第一章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第一章 勾股定理（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 2．在直角三角形中，一直角边长是5，斜边长是13，则另一直角边长是（    ） A． B．12 C． D．8 3．如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 5．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 6．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 7．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，，则的面积为 ． 10．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 11．如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    12．如图，线段的长为8，C为上一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是 ． 13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD= ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，，，，求： (1)的长； (2)的长． 15．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 16．如图，点C在线段上，且，，，垂足别是点、、，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 17．在中，，．点D从点B出发沿射线移动，以为边在的右侧作，且，．连接． (1)如图1，若点D在边上，则______； (2)如图2，若点D在的延长线上运动． ①的度数是否发生变化？请说明理由； ②若，，求线段的长． 18．（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知，则的最小值= ． 20．如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    21．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 22．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 23．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 25．如图1，△ABC和和中，，点在AB上，连接的平分线交AD于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，设，若，求AF的长度． 26．（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数． 故选：D． 2．在直角三角形中，一直角边长是5，斜边长是13，则另一直角边长是（    ） A． B．12 C． D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵一直角边长是5，斜边长是13， ∴另一直角边长是． 故选：B 3．如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末（上端），（绳索从木柱上端垂下后）委地（堆在地面）三尺．引索却（退）行，去本（木柱底端）八尺而索尽．问索长几何？”设绳索长为x尺，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程及勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．设绳索长为尺，则立木长为尺，在△中，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为尺，则立木长为尺， 由勾股定理得，， 故选：A 5．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 6．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 7．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（    ） A．64 B．81 C．169 D．225 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，根据小正方形的面积为可解得，则大正方形的面积为，即可求解． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，斜边长为，如下图， 则，， 又∵小正方形的面积为， ∴可解得或（舍去）， ∴， ∴大正方形的面积． 故选：C． 8．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在中，，，，则的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于D，设，则，在与中，分别由勾股定理得出方程求出x的值，进而得出的长，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图，过点A作于D， 设，则， 在与中，分别由勾股定理得， ，， ①， ②， 得， 解得， ， ， 的面积为， 故答案为：． 10．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 海里时． 【答案】40 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 本题考查了直角三角形的判定及方向角的掌握情况，关键是根据勾股定理解答． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时， 故答案为：40． 11．如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键． 【详解】在中，，， 由勾股定理得：， 则这个点表示的实数是， 故答案为：． 12．如图，线段的长为8，C为上一个动点，分别以为斜边在的同侧作两个等腰直角三角形和，那么长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】利用等腰直角三角形的特点知道，，，，．利用勾股定理得出的表达式，利用函数的知识求出的最小值． 【详解】解：在等腰和等腰中，，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴当时，的值最小，即． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了等腰直角三角形的特点及二次函数求最值的方法，关键是利用等腰直角三角形的特点知道，，，，解答． 13．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C刚好落在AB边上点E处，则BD= ． 【答案】2.5 【分析】由勾股定理求出BC=4，设BD=x，则CD=4﹣x，由折叠可得ED=CD=4﹣x，AE=AC=3，进而得出BE=2，由勾股定理列方程求出x即可. 【详解】∵AC＝3，AB＝5， ∴BC==4， 设BD=x，则CD=4﹣x， ∴ED=4﹣x， ∵AE=AC=3， ∴BE=2， ∵BE2+DE2=BD2， ∴22+（4﹣x）2=x2， 解得x=2.5， ∴BD=2.5. 故答案为2.5. 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，，，，求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形． （1）在中，利用勾股定理即可求解； （2）在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：在中， ； （2）解：在中，， 所以． 15．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 【答案】千米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，过点B作于E，先根据题意求出，，再求出千米，千米，接着证明是等腰直角三角形，得到千米，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，    由题意得，， ∴，， 在中，千米， ∴千米， ∴千米， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴千米， ∴千米． 16．如图，点C在线段上，且，，，垂足别是点、、，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质及判定，勾股定理，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定方法判定出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用勾股定理求出的长，结合三角形面积公式运算即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）知： ∴，， 在中，， ∴． 17．在中，，．点D从点B出发沿射线移动，以为边在的右侧作，且，．连接． (1)如图1，若点D在边上，则______； (2)如图2，若点D在的延长线上运动． ①的度数是否发生变化？请说明理由； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)90 (2)①不发生变化，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，关键是根据全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识解答． （1）根据题意先证，再证，得，进而可得； （2）①类比（1）方法可得角度不发生变化； ②结合题意得，根据，得，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ， 在和中， ， ； ， ； 故答案为：； （2）①不发生变化． 理由：，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴的度数不变，为； ②，， ， ， ∴， ． 18．（1）【基础巩固】 如图1，在和中，点D在线段上，，．线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【变式训练】 如图2，当点D在线段的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． （3）【拓展提高】 如图3，在和中，点D在线段上，如果，，，．求的值．    【答案】（1） （2）仍成立；理由见解析  （3）128 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据证明，得出，从而得到； （2）根据证明，得出，从而得到； （3）由勾股定理得，过点A作，交于点F，证明得，求出，由勾股定理求出，进而可求出的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）当点D在的延长线上时，（1）的结论仍成立． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）在中，， ∴ 过点A作，交于点F， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知，则的最小值= ． 【答案】 【分析】画出图形，使，，，，利用勾股定理去理解的最小值，即可得出结果． 【详解】解：如图，，，，， 设，，则， 由勾股定理，，， ∴， 当点A、C、E共线时，最小， ． 故答案是：． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理去解决数的计算问题． 20．如图，在中，，点E，F分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使得A点落在边上的D处，，则的长度为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，过点D作，交于点G，根据题意，可得为等腰直角三角形，再根据翻折可得，，，求出，再设，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，过点D作，交于点G，    ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴， 设，则根据翻折得， ∴， 在中，， 可得方程，， 解得：， ∴， ∵将沿着EF翻折，使得A点落在边上的D处， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 22．观察，则有；，则有；，则有；按此规律继续写出两个式子： ； ． 【答案】 ，则有 ，则有 【分析】本题考查了数字规律探索，乘方的计算，由题中1，3，5，7，可知，接下来两个为9，11的式子，，，进而求解即可． 【详解】解：，则有； ，则有． 故答案为：，则有；，则有． 23．如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是 ．    【答案】 【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.． 【详解】解：延长AG交BC于D点，    ∵中线BF、CE交于点G， ∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴AG=AD，CG=CE，BG=BF， ∵，，∴,. ∵CE⊥BF，即∠BGC=90°， ∴BC=2DG=5， 在Rt△BGC中，CG=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键． （1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明； （2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系． 【详解】（1）证明：由折叠的性质 ，得，， 在长方形纸片中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，之间的关系是．理由如下： 由（1）知，由折叠的性质， 得，，． 在中，， 所以，所以． 25．如图1，△ABC和和中，，点在AB上，连接的平分线交AD于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，设，若，求AF的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由，推导出，，即可证明，得； （2）连接，由全等三角形的性质得，由，得，则，所以，而，所以，再证明，得，所以； （3）作于点G，由，得，则，所以，因为，所以，则，所以，则，所以． 【详解】（1）， ， 在和中 ． ； （2）连接    ， ， ， ， 即， 在Rt中，由勾股定理得， ． 平分 在和中, ． ． （3）作于点，    是中点， ． 在Rt中，由勾股定理得，． ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、勾股定理等知识，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 26．（1）【问题发现】①如图1，中，，为边上的中点，连接．设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和，则 ， ．（填“>”，“<”或“”） ②如图2，中，、是边上的两点，若，则与的数量关系是 ． （2）【问题延伸】如图3，四边形中，，，若的长度为6，求出四边形的面积． （3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中，，，．现计划将点处设置为公园的入口，在边上设置一个出口，并修建一条贯穿整个公园的小路．根据规划，要求小路将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域（即与四边形的周长和面积都相同），施工队能否按照规划修建出这条小路？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①，；②；（2）；（3）能， 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质， （1）①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解； （2）延长至，使得，连接，证明，进而得出，，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （3）延长至，使得，过点作交的延长线于点，同（2）可得，设，则，，根据得出，根据勾股定理求得，根据（2）的方法求得面积，根据题意在上取点，使得，根据将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：①∵中，，为边上的中点， ∴， 设的面积和周长分别为和，的面积和周长分别为和， ∴， ∴， 故答案为：，． ②设边上的高为， ∵ ∴ ∴ 即 （2）如图所示，延长至，使得，连接， ∵， ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴ （3）能， 如图所示，延长至，使得，过点作交的延长线于点， 同（2）可得 ∴， ∴ ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴ ∴，则， 设，则，， ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 在上取点，使得， ∵， ∴将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，则即为所求， 由（2）可得 即 解得： ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$