专题03 勾股定理折叠问题专项训练（共30道）-2024-2025学年八年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题03 勾股定理折叠问题专项训练（共30道） 一、单选题 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 2．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 3．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 4．如图, 有一个直角三角形纸片, 两直角边 , , 现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上, 且与重合, 则的长为（     ）． A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理、图形折叠的性质，设，则，根据，即可求得答案． 【详解】解：由勾股定理，得： 根据图形折叠的性质可知，，则． 设，则． 根据，可得 解得： 所以，． 故选：A 5．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题是求解的关键；求出，根据将沿折叠，使点落在边上的点处，知，，，故，由勾股定理，即可解得． 【详解】解：，，， ， 将沿折叠，使点落在边上的点处， ，，， ，， 在中，， ， 解得， 故选：B． 6．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确翻折前后对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理列出方程即可求得长，进而可求出的面积． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得即， ∴， ∴的面积为． 故选A 8．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A．1 B． C． D．1.6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，根据折叠的性质，勾股定理列方程求解即可； 【详解】解：设，则， 由题意得， 由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为； 故答案为：C 9．如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理的知识，解答本题的关键是理解折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．连接，根据折叠的性质可知，，得到，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：连接， 根据折叠的性质得，， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，直角中，，，，将沿折叠得，点C的对应点为点D，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理和三角形面积公式，连接交于E，过D作于点H，利用勾股定理和等面积法得到、和，再次利用勾股定理求得和． 【详解】解：连接交于E，过D作于点H，如图， ∵将沿折叠得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则，解得 那么，． 故选：C． 二、填空题 11．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 12．如图，在中，，，，如果将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么线段的长是 ．    【答案】5 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得 ， ∵是的中点， ∴， 在中，， 解得． 即． 故答案为：5． 13．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：在折叠过程中，对应角和对应边相等．点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 点是直角边的中点， ， 根据折叠的性质，得， ， 设为，则：， 在中：， 解得：， 故答案为：． 14．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， 在中，，即 解得：． 故答案为：． 15．如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据折叠可知，， 则， ∴当最小时，最大， ∵垂线段最短， ∴时，最小， 当时，， ∴此时， ∴此时， 故答案为：． 16．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 18．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由折叠的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可求的长． 【详解】把长方形纸片沿直线折叠， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．已知直线l为长方形的对称轴，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴l上．则点到边的距离是 ． 【答案】1或9/9或1 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，先根据折叠前后对应边相等，利用勾股定理求出，再分点在长方形内部与外部两种情况，画出图形，即可求解．注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设直线l与交于点M，与交于点N， 直线l为长方形的对称轴， ，，， 由折叠的性质可得， ． 分两种情况，当点在长方形内部时，如图： ； 当点在长方形外部时，如图： ； 综上可知，点到边的距离是1或9． 故答案为：1或9． 20．如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为 【答案】 【分析】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 设，则：，， ∴， 在，，即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 21．如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． (1)求的长度； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由勾股定理得，设，由折叠的性质得，从而可得，，再由勾股定理得，代入数值并求解即可； （2）由三角形面积公式得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ， ∴ ， 设 ，由折叠可得，， ， ， ∴， ，， 在中，可有， 即，解得， ∴ ， 故的长度为3； （2）解：结合（1），可知 ， ，， ∴ ， 故的面积为15． 22．如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 【答案】6 【分析】由折叠的性质得，设，在中，建立方程，求出，再由三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 23．在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 24．如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 【答案】的长为，的面积为． 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，，再根据勾股定理可求出的值，设，则，利用勾股定理得出 ，最后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 在中，，，， 设，则 在中，根据勾股定理得 ， 即， 在中，根据勾股定理得 （负值已舍去） ． 25．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 26．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键． （1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明； （2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系． 【详解】（1）证明：由折叠的性质 ，得，， 在长方形纸片中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，之间的关系是．理由如下： 由（1）知，由折叠的性质， 得，，． 在中，， 所以，所以． 27．长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】或 【分析】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了长方形的性质，以及勾股定理，解题的关键熟练掌握以上知识点的应用及分类讨论思想． 【详解】解：如图，当共线时，， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即：，解得：， 如图，当落在上时，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 综上可知：的长为或， 故答案为：或． 28．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 29．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠．根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 30．如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理折叠问题专项训练（共30道） 一、单选题 1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 2．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 3．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图, 有一个直角三角形纸片, 两直角边 , , 现将直角边沿直线折叠,使它落在斜边上, 且与重合, 则的长为（     ）． A．15 B．16 C．18 D．20 5．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 6．如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将折叠，使点与点重合，得到折痕，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A．1 B． C． D．1.6 9．如图，在△ABC中，，D，E分别在上，且．将沿折叠，使C点落在斜边上的F点处，则的长是（　　） A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4 10．如图，直角中，，，，将沿折叠得，点C的对应点为点D，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 12．如图，在中，，，，如果将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么线段的长是 ．    13．如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 14．如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 15．如图， 在中，，，， P是边上一动点， 将沿折叠，点B落在处， 交于D， 则的最大值为 ． 16．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 17．如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．若，，则 ． 18．如图，在长方形纸片中，，.把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为 . 19．已知直线l为长方形的对称轴，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，点D的对应点恰好落在对称轴l上．则点到边的距离是 ． 20．如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为 三、解答题 21．如图，在中，， ， ，按图中所示方法将沿折叠，使点落在边的点． (1)求的长度； (2)求的面积． 22．如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 23．在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 24．如图，在中，，，，D，E分别是线段和线段上的点，把沿着直线折叠，若点B恰好与点A重合，求此时线段的长和的面积． 25．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 26．如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． (1)求证：； (2)设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由． 27．长方形纸片中，，，点是边上一动点，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，求的长． 28．如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 29．如图，在长方形中，，将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处，求的长． 30．如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$