则代数式的最小值为（　　） A．0 B．3 C． D．9 【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】 8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣5且x≠1 B．x＜﹣5 C．x≤﹣5 D．x≥﹣5且x≠1 9．若，则x的取值范围是 　 　． 10．若有意义，则x的取值范围为　 　． 【题型4 根据二次根式有意义条件求值】 11．已知a，b都是实数，b，则ab的值为　 　． 12．某数学兴趣小组在学习二次根式|a|后，研究了如下四个问题，其中错误的是（　　） A．在a＞1的条件下化简代数式a的结果为2a﹣1 B．a的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为 C．当a的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1 D．若（）2，则字母a必须满足a≥1 13．若x，y是实数，且y，求的值． 14．已知a满足|2017﹣a|a，则a﹣20172的值是　 　． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 15．下列计算正确的是（　　） A． B． C．6 D． 16．当x＝﹣2时，二次根式的值为（　　） A．1 B．±1 C．3 D．±3 17．下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 18．已知，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，所对应y值的总和是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 19．若式子与的和为2，则a的取值范围是　 　． 20．等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 21．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简代数式的值． 22．（1）已知a＜0，化简 （2）a4（0＜a＜1），则　 　． 23．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值|b+c|　 　． 24．化简 （1）．（1≤x＜4） （2）（）2． 25．2、6、m是某三角形三边的长，则等于（　　） A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4 26．已知xy＜0，化简：x　 　． 27．如果a，b，c为三角形ABC的三边长，请化简：　 　． 28．已知：m是的小数部分，求的值． 【题型6 复杂的复合型二次根式化简】 29．若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c，则a，b，c的大小关系是（　　） A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 30．像这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：　 　，　 　； （2）若a+6（mn）2，且a，m，n为正整数，求a的值． 31．已知x，其中实数﹣4≤a≤10，则的值为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$