专题06 特殊平行四边形高频选择填空题分类训练（12种类型60道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题06 特殊平行四边形高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 根据性质求角度】 1 【类型2 根据性质求线段长】 2 【类型3 根据性质求面积】 3 【类型4 中点四边形】 5 【类型5 判定命题正误】 6 【类型6 找规律】 6 【类型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半】 8 【类型8 添加条件】 9 【类型9 折叠问题】 10 【类型10 根据性质求值】 11 【类型11 根据性质求坐标】 12 【类型12 最值问题】 14 【类型1 根据性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 3．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【类型2 根据性质求线段长】 6．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（　　） A． B． C．2 D． 7．如图，在正方形中，E为对角线上一点，交于点F，交于点H，交 的延长线于点G，若， ，则 的长为（    ） A． B．2 C． D． 8．如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 9．如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 10．如图，菱形的对角线、的长分别是6，8，于点，则的长是（    ）    A．5 B．6 C．7 D． 【类型3 根据性质求面积】 11．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若， ，则菱形的面积为（　　） A． B．4 C． D．8 12．已知菱形中，对角线与交于点O，，则该菱形的面积是（    ） A． B．24 C． D．18 13．如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 14．矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 15．四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【类型4 中点四边形】 16．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 17．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．如图，已知点分别是菱形各边的中点，则四边形是（   ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 20．如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．12 C． D． 【类型5 判定命题正误】 21．已知下列四个命题：其中真命题的个数是（    ） （1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （2）对角线垂直相等的四边形是菱形； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （4）四边都相等的四边形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．0 22．下列四个命题中不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 23．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．菱形四条边相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 24．下列各命题的逆命题，是真命题的是（   ） A．方差越大，数据越稳定 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．矩形对角线互相垂直 D．平行四边形的一组对边相等，另一组对边平行 25．下列命题中，错误的命题是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【类型6 找规律】 26．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 27．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 28．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 29．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 30．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ）． A． B． C． D． 【类型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半】 31．如图，在中，，D是边的中点，若，则 . 32．如图， 在四边形中， ，E 是对角线的中点，F是的中点． 若 ，， 则的长为 ． 33．如图，在中，，点D、E分别为的中点，点F为中点，则的长为 ． 34．如图，在中，，，分别是边，，中点，连接，．若，则 ． 35．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【类型8 添加条件】 36．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为 ．（只写出一个即可） 37．如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是 (只填一个即可)．    38．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 39．如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 40．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【类型9 折叠问题】 41．如图，在矩形纸片中，已知，，是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 42．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 43．如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 44．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为 ． 45．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为 ．    【类型10 根据性质求值】 46．如图，正方形的边长为6，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ． 47．如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 48．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且．是线段上的动点，连接，．．则线段的长为 ． 49．如图，正方形中，，P是线段上的动点，，于点E，于点F，则 ． 50．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【类型11 根据性质求坐标】 51．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 ． 52．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为 ． 53．如图，四边形是菱形，其中点A、D的坐标分别为、，点B在x轴上，则点C的坐标为 ． 54．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 55．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【类型12 最值问题】 56．如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    57．如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 58．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 59．如图，在长方形中，，，连接，在上方过点作，且．将沿方向平移，得到△，连接，，则的最小值是 ． 60．如图，在边长为12的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 特殊平行四边形高频选择填空题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 根据性质求角度】 1 【类型2 根据性质求线段长】 4 【类型3 根据性质求面积】 8 【类型4 中点四边形】 13 【类型5 判定命题正误】 18 【类型6 找规律】 20 【类型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半】 25 【类型8 添加条件】 28 【类型9 折叠问题】 31 【类型10 根据性质求值】 36 【类型11 根据性质求坐标】 43 【类型12 最值问题】 47 【类型1 根据性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， 平分， 故选：C． 2．如图，为菱形的对角线，已知，（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的性质，直接利用菱形的性质可得的度数，利用角平分线的性质进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 4．如图，四边形是正方形，是对角线，以为边，在正方形的内部作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，正三角形的性质求出、的度数，进而即可求解．本题考查正方形、正三角形的性质，掌握正方形、正三角形的性质是正确解答的关键． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ， 是正三角形， ， ， 故选：B． 5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由正方形，等边得到，，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可求出，进而根据即可解答． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵是等边三角形，， ，， 是等腰三角形，， ， ∴． 故选：C. 【类型2 根据性质求线段长】 6．如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．根据正方形的四条边相等，四个角都是直角可得，，，延长交于，连接、，求得，，，根据正方形的对角线平分对角可得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵正方形和正方形中，点在上，，， ∴，，， 延长交于，连接、，如图： 则，，， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵在中，为的中点， ∴． 故选：B． 7．如图，在正方形中，E为对角线上一点，交于点F，交于点H，交 的延长线于点G，若， ，则 的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明是等腰直角三角形，则，得到，同理可得，是等腰直角三角形，则，得到是等腰直角三角形，则，得到，则，证明，得到，则，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵交于点H， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 8．如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点G，H分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选：A 9．如图，矩形中，点分别是的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求出的长是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：点分别是的中点， 是的中位线， 故， 矩形中，， ， ， 故选：B． 10．如图，菱形的对角线、的长分别是6，8，于点，则的长是（    ）    A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分求出，则，由此可解． 【详解】解：菱形的对角线、的长分别是6，8， ，，， ， ， ， 故选D． 【类型3 根据性质求面积】 11．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若， ，则菱形的面积为（　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．根据菱形的性质，可得，，从而得到，再由勾股定理可得，进而得到，然后根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故选：A 12．已知菱形中，对角线与交于点O，，则该菱形的面积是（    ） A． B．24 C． D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，先由菱形的性质得到，进而证明是等边三角形，得到，再由菱形的对角线互相垂直平分得到，利用勾股定理得到，则，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵对角线与交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 14．矩形中，为上任一点，连接，，为中线，为上一点，且，，交于点．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（   ）    A．2.5 B．5 C． D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】连接，根据矩形的性质可得，根据为中线，可得，，根据，可得，，，即有，进而可得，， ，即可得，问题随之得解． 【详解】连接，如图，    ∵面积为矩形面积的一半，矩形的面积为12， ∴， ∵为中线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中线的性质，得出，且等高的两个三角形面积之比等于其底之比，是解答本题的关键． 15．四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 延长，分别交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，且，则两正方形的面积之和为，先根据正方形的性质、勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，分别交于点，    设正方形的边长为b，正方形的边长为c，且， 则两正方形的面积之和为， ∵四边形和都是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， ∵， ∴， 故选：C． 【类型4 中点四边形】 16．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质和矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．作出图形，菱形中，E、F、G、H分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断． 【详解】解：如图：菱形中，E、F、G、H分别是的中点， ，，，， 故四边形是平行四边形， 又， ，， ∴四边形是矩形． 故选：B． 17．如图，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，菱形的判定，三角形的中位线定理的应用，遇到中点，最常见的思路是构造三角形的中位线． 应添加的条件为，理由为根据三角形中位线定理结合得到四条边都相等，得出四边形为菱形即可． 【详解】解：应该添加的条件是； 连接、， ∵、、、分别为四边形四条边上的中点， ∴、分别为和的中位线， ， 同理， 又， ， ∴四边形是菱形， 故选：B． 18．如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．①根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明结论；②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；③根据矩形的判定定理解答． 【详解】解：①，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形； 故①正确，符合题意； ②，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 当时，， 四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， 当时， ， ， ， 平行四边形是矩形， 当时，四边形不一定是矩形， 故③错误，不符合题意； 故选：A． 19．如图，已知点分别是菱形各边的中点，则四边形是（   ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】解：连接、交于． ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 同法可得：， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同法可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：B． 20．如图，已知四边形与交于点O，，且为直角，E、F、G、H分别为的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．12 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形的中位线性质定理，正方形的判定等知识，能证得四边形是正方形是解题的关键.根据三角形的中位线定理，证明四边形是菱形，再证明，证得四边形是正方形，即可根据正方形的面积公式计算得出答案. 【详解】∵点E、F分别是边的中点， ∴，， 同理，，，，，，， ∴ ∴四边形是菱形， ∵为直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=, 故选：B. 【类型5 判定命题正误】 21．已知下列四个命题：其中真命题的个数是（    ） （1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （2）对角线垂直相等的四边形是菱形； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （4）四边都相等的四边形是正方形． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理． 根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可． 【详解】（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； （2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； （4）四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； 故选：A． 22．下列四个命题中不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有两边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据矩形、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题不正确，符合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，命题正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，命题正确，不符合题意； 故选：B． 23．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．菱形四条边相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查逆命题的判定，根据菱形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的定义，实数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、逆命题为：四条边相等的四边形是菱形，成立，符合题意； B、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，不成立，可能相等也可能互为相反数，不符合题意； C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意． 故选：A． 24．下列各命题的逆命题，是真命题的是（   ） A．方差越大，数据越稳定 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．矩形对角线互相垂直 D．平行四边形的一组对边相等，另一组对边平行 【答案】B 【分析】此题考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、方差，熟记各性质和方差的意义是正确解题的关键． 【详解】A、数据越稳定，方差越大，是假命题； B、 一边上的中线等于这一边的一半的三角形是直角三角形，是真命题； C、对角线互相垂直的四边形是矩形，是假命题； D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，是假命题； 故选B． 25．下列命题中，错误的命题是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； C．对角线相等的平行四边形是矩形； D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 【答案】B 【分析】本题考查判断真假命题、平行四边形及特殊平行四边形的判定，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项命题正确，不合题意； 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故B选项命题错误，符合题意； 对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项命题正确，不合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项命题正确，不合题意； 故选B． 【类型6 找规律】 26．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x、y轴上，且．将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点O顺时针旋转，并放大为原来的2倍，使，得到正方形……以此规律，得到正方形，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，得出B点坐标变化规律是解题关键．根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点所在的象限，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， 将正方形绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形， 再将正方绕原点O顺时针旋转，且，得到正方形…以此规律， ∴每4次循环一周，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∴点 ． 故选：A． 27．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，图形的规律探究等知识．由题意知，第1个正方形的边长为1；第2个正方形的边长为；第3个正方形的边长为；第4个正方形的边长为；……，可推导一般性规律为第个正方形的边长为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为； 第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为， …… ∴第个正方形的边长为， ∴当时，第2024个正方形的边长． 故选：C． 28．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍． 首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出的坐标． 【详解】解：正方形的边长为1， ， 正方形的边是正方形的对角线， ， 的坐标为， 同理可知， 的坐标为， 同理可知，的坐标为， 的坐标为，的坐标为， ，，，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ， 的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限， 的坐标为． 故选：B． 29．如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为24，那么四边形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是几何规律探究题，根据已知条件求得四边形的面积矩形的面积是解决问题的关键． 根据已知条件可得四边形的面积矩形的面积；四边形的面积四边形的面积=矩形的面积；由此可得四边形的面积 矩形的面积．根据所得规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 又∵各边中点是， ∴四边形的面积矩形的面积， 即四边形的面积矩形的面积； 同理，四边形的面积四边形的面积=矩形的面积； 以此类推，四边形的面积 矩形的面积． 又∵矩形的面积为24， ∴四边形的面积为． 故选：B． 30．如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，正方形的性质，根据勾股定理求出前几个正方形的边长，然后通过对比总结规律，推出第n个正方形的边长，最后把2022代入求解即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长， …… ∴第n个正方形的边长为， ∴第2024个正方形的边长为， 故选：C． 【类型7 直角三角形斜边上的中线等于斜边一半】 31．如图，在中，，D是边的中点，若，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，D是边的中点，， ， 故答案为：． 32．如图， 在四边形中， ，E 是对角线的中点，F是的中点． 若 ，， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线求出，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出． 【详解】解：在中，，E是的中点，， 则， 由勾股定理得：， ∵E是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 33．如图，在中，，点D、E分别为的中点，点F为中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， ， 故答案为： 34．如图，在中，，，分别是边，，中点，连接，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记基础几何图形的性质是解本题的关键． 如图，连接，，先证明四边形是平行四边形；可得，再证明，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，分别是边，，中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∵，，是边中点， ∴， ∴， 故答案为： 35．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点P是的中点，， ∴． 故答案为：8 【类型8 添加条件】 36．如图在四边形中，，平分，要使四边形为菱形可添加一个条件为 ．（只写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定及菱形的判定是解题的关键． 由菱形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 37．如图所示，四边形的对角线，互相平分，若要添加一个适当的条件使它成为菱形，则这个条件可以是 (只填一个即可)．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定求解即可． 【详解】解：∵四边形的对角线，互相平分， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 38．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 39．如图，四边形中，，，添加一个条件 （只填一个你认为正确的条件即可，不添加任何辅助线与字母），则四边形为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由，，可证四边形是平行四边形，由，可证四边形为矩形． 【详解】解：添加， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 故答案为：． 40．如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是矩形，再由正方形的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴需添加的一个条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【类型9 折叠问题】 41．如图，在矩形纸片中，已知，，是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出；②当点落在边上时，此时为正方形，从而得解． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①如图，当点落在矩形内部时，连接， 在中，，， ， 沿折叠，使点落在点处， ， 当为直角三角形时，只能得到， 点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处， ，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得， ； ②如图，当点落在边上时， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形， ． 故答案为：或5． 42．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（点P为中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕．则的大小为 【答案】/30度 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∵P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，， ∴， 故答案为： 43．如图，在边长为2的菱形中，，将菱形折叠，使点B落在的延长线上的点处，折痕为，交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】由菱形，可得，，则，由折叠的性质可知， ，，，则，，，可得，由勾股定理得，，可求，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知， ，，， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键． 44．如图，菱形中，点E，F分别在边上，将菱形沿折叠，点B恰好落在边上的点G处，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；过作于，交延长线于，作于，则，，，由折叠的性质得：，，，由平行线的性质得出，得出和是等腰直角三角形，得出，，，在中，由勾股定理求出，得出，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，据此计算即可得出结果． 【详解】解：过作于，交延长线于，作于，如图所示： 则，，， 由折叠的性质得：，，， 四边形是菱形， ∴， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 故答案为：． 45．如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，点在上，沿折叠，使点落在上的点，若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质 ，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 由折叠及轴对称的性质可知， 垂直平分, 先证推出的长，再利用勾股定理求出的长, 最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，的长. 【详解】解：设与交于点M， 在正方形中,   ， 在中,， ∵由折叠的性质可得 ， ∴垂直平分, ， ∵， 所以， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故答案为： 【类型10 根据性质求值】 46．如图，正方形的边长为6，E为对角线上一点，且，点P为线段上一动点，且于M，于N，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，交于O，勾股定理求出，然后求出，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：连接，，交于O， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴ ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 47．如图，在正方形中，，点E为边的中点，点P是边上一动点，连接，沿折叠得到．当射线经过正方形的边的中点（不包括点E）时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】分三种情况：当射线经过正方形的边的中点时，点在的延长线上，不合题意；当射线经过正方形的边的中点时，可得；当射线经过正方形的边的中点时，． 【详解】解：分三种情况： （1）如图1，当射线经过正方形的边的中点时，过点作交于点，    ∵在正方形中，，点E为边的中点，点为边的中点， ∴，． ∴． ∵沿折叠得到， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，点在的延长线上，不合题意，舍去． （2）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠得到， ∴，，． ∴． ∴． ∴． （3）如图2，当射线经过正方形的边的中点时，    ∵点E为边的中点，点为边的中点， ∴． ∵， ∴，． ∵沿折叠得到， ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了正方形中的折叠问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题的关键是分类讨论，分别画出对应的图形，利用翻折的性质解决问题． 48．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且．是线段上的动点，连接，．．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且， ∴, 又有,则四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴点在的中点处， ， ． 故答案为：． 49．如图，正方形中，，P是线段上的动点，，于点E，于点F，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质、矩形得判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理．先利用正方形的性质证明四边形为矩形和是等腰直角三角形，进而证得，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， 即． 故答案为：2 50．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点P的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．根据由点P的运动情况可知，和全等分以下两种情况：①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，利用三角形全等的性质建立关于等式求解，即可解题． 【详解】解：由点P的运动情况可知，和全等分以下两种情况： ①当点P在上运动时， 四边形为正方形，， ，， ， 要和全等， 即， ， ，解得； ②当点P在上运动时， 要和全等， 即， ， ，解得； 综上所述，t的值为或． 故答案为：或． 【类型11 根据性质求坐标】 51．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，，D为的中点，E、F是边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，在上截取，连接，易得四边形为平行四边形，进而得到，根据为定值，得到当最小时，四边形的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，得到，即当三点共线时，最小，四边形的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴，的长为定值， 在上截取，连接，则：，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形的周长，且的长为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵ ∴当三点共线时，最小，四边形的周长最小， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 当时，； ∴； 故答案为：． 52．平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A(10，0)，点C(0，4)，点D是OA的中点，点P是BC边上的一个动点，当OP=OD时，点P的坐标为 ． 【答案】（3，4） 【分析】根据点A（10，0），点C（0，4），点D是OA的中点，得OD=OP=OA=5，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由已知得OD=OP=OA=5，OC=4， 由勾股定理得CP==3， 则点P的坐标为（3，4）， 故答案为：（3，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． 53．如图，四边形是菱形，其中点A、D的坐标分别为、，点B在x轴上，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、两点间距离公式等，由两点间距离公式可得，再根据菱形的性质可得，根据点B在x轴上，可得，进而可得点C的坐标． 【详解】解：点A、D的坐标分别为、， ， 四边形是菱形， ， 点B在x轴上， ， 点C的坐标为， 故答案为：． 54．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上．若点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形的性质．根据点的坐标是，可得的长，再根据菱形的四条边都相等即可得点的坐标． 【详解】解：点的坐标是， ， 四边形为菱形，在x轴上， ，， 则点的坐标为． 故答案为：． 55．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A的坐标为，顶点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点C作轴于E，根据正方形的性质和等量代换得，，进而证得，可得，，求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于E， 在正方形中，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 【类型12 最值问题】 56．如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为 .    【答案】 【分析】如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，证明四边形为平行四边形，可得，当，，三点共线时，，此时最小，过作于，则四边形为矩形，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，    由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时， ，此时最小， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 57．如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质，可得到，则，将问题转化为“将军饮马”类型，作点关于的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴ ， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 58．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】的下方作，截取，使得，连接，，证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，， 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 59．如图，在长方形中，，，连接，在上方过点作，且．将沿方向平移，得到△，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，建立如图平面直角坐标系．设，则．把问题转化为：两点之间线段最短解决． 【详解】解：如图1中，建立如图平面直角坐标系． 设，由平移得，，则． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，的距离和最小， 如图5中，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于考查了矩形的性质，平直角坐标系，等腰直角三角形，平移的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 60．如图，在边长为12的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】过点A作于点E，根据菱形的性质可推出，过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线的对称点H，连接交于点G，连接交直线于点K，连接，根据轴对称可得，根据两点之间线段最短的性质，的最小值为的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，如图， ∵边长为12的菱形中， ∴， ∵在中，， ， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线的对称点H，连接交于点G，连接交直线于点K，连接，如图，    ∵的面积为48保持不变，的长保持不变， ∴点P总是在直线上， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据抽对称的性质可得，，， ∴， 根据两点之间线段最短的性质，得， ， 即， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，轴对称的性质，准确分析轴对称的最短路线知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$