3.3幂函数11题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1-1．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数：①；②；③是幂函数吗？ 1-2．（2024高一·全国·课后作业）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 1-3．（2024高一·全国·课后作业）给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：求幂函数解析式或求值 2-1．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 2-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 2-4．（2024·浙江·模拟预测）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 . 2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数 (α是常数)的图象经过点，那么（    ） A．4 B．-4 C． D．- 题型3：根据幂函数求参数 3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 4-3．（2024高一上·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 4-4．（2024高一上·云南曲靖·期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 题型5：幂函数的图象及应用 5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（    ）    A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ． 5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（    ） A．B． C．D． 5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数的图象经过点，求的定义域. 6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数的定义域为 ． 6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 题型7：求幂函数的值域 7-1．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 7-2．（2024·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 7-3．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 7-4．（2024高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 8-1．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8-2．（2024高一下·浙江·期中）记，则（    ） A． B． C． D． 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）设，，，则（   ） A． B． C． D． 8-4．（2024高三·河北·学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 9-1．（2024高一·上海·随堂练习）函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ． 9-2．（2024高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 9-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 9-4．（2024·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数，则不等式的解集为 ． 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①，②，③，④，既是偶函数，又在上为增函数的是 ． 11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 . 11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数为奇函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2024高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数的图象过点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 6．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 8．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数在区间上单调递减，则（    ） A．3 B．1 C．或3 D．1或 11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 12．（2024高一·全国·课后作业）已知，若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B．4 C． D．8 二、多选题 19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 三、填空题 23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若是幂函数，且，则 25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则 ． 26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数的图象过点和，则实数m＝ . 27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数的图像一定经过第 象限 28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数满足，则 . 30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ． 31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数在第一象限单调递减，则 . 32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为 ． 33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为 ． 34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数在上为减函数，则的值为 . 35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为 . 36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是 ． 38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数在上单调递减，则的值为 ． 四、解答题 39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指明函数的定义域； (2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增． 40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式的解. 42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围． 43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.3幂函数11题型分类 一、幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 注意：幂函数的特征 (1)xα的系数是1； (2)xα的底数x是自变量； (3)xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 二、一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)． 3、 一些常用幂函数的性质 函数 特征 性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(0， ＋∞)上单调递减 在(－∞，0]上单调递减 在(－∞，0)上单调递减 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． （一） 幂函数的概念 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 题型1：判断一个函数是否为幂函数 1-1．（2024高一·全国·课堂例题）下列函数：①；②；③是幂函数吗？ 【答案】答案见解析． 【分析】利用幂函数的定义判断. 【详解】形如（为常数）的函数叫幂函数，显然它们都不满足幂函数的定义，所以都不是幂函数． 1-2．（2024高一·全国·课后作业）在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（   ） A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义可判断. 【详解】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数. 故选：C. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）给出下列函数： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由幂函数的定义即可判断. 【详解】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数， 则可知①和④是幂函数. 故选；B. 题型2：求幂函数解析式或求值 2-1．（2024高一上·江苏扬州·期中）已知幂函数的图像经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件列方程求即可. 【详解】因为幂函数的图像经过点， 所以， 所以， 故选：B. 2-2．（2024高一上·北京·期末）已知函数是幂函数，若，则 ． 【答案】2 【分析】设，是常数，代入已知条件运算求解． 【详解】设，是常数，则，解得 则． 故答案为：2． 2-3．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点，则f(9)＝（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】代点的坐标求出α的值，得到函数的解析式，即得解. 【详解】由题意f(2)＝2α＝， 所以α＝，所以f(x)＝， 所以f(9)＝＝3. 故选：C 2-4．（2024·浙江·模拟预测）已知是幂函数，且满足：①；②在上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数 . 【答案】（答案不唯一）(形如，为正奇数，为正偶数，均可) 【分析】由条件结合幂函数的性质确定函数的解析式即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 故可设，（，互质）， 又，所以为奇数，为偶数， 故为符合条件的一个函数， 故答案为：(形如，为正奇数，为正偶数，均可). 2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数 (α是常数)的图象经过点，那么（    ） A．4 B．-4 C． D．- 【答案】A 【分析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可； 【详解】因为幂函数（是常数）的图象经过点， 所以，解得， 所以， 所以； 故选：A 题型3：根据幂函数求参数 3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数是幂函数，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，结合一元二次方程的解法，即可得解 【详解】因为函数是幂函数，所以， 解得：或（舍） 故答案为：. 3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可. 【详解】由幂函数的定义知， 即，解得或． 故选：C 3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数的图像不经过原点，则实数 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值. 【详解】由已知函数为幂函数， 得，解得或， 当时，，定义域为，函数图像不经过原点， 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点， 综上所述：， 故答案为：. （二） 幂函数的图象及应用 依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 题型4：幂函数过定点问题 4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数的图象过定点 ． 【答案】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得. 【详解】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 4-3．（2024高一上·全国·课后作业）函数恒过定点 ． 【答案】 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】当，即时，，函数恒过定点. 故答案为：. 4-4．（2024高一上·云南曲靖·期中）幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点 ． 【答案】 【分析】根据幂函数过点可求解析式，写出，根据函数的解析式可求所过定点. 【详解】因为幂函数过点，可解得， 所以， 故， 当时，， 故恒过定点. 故答案为 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，函数过定点，属于中档题. 题型5：幂函数的图象及应用 5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果. 【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称， 由解析式，作出的图像如图 从而可得图像为B选项. 故选：B. 5-2．（2024·全国·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【分析】利用特殊值法即可排除错误选项. 【详解】由，排除A，D， 当时，，所以，排除C． 故选：B． 5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（    ）    A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且 C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且 【答案】D 【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答. 【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定， 又因为p与q互质，所以q为奇数， 故选：D. 5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可. 【详解】由幂函数知， 得或. 当时，图象与坐标轴有交点， 当时，与坐标轴无交点， ∴. 故答案为: 5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点在幂函数的图象上，则的图象大致是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再进行判断即可得出答案． 【详解】设幂函数，将点代入，得，解得， 所以，定义域为，且在定义域内单调递增，大致图像为B， 故选：B． 5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（    ）                 A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤ C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤① 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案. 【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足； 图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足； 图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足； 图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足； 故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤. 故选：C （三） 求幂函数的定义域和值域 幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域. 题型6：求幂函数的定义域 6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数的图象经过点，求的定义域. 【答案】 【分析】设，根据幂函数的图象经过点求出，可得函数的解析式，根据解析式可得定义域. 【详解】因为为幂函数，所以设． 又的图象经过点，可得， 解得，所以． 故f(x)的定义域为． 6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域. 【详解】，所以，. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 题型7：求幂函数的值域 7-1．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域. 【详解】幂函数的图像过点， ，解得， ， 的值域是. 故选：D. 7-2．（2024·四川泸州·模拟预测）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据的解析式求得的值域. 【详解】时，， 时，， 所以的值域为. 故答案为： 7-3．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解. 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 7-4．（2024高一上·河北石家庄·期中）若幂函数的图象过点，则的值域为 ． 【答案】 【分析】设，根据条件求出，然后可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以 所以，所以 故答案为： （四） 利用幂函数的性质比较大小 （1）比较幂大小的三种常用方法: (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题: 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 题型8：利用函数的单调性比较大小 8-1．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的互换，进而即可判断，，的大小． 【详解】由，，， 所以． 故选：A． 8-2．（2024高一下·浙江·期中）记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把三个数的指数都化为0.1，利用幂函数的单调性比大小. 【详解】，， ， ，由幂函数在上单调递增，所以. 故选：C 8-3．（2024高一上·全国·课后作业）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性比较大小． 【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故 故选：B 8-4．（2024高三·河北·学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系. 【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，， ，所以，则. 故选：D. 题型9：利用函数单调性求参数的取值范围 9-1．（2024高一·上海·随堂练习）函数是幂函数，且在上时是严格减函数，则实数 ． 【答案】0 【分析】由幂函数的定义结合其性质列出方程得出实数. 【详解】由，得或， 再把和分别代入，检验得． 故答案为：0 9-2．（2024高二下·辽宁本溪·期末）已知幂函数在第一象限内单调递减，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义和幂函数在第一象限内的单调性即可求解. 【详解】由幂函数的定义可知，解得， 由幂函数在第一象限内单调递减，可得， 则， 所以. 故选：. 9-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可得答案. 【详解】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可． 故选：C. 9-4．（2024·四川成都·模拟预测）幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB，再由奇函数的定义判断CD. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A； 当时，在区间上单调递减，满足题意. 函数在和上单调递减，但不是减函数，排除B； 因为函数定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. （五） 幂函数的性质综合应用 利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 题型10：利用幂函数解不等式 10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数在定义域内为增函数解不等式 【详解】因为函数在定义域内为增函数，且， 所以，即， 所以不等式的解集为， 故选：A 10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象经过点，得，再结合单调性与偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设，由题意得，，解得， ∴，∴为偶函数且在上单调递减. ∵，∴，解得或. 故选:D. 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出所满足的的取值范围，进而判断出结果. 【详解】因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为且在上单调递减， 则由， 得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意知，幂函数在上单调递减， 由，得， 解得，即不等式的解集为. 故答案为： 题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用 11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题. (1)求的解析式； (2)在（1）问的条件下，当时，求的值域. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式； （2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果. 【详解】（1）∵，其中， 当时，当时，当时，（）， ∵在区间上单调递增，∴，或 选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为， 选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为. （2）若函数 易知在上单调递减，在上单调递增 当时，，当时，， ∴的值域为. 若，易知在上是增函数 当时，，当时，， ∴的值域为. 11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①，②，③，④，既是偶函数，又在上为增函数的是 ． 【答案】①④ 【分析】结合幂函数的性质，分别判断选项中四个函数的奇偶性以及在上的单调性，看是否符合题意，即得答案. 【详解】对于①，设，定义域为，满足， 故为偶函数，又，在上为增函数，符合题意； 对于②，定义域为R，且为偶函数，在上为增函数， 故在上为减函数，不符题意； 对于③，定义域为R，设，则， 故为奇函数，不符题意； 对于④，定义域为，设，满足， 故为偶函数，在上为减函数，故在上为增函数，符合题意， 故答案为：①④ 11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 . 【答案】-1 【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案. 【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数， 所以， 所以， 又因为幂函数奇函数，且， 所以， 故答案为：-1 11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数为奇函数. (1)求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据幂函数的定义得到或，根据奇偶性即可得到的值，再计算即可； （2）根据幂函数的单调性结合条件可得或或，进而即得. 【详解】（1）由，得或， 当时，是奇函数，满足题意， 当时，是偶函数，不满足题意， 所以，； （2）因为的定义域为，单调减区间为，， 由，可得或或， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 一、单选题 1．（2024高一上·四川成都·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案. 【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项； 易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确. 故选：C. 2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出a，将已知点的坐标代入解析式即可求解. 【详解】函数是幂函数， ，即点在幂函数的图象上， 2，即，故. 故选：D. 3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数的图象过点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，设出解析式，代入点可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， 即，所以. 故选：C. 4．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】首先根据幂函数的定义求出参数的值，即可得到函数解析式，再分析其性质. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 所以或， 对于，函数在上单调递增，在上单调递减； 对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减； 故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质． 故选：B 5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值. 【详解】 解：由题意知， 因为其图像关于y轴成轴对称，则. 故选：C． 6．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 7．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数的图像关于轴对称，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．3 【答案】A 【分析】根据幂函数以及幂函数的对称性确定正确答案. 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是偶函数，图像关于轴对称，符合题意. 当时，，是奇函数，图像不关于轴对称，不符合题意. 所以的值为. 故选：A 8．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数（均为正整数且互质）的图象，则（    ） A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．是奇数，且 【答案】B 【分析】由幂函数性质及时两图象的位置关系可知；由图象可知为偶函数，进而确定的特征. 【详解】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为， 当时，，则； 又图象关于轴对称，为偶函数，， 又互质，为偶数，为奇数. 故选：B. 9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象在第一象限内的特征即可得答案. 【详解】解：根据幂函数的性质，在第一象限内的图象: 当时，越大，递增速度越快，故的，的； 当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的. 故选:B 10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数在区间上单调递减，则（    ） A．3 B．1 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】由题目条件可得且. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递减，所以且，又，可得或. 当时，满足，舍去； 当时，满足. 综上. 故选：A. 11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】，因为函数是实数集上的增函数， 所以由可得：，即， 故选：C 12．（2024高一·全国·课后作业）已知，若，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数在上单调递减，得到函数值的大小关系. 【详解】在上单调递减，，故， 故. 故选：B. 13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【分析】根据幂函数的概念和单调性可求出结果. 【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以且， 由，得或， 当时，，满足题意； 当时，足，不符合题意. 综上. 故选：A. 14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 【答案】B 【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件. 【详解】因为函数是幂函数，则， 所以或. 当时，在上是增函数，不合题意. 当时在上是减函数，成立. 故选：B. 15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意，得到幂函数的解析式，然后代入计算即可得到结果. 【详解】根据题意，设幂函数为，则可得，所以， 即 故选:A 16．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可. 【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确； 对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误； 对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误； 对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误； 故选：A. 17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以可设f（x）＝xa， 因为图象过， 所以 ， 所以，即， 所以 故选：C 二、多选题 19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上为减函数 D．在上为减函数 【答案】AD 【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确. 【详解】根据幂函数定义可得，解得； 又因为图象过点，所以可得，即； 易知函数的定义域为，且满足， 所以是偶函数，故A正确，B错误； 由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确. 故选：AD 20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数，求得m的值，判断A；根据函数奇偶性定义可判断B；根据幂函数的单调性可判断C；根据函数解析式可求函数值域，判断D. 【详解】因为是幂函数，所以， 解得或，又因为，故，A正确； 则，定义域为，满足，故是偶函数，B正确； 为偶函数，在上单调递减，故，C错误； 函数的值域为，D正确， 故选：ABD 21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误； 对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误； 对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确； 对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确， 故选：CD. 22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再逐项分析判断作答. 【详解】设幂函数，则，解得，所以， 对于A，的定义域为，在上单调递增，A正确； 对于B，因为的定义域不关于原点对称，函数不是偶函数，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，， 又，所以，D正确． 故选：ACD 三、填空题 23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于的不等式组，解得即可求出的值. 【详解】是幂函数，也是偶函数， 且在上为增函数， 且为偶数， 解得或， 当时，， 当时，. 故答案为：或 24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若是幂函数，且，则 【答案】9 【分析】设出幂函数解析式，根据解出参数，将代入计算即可. 【详解】解：因为是幂函数，记，因为， 所以，解得，故， 所以. 故答案为：9 25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数，条件：①是偶函数；②为上的减函数．则 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】设，根据幂函数为偶函数，则为偶数，又为上单调递减，故 ，故可取， 故答案为：（答案不唯一） 26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数的图象过点和，则实数m＝ . 【答案】2 【分析】由幂函数的定义可设，代入运算即可得解. 【详解】由题意，设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以. 又幂函数的图象经过点， 所以. 故答案为：. 27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数的图像一定经过第 象限 【答案】一、三 【分析】由函数的奇偶性及幂函数恒过定点可得. 【详解】因为为自然数，所以为偶数，所以为奇数， 所以是奇函数， 且函数的图像经过和点并且在单调递增， 所以幂函数的图像一定经过第一、三象限． 故答案为：一、三 28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数过点，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集． 【详解】设幂函数，其图像过点，则，解得； ∴，函数定义域为，在上单调递增， 不等式等价于，解得； 则实数的取值范围是. 故答案为： 29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数满足，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，所以， 故答案为：. 30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案. 【详解】由函数是幂函数，则，得或， 当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件； 当时，函数是奇函数，不合题意. 故答案为：2. 31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数在第一象限单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据题意得，即可解决. 【详解】由题知，幂函数在第一象限单调递减， 所以，解得（舍去），或， 所以， 所以， 故答案为： 32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】先由幂函数的定义可得，求出的值，再由在上是增函数，可得答案. 【详解】因为函数是幂函数，则，解得或， 又因为在上是增函数，所以，所以. 故答案为：1 33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数的图像过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】设幂函数为，代入点计算，从而得函数解析式，再代入计算即可. 【详解】设幂函数为，由题意，， 解得，所以幂函数解析式为， 所以. 故答案为： 34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数在上为减函数，则的值为 . 【答案】 【分析】由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意. 【详解】由函数是幂函数，则， 解得或； 当时，，在上为减函数，满足题意； 当时，，在上为增函数，不合题意. 故答案为：. 35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【详解】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数过点，则满足的实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】可得幂函数，且函数在其定义域上单调递增． 因为，所以，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为： 38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数在上单调递减，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答. 【详解】解：因为函数是幂函数， 则有，解得或， 当时，函数在上单调递增，不符合题意， 当时，函数在上单调递减，符合题意. 所以的值为 故答案为： 四、解答题 39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数的图象经过点． (1)求的解析式，并指明函数的定义域； (2)设函数，用单调性的定义证明在单调递增． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由待定系数法可得解析式，根据解析式有意义可得定义域； （2）按照步骤：取值，作差，定号，下结论证明即可. 【详解】（1）设，则，， 则， 的定义域是； （2）由（1）知，任取，则 ， ，，，， ，即， 在上单调递增． 40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的单调性进行比较大小. （2）利用幂函数的单调性、不等式的性质进行比较大小. （3）利用幂函数的单调性、分数指数幂的性质进行大小比较. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，且，所以． （2）因为幂函数在上为增函数，且，，所以，所以，所以． （3），，，因为幂函数在上单调递增，所以． 41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式的解. 【答案】 【分析】将不等式化为二次不等式求解，得出答案. 【详解】解：等价于， 则，即， 解得， 故答案为：． 42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m的取值，结合幂函数的单调性，分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】因为函数在上是严格减函数，所以，解得． 由m为正整数，则或, 又函数的图像关于y轴对称，得是偶函数， 而当时，，为奇函数，不符题意， 当时，，为偶函数，于是． 因为为奇函数，在与上均为严格减函数， 所以等价于或或， 解得或，即. 43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出，再利用列方程求出； （2）将问题转化为，构造函数，利用函数单调性的定义判断的单调性，根据单调性可求得，进而可得的取值范围 【详解】（1）对于幂函数，得， 解得或， 又当时，不为偶函数， ， ， ， ， 解得； （2）关于x的不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即， 先证明在上单调递增： 任取， 则， ， ，，又， ， ，即， 故在上单调递增， ， ，又， 解得. 44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值及函数的解析式； (2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式； （2）由（1）及已知得，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关系求参数值. 【详解】（1）幂函数在上单调递增， 故，解得，故； （2）由（1）知：， 所以， 所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线； 由于在上的最大值为3， ①当时，在上单调递增，故，解得； ②当时，在上单调递减，故，解得； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）． 综上所述，． 45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合奇偶性可得结果； （2）由，利用基本不等式可求得的最小值，由此可得结果. 【详解】（1）为幂函数，，解得：或； 当时，，则，即为偶函数，不合题意，舍去； 当时，，则，即为奇函数，符合题意； 综上所述：. （2）由（1）得：，即，又，， （当且仅当，即，时取等号）， . 46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可； （2）由（1）知，进而分，两种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解:由题意知，解得，或． 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而． 所以，. （2）解：由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$