第02讲 全等三角形（1个知识点+2种题型+分层练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 全等三角形（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型强化 题型一、全等三角形的概念 1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    题型二．全等三角形的性质 4．（2023秋•徐州校级月考）如图，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•江都区月考）如图，已知，，，那么 　度． 6．（2023秋•扬州期中）已知：△，、分别是和△的高，求证：． 分层练习 一、单选题 1．如图，将沿所在直线向右平移得到，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形 C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等 3．如图，两个三角形全等，则的度数是(    ) A． B． C． D． 4．关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 5．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是(    ) A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FAB 7．如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．下列图中，与图中的图案完全一致的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如果，那么 12．三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 ． 13．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    14．如图，，且，，，则 ． 15．如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 16．如图，，若 ，则 ， ． 17．如图，，，则的度数为 ． 18．如图，在中，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B 点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止；在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点 F， 则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 三、解答题 19．如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    20．如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    21．如图，，点在同一直线上，．    (1)求证：； (2)的度数是__________，的长是__________． 22．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 23．如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 24．如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．    (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 26．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 全等三角形（1个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 题型强化 题型一、全等三角形的概念 1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．两个直角三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形定义进行分析即可． 【详解】解：A，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确； B，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确； C，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确； D，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】15 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 题型二．全等三角形的性质 4．（2023秋•徐州校级月考）如图，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可得出的度数 【解答】解：，， ， 在中，， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 5．（2023秋•江都区月考）如图，已知，，，那么　97　度． 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再根据三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【解答】解：，， ， 又， 在中，． 故答案为：97． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母放在对应位置结合图形准确确定对应角是解题的关键，还利用了三角形的内角和定理． 6．（2023秋•扬州期中）已知：△，、分别是和△的高，求证：． 【分析】由全等三角形的性质得到，又，即可证明△，推出． 【解答】证明：△， ， 、分别是和△的高， ， △， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△，得到． 分层练习 一、单选题 1．如图，将沿所在直线向右平移得到，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到，由三角形全等的性质得和，即可得到答案． 【详解】解：A、沿所在直线向右平移得到，由平移性质得，此选项正确，不符合题意； B、无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意； C、由得，则成立，此选项正确，不符合题意； D、由得，则成立，此选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．面积相等的两个图形是全等图形 B．所有正方形都是全等图形 C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的边相等 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义以及性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． 面积相等的两个图形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意； B． 所有正方形不一定是全等图形，故该选项不正确，不符合题意； C． 全等三角形的周长相等，故该选项正确，符合题意；     D． 全等三角形的对应边相等，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形的定义以及全等三角形的性质，掌握全等图形的定义与性质是解题的关键． 3．如图，两个三角形全等，则的度数是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等，是、边的夹角 ， 故选：A． 4．关于全等三角形，下列说法正确的是（    ） A．大小相等的三角形是全等三角形 B．面积相等的三角形是全等三角形 C．三个角对应相等的三角形是全等三角形 D．两个三角形全等，它们的形状一定相同 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； B、面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； C、三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意； D、两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，熟记概念，要从形状和大小两个方面来考虑两个三角形是否完全重合是解题关键． 5．如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的性质．先利用三角形的内角和定理求出，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A 6．如图所示，图中的两个三角形能完全重合，下列写法正确的是(    ) A．△ABE≌△AFB B．△ABE≌△ABF C．△ABE≌△FBA D．△ABE≌△FAB 【答案】B 【详解】解：要把对应顶点写在对应位置．∵B和B对应，A和A对应，E和F对应，故△ABE≌△ABF．故选B． 7．如图，沿直角边所在的直线向右平移得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案． 【详解】解：A、沿直角边所在的直线向右平移得到，则成立，故正确，不符合题意； B、为直角三角形，则成立，故正确，不符合题意； C、不能成立，故错误，符合题意； D、为对应角，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 8．下列图中，与图中的图案完全一致的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断． 解：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 题干中的图案与A、C、D中的图案不一致，只有与B中的图案一致， 故选B． 考点：全等图形． 9．如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． 由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 10．如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【详解】解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 二、填空题 11．如果，那么 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12．三角形的三边为 3、5、x ，另一个三角形的三边为 y 、3、4，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等分别求出x、y，计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，， ∴， 故答案为：9． 13．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 14．如图，，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有 对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 16．如图，，若 ，则 ， ． 【答案】 5 4 【分析】已知△ABD≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等从而求解． 【详解】解：∵△ABD≌△CDB． ∴BC＝AD，CD＝AB． ∵AB＝4，AD＝5． ∴BC＝5，CD＝4． 故答案为5，4． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的边对应相等的理解及运用． 17．如图，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由，可得，则，即，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 18．如图，在中，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B 点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止；在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点 F， 则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】1或或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分情况讨论是解题的关键 分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上，进行讨论求解即可． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于或或秒时，与全等， 故答案为：或或． 三、解答题 19．如图，，请指出两个全等三角形的对应边和对应角．    【答案】对应边：与，与，与；对应角：与，与，与 【分析】根据全等三角形中能够互相重合的边是对应边，能够互相重合的角是对应角，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴对应边：与，与，与；对应角：与，与，与． 【点睛】本题考查的是全等三角形的概念，掌握全等三角形的对应边与对应角的含义是解本题的关键． 20．如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点睛】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 21．如图，，点在同一直线上，．    (1)求证：； (2)的度数是__________，的长是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，4 【分析】（1）由全等三角形的性质推出，即可证明； （2）由三角形内角和定理得到，由全等三角形的性质得到，，即可求出． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ． 故答案为：，4． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 22．如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 23．如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向A点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：__________． (2)若与全等，则点的运动速度为多少？请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）用的长度减去的长度即可； （2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在线段上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， ； 故答案为：； （2）解： 中，，，点为的中点，， ， ， 当时，， ，， 解得：，； 当时，， ，， 解得：，； 综上所述，或2． 24．如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒．    (1)当为何值时，？ (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，，据此可解； （2）分情况讨论，找出对应边，根据对应边相等列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 则， ，， ， 解得； （2）解：如图1，当，    图1 则， ， 解得． ， 解得； 如图2，当时，      图2 则， ， 解得， ， 解得； 综上可知，当或时，与全等． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，第二问注意分情况讨论，避免漏解． 25．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 26．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$