第02讲 一元二次方程的解法（7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点7．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程的解为　　 A． B．， C． D． 2．（2024•宿豫区二模）方程的解是 　　． 3．（2023秋•新北区校级月考）计算：． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2023秋•天宁区校级期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•江阴市校级月考）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值是 　　． 6．（2024•新吴区二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（2023秋•沭阳县月考）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 8．（2023•宜兴市一模）方程的解是 　　． 9．（2024•梁溪区校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 10．（2024•南京三模）方程中的根是　　 A．， B．， C． D． 11．（2023秋•新吴区期末）一元二次方程的解是 　　． 12．（2024•无锡模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 题型五．换元法解一元二次方程 13．（2020秋•滨湖区期中）如果，那么　　 A．2 B． C．2或 D．或1 14．（2022秋•宿豫区校级月考）已知为实数，且满足，则的值是　　． 15．（2023秋•高邮市校级月考）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：； （2）已知实数，满足，试求的值． 题型六．根的判别式 16．（2023•姑苏区校级二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 17．（2024•扬中市二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 18．（2021秋•锡山区期中）已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 题型七．配方法的应用 19．（2023秋•丹徒区月考）多项式的最小值为　　． 20．（2023•海门市二模）若实数，，满足，，则的最小值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 21．（2024春•广陵区校级月考）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 分层练习 一．选择题 1．（2023秋•常州期末）方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程的根的是　　 A． B．4 C． D．3 3．（2021秋•泗阳县校级月考）若实数满足方程，则不同的值有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023•泰兴市二模）、为正整数，，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2021春•东台市月考）用配方法解一元二次方程下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2022秋•吴江区校级月考）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 7．（2023•沛县校级一模）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 8．（2023秋•天宁区校级月考）无论取何值，代数式的值　　 A．总大于8 B．总不小于8 C．总不小于11 D．总大于11 9．（2023秋•金坛区校级月考）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．无法求解 10．（2024•宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 二．填空题 11．（2023秋•镇江期末）一元二次方程的两根为 　　． 12．（2022秋•泗阳县期中）方程的解为 　　． 13．（2021•清江浦区二模）方程的解为 　　． 14．（2023春•射阳县校级期中）已知，则的值等于　　． 15．（2023秋•武进区校级月考）用配方法解方程，配方得，常数的值是 　　． 16．（2024•宝应县三模）已知关于的方程有实根，则的取值范围是 　　． 17．（2024•靖江市二模）若，则的最小值为 　　． 18．（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 三．解答题 19．（2024春•启东市校级月考）选择最佳方法解下列关于的方程： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 20．（2020•建邺区二模）解方程：． 21．（2023春•姜堰区期末）已知代数式，． （1）当为何值时，代数式比的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 22．（2023秋•江都区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求的取值范围． 23．（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，，例如：，． （1），则　　； （2）小明在计算随取了一个的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 24．（2020春•仪征市期末）阅读理解：已知，求、的值． 解： ． ． ， ，． 方法应用：（1）已知，求、的值； （2）已知． ①用含的式子表示　　； ②若，求的值． 25．（2022秋•泗洪县期中）阅读下面的材料，解决问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 请参照例题，解方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 知识点7．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型强化 题型一．解一元二次方程-直接开平方法 1．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程的解为　　 A． B．， C． D． 【分析】利用直接开平方法解方程得出答案． 【解答】解：， 则， 解得：，． 故选：． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 2．（2024•宿豫区二模）方程的解是 　，　． 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：， ， 则， ，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 3．（2023秋•新北区校级月考）计算：． 【分析】运用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：， ， 则， 所以． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟知直接开平方法是解题的关键． 题型二．解一元二次方程-配方法 4．（2023秋•天宁区校级期中）用配方法解一元二次方程时，配方后的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 5．（2023秋•江阴市校级月考）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值是 　17　． 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出、的值，继而得出答案． 【解答】解：， ， 则，即， ，， 则， 故答案为：17． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6．（2024•新吴区二模）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）， ， 则，即， ， ，； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型三．解一元二次方程-公式法 7．（2023秋•沭阳县月考）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 【分析】用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定，，的值；②求出的值（若，方程无实数根）；③在的前提下，把、、的值代入公式进行计算求出方程的根． 【解答】解：中，，不合题意； 中，，不合题意； 中，，不合题意； 中，，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． 8．（2023•宜兴市一模）方程的解是 　，　． 【分析】先把方程化为一般式，再计算出根的判别式，然后利用求根公式得到方程的解． 【解答】解：方程化为一般式为， ，，， △， ， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 9．（2024•梁溪区校级二模）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）将原方程整理后利用公式法解方程即可； （2）解各不等式后即可求得不等式组的解集． 【解答】解：（1）原方程整理得：， ，，， △， 则， 即，； （2）解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， 故原不等式组的解集为． 【点评】本题考查解一元二次方程及一元一次不等式组，熟练掌握解方程及不等式组的方法是解题的关键． 题型四．解一元二次方程-因式分解法 10．（2024•南京三模）方程中的根是　　 A．， B．， C． D． 【分析】方程利用时，与中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程， 所以或， 解得：，． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．（2023秋•新吴区期末）一元二次方程的解是 　，　． 【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：， ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 12．（2024•无锡模拟）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）， ， 或， ，； （2）， 解①得， 解②得， 所以不等式组无解． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和解一元二次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 题型五．换元法解一元二次方程 13．（2020秋•滨湖区期中）如果，那么　　 A．2 B． C．2或 D．或1 【分析】利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解即可． 【解答】解：令，则原式变为：， 可得或， 解得：，， 所以或， 故选：． 【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解是解题的关键． 14．（2022秋•宿豫区校级月考）已知为实数，且满足，则的值是　6　． 【分析】根据换元法，可得一元二次方程，解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：设，原方程等价于． 解得或（不符合题意，舍）， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 15．（2023秋•高邮市校级月考）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，原方程可化为：，解得，，当时，，，当时，，．原方程有四个根是：，，，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：； （2）已知实数，满足，试求的值． 【分析】（1）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于的一元二次方程； （2）设，则由已知方程得到：，利用因式分解法求得该方程的解即可． 【解答】解：（1）设，则， 整理，得 ， 解得，， 当即时，解得：； 当当即时，解得：； 综上所述，原方程的解为，； （2）设，则， 整理，得 ， 解得，（舍去）， 故． 【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 题型六．根的判别式 16．（2023•姑苏区校级二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能为　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出△，解之可得答案． 【解答】解：根据题意，得：△， 解得， 故选：． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 17．（2024•扬中市二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 18．（2021秋•锡山区期中）已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】（1）设方程的另一个根为，则由根与系数的关系得：，，求出即可； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答． 【解答】解：（1）设方程的另一个根为， 则由根与系数的关系得：，， 解得：，， 即，方程的另一个根为； （2）△， 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果，是一元二次方程、、为常数，的两个根，则，，要记牢公式，灵活运用． 题型七．配方法的应用 19．（2023秋•丹徒区月考）多项式的最小值为　18　． 【分析】先配方，再利用平方的非负性解决问题． 【解答】解：原式 ，． 原式． 原式． 故答案为：18． 【点评】本题考查配方求最值，正确分组配方是求解本题的关键． 20．（2023•海门市二模）若实数，，满足，，则的最小值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】先变形为，可求，再把变形后配方可求的最小值． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 当时，的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是熟练掌握完全平方公式． 21．（2024春•广陵区校级月考）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　2　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 【分析】（1）配方后即可确定最小值； （2）将函数解析式配方后即可确定当取何值时能取到最小值； （3）首先得到有关的函数关系式，然后配方确定最小值即可． 【解答】解：（1）， 当时，有最小值11； 故答案为：2，11； （2）， 当时有最大值； 故答案为：3，大，； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为． 【点评】本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大． 分层练习 一．选择题 1．（2023秋•常州期末）方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】首先直接开平方可得一元一次方程，再解即可． 【解答】解：， ， 则，， ，， 故选：． 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成的形式，那么可得． 2．（2024•海门区校级模拟）下列各数是一元二次方程的根的是　　 A． B．4 C． D．3 【分析】先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断． 【解答】解：， 或， 所以，， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 3．（2021秋•泗阳县校级月考）若实数满足方程，则不同的值有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】设，则原方程转化为关于的一元二次方程，由因式分解法解该方程即可． 【解答】解：设，则原方程转化为， 整理，得 ． 解得或． 若即时，△，有两个不同的解， 若即时，△，有两个相同的解， 综上所述，不同的值有3个． 故选：． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 4．（2023•泰兴市二模）、为正整数，，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【解答】解：， ， ， ，，、为正整数， ，或，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式是解题的关键． 5．（2021春•东台市月考）用配方法解一元二次方程下列变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6．（2022秋•吴江区校级月考）是下列哪个一元二次方程的根　　 A． B． C． D． 【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案． 【解答】解：．此方程的解为，不符合题意； ．此方程的解为，不符合题意； ．此方程的解为，符合题意； ．此方程的解为，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．（2023•沛县校级一模）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：方程有实数根， △， 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 8．（2023秋•天宁区校级月考）无论取何值，代数式的值　　 A．总大于8 B．总不小于8 C．总不小于11 D．总大于11 【分析】将代数式配方，得到，即可求解． 【解答】解：， ， 代数式的值总不小于8， 故选：． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 9．（2023秋•金坛区校级月考）关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是　　 A．， B．， C．， D．无法求解 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【解答】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故方程的解为，． 故选：． 【点评】此题主要考查了解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算． 10．（2024•宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　 A． B． C．且 D．且 【分析】先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到△且，解不等式即可． 【解答】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程【，】★有两个不相等的实数根， △且， 解得且． 故选：． 【点评】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 二．填空题 11．（2023秋•镇江期末）一元二次方程的两根为 　，　． 【分析】用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：， 移项得：， 直接开平方得：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 12．（2022秋•泗阳县期中）方程的解为 　，　． 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【解答】解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 故答案为：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．（2021•清江浦区二模）方程的解为 　，　． 【分析】方程整理后，利用公式法求出解即可． 【解答】解：方程整理得：， ，，， △， ，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14．（2023春•射阳县校级期中）已知，则的值等于　4　． 【分析】首先把当作一个整体，设，方程即可变形为关于的一元二次方程，解方程即可求得即的值． 【解答】解：设 ，即 ，或 又的值一定是非负数 的值是4． 故答案为：4． 【点评】此题注意把看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍． 15．（2023秋•武进区校级月考）用配方法解方程，配方得，常数的值是 　2　． 【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 则． 故答案为：2． 【点评】此题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤是本题的关键，配方法的一般步骤是（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 16．（2024•宝应县三模）已知关于的方程有实根，则的取值范围是 　　． 【分析】分，两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：当时，原方程为，有实根，符合题意， 当时，原方程有实数根，则△， 解得：且， 综上，； 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式，解答本题的关键要明确一元二次方程的根与△的关系． 17．（2024•靖江市二模）若，则的最小值为 　2　． 【分析】先把进行配方，再根据非负数的性质求解． 【解答】解：， 故答案为：2． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握非负数的性质是解题的关键． 18．（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 【分析】先根据配方法对进行变形；再与对比，得到和的值；最后进行相加，计算出最小值． 【解答】解：， ，， ， 当时，有最小值， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了配方法的应用，解题的关键是利用配方法和非负数的性质来解答． 三．解答题 19．（2024春•启东市校级月考）选择最佳方法解下列关于的方程： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）将方程整理为一般形式，利用因式分解法求解即可； （5）移项，然后利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）， 开方得：或， 解得：，； （2）， 因式分解得：， 可得或， 解得：，； （3）， 变形得：，即， 解得：； （4）， 整理得：，即， 可得或， 解得：，； （5）， ， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 【点评】此题考查了解一元二次方程分解因式法、直接开平方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边的多项式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 20．（2020•建邺区二模）解方程：． 【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案． 【解答】解： ， 则， 解得：，． 【点评】此题主要考查了配方法解方程，正确配平方是解题关键． 21．（2023春•姜堰区期末）已知代数式，． （1）当为何值时，代数式比的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【分析】（1）根据代数式比的值大2列出方程，按照一元二次方程的解法求解即可； （2）先计算的值，然后配方成，进行判断即可． 【解答】（1）解：根据题意得，， ， ， ， ， ， ， ，， 即当为或时，代数式比的值大2； （2）证明： ， 对于任意的值，， ， 即， 对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握用配方法解一元二次方程以及利用配方法判断代数式的值的情况． 22．（2023秋•江都区期末）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求的取值范围． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式△来解答． （2）用求根公式表示出两个根，再根据两个根都是负根来解答． 【解答】解：（1） ， 不论为何值，， 方程有两个实数根． （2）， ， ， 方程的两个根都是负根， ， ． 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式和求根公式来解答． 23．（2020秋•灌云县期中）定义一种新运算“”：当时，；当时，，例如：，． （1），则　　； （2）小明在计算随取了一个的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 【分析】（1）根据知，解之可得答案； （2）由知，据此得，从而得出答案． 【解答】解：（1）， ， 解得， 故答案为：． （2） ， ， ， 化简后的结果与取值无关， 不论取何值，结果都应该等于，不可能等于40， 小华说小明计算错误． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 24．（2020春•仪征市期末）阅读理解：已知，求、的值． 解： ． ． ， ，． 方法应用：（1）已知，求、的值； （2）已知． ①用含的式子表示　　； ②若，求的值． 【分析】（1）利用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． （2）①把当常数，解一元一次方程求解即可． ②把换成，配方，利用非负数的性质求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ，， ，； （2）①， ； 故答案为：； ②， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． 25．（2022秋•泗洪县期中）阅读下面的材料，解决问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 请参照例题，解方程． 【分析】根据题目中的例子和换元法解方程的方法可以解答本题． 【解答】解：设，原方程可变为， 解得，， 当时，，得，， 当时，，得方程， △，此时方程无实根， 所以原方程有两个根：，． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$