第2章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

第二章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点9.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点1：六个概念 概念1：有理数 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期中）下面说法正确的有(　　) （1）正整数和负整数统称整数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）一个有理数不是整数就是分数；（4）正数和负数统称有理数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（23-24七年级上·湖北黄石·期中）下列判断正确的是（    ） A．有限小数和无限小数都是有理数； B．不是有理数，但是有理数； C．0不是有理数； D．绝对值等于本身的数一定是正数． 【变式2】（23-24七年级上·湖北孝感·期中）在有理数，，，，，，中，正整数有 个． 【变式3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{______…}； (2)整数集合：{______…}； (3)非负数集合：{______…}； (4)分数集合：{_______…}． 概念2：数轴 【例题2】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）与原点距离为个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 ． 【变式3】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 概念3：绝对值 【例题3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【变式3】（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 概念4：相反数 【例题4】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）的相反数是（   ） A．4 B． C． D．0.25 【变式1】（23-24七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【变式2】（22-23七年级上·甘肃天水·期末）若与7互为相反数，则 ． 【变式3】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 概念5：倒数 【例题5】（23-24七年级上·宁夏固原·期末）的倒数等于（　　） A． B．6 C． D． 【变式1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是（　　） A．1 B． C．0 D．1或 【变式2】（22-23七年级上·云南西双版纳·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 【变式3】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 概念6：科学记数法 【例题6】（23-24七年级上·河南濮阳·期末）据统计，世界人口约8000000000人，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 【变式2】（22-23七年级上·山东济宁·期中）数字114000000用科学记数法表示为 ． 【变式3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算题：． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【变式3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 考点3：三种思想 思想1：转化思想 【例题8-1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【例题8-2】（2023七年级上·全国·专题练习）利用倒数的意义完成计算： 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 思想2：分类讨论思想 【例题9】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（   ）    A．6 B．6或 C．11或 D．11或 【变式2】（22-23七年级上·河南平顶山·开学考试）在数轴上点表示数，点与点相距个单位长度，点表示的数是 ，如果把分的成绩记作分，那么分的成绩记作 分． 【变式3】（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 思想3：数形结合思想 【例题10】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“<”或“=”填空） 【变式3】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题：【阅读】的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 一、单选题 1．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 2．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（    ） A． B．2 C． D． 3．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 6．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是 ． 7．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.(用“”“”或“”填空)    三、解答题 8．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|． 9．（2021·广西·中考真题）计算：． 10．（2019·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 一、单选题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）在，，，0，7.6，2，．这些有理数中非负数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 2．（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是自然数，也是整数，也是有理数 C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数 D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若海平面以上，记作，则海平面以下，记作（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）    A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·云南文山·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（　　） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 8．（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一定表示负数 B．两数比较，绝对值大的反而小 C．符号不同的两个数互为相反数 D．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零 二、填空题 10．（22-23七年级上·甘肃天水·期末）比较大小： ； (用“＞”、“＜”号填空) 11．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）的结果等于 ． 12．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）比较大小： 13．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 14．（22-23七年级上·广东东莞·期中）计算： ． 15．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 17．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 三、解答题 18．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习） 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 20．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： (1) (2) 21．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)； 23．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 24．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 25．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章有理数（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点1．有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 要点归纳：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点归纳：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点3．相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 要点归纳：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点4．绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点5.倒数 乘积是1的两个数互为倒数． 要点归纳：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 知识点6.有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 知识点7.有理数运算法则 （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点归纳：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36． （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 知识点8.有理数运算律 （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点9.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 考点1：六个概念 概念1：有理数 【例题1】（23-24七年级上·四川成都·期中）下面说法正确的有(　　) （1）正整数和负整数统称整数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）一个有理数不是整数就是分数；（4）正数和负数统称有理数． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，利用了有理数的分类．（1）根据整数的分类，可得答案；（2）根据零的意义，可得答案；（3）根据有理数的分类，可得答案；（4）根据有理数的分类，可得答案．本题的关键是注意分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）正整数、零和负整数统称整数，故（1）错误； （2）0既不是正数，又不是负数，故（2）正确； （3）一个有理数不是整数就是分数，故（3）正确； （4）正有理数、零和负有理数统称有理数，故（4）错误． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·湖北黄石·期中）下列判断正确的是（    ） A．有限小数和无限小数都是有理数； B．不是有理数，但是有理数； C．0不是有理数； D．绝对值等于本身的数一定是正数． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，即整数和分数统称为有理数，根据定义逐项判断即可． 【详解】因为有限小数和无限循环小数是有理数，所以A不符合题意； 因为不是有理数，但是有理数正确，所以B符合题意； 因为0是有理数，所以C不符合题意； 因为绝对值等于本身的数是正数或0，所以D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·湖北孝感·期中）在有理数，，，，，，中，正整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的分类．由正整数的含义可得答案． 【详解】解：在有理数，，，，，，中，正整数有，，共2个． 故答案为：2． 【变式3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）把下列各数填入相应集合的括号内：，，0.5，0，，13，，，，． (1)正数集合：{______…}； (2)整数集合：{______…}； (3)非负数集合：{______…}； (4)分数集合：{_______…}． 【答案】(1)，0.5，13，， (2)0，13，，， (3)，0.5，0，13，， (4)，，0.5，，， 【分析】此题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键： （1）根据正数定义解答即可； （2）根据整数定义解答即可； （3）根据非负数定义解答即可； （4）根据分数定义解答即可 【详解】（1）解：正数集合：{，0.5，13，，…}； （2）解：整数集合：{0，13，，，…}； （3）解：非负数集合：{，0.5，0，13，，…}； （4）解：分数集合：{，，0.5，，，，…} 概念2：数轴 【例题2】（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B．正确； C．不正确，错误原因：缺少正方向； D．不正确，错误原因：缺少了原点． 故本题选：B 【变式1】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）在数轴上，点A，B 在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若O是中点，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据中点得到即可． 【详解】解：∵点A，B 在原点O的两侧，且O是中点， ∴， 故选B 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）与原点距离为个单位长度的点有 个，它们分别表示的有理数是 和 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了数轴．根据数轴的知道，与原点距离为个单位长度的点在数轴上有左右两边各有一个，所以有两个点，它们分别是和． 【详解】解：由分析知：与原点距离为个单位长度的点有2个， 它们分别表示有理数和． 故答案为：2；； 【变式3】（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【答案】(1)点B所对应的数是； (2)A，B两点间距离是； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值； （2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； （2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 概念3：绝对值 【例题3】（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）绝对值大于3且小于6的整数有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的相关知识，在数轴上，一个数与原点的距离叫做该数的绝对值，根据绝对值的概念得到绝对值大于3小于6的整数即可 【详解】解：绝对值大于3且小于6的整数有，共4个， 故选：A 【变式1】（23-24七年级上·山东枣庄·期中）的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据一个负数的绝对值等于它的相反数求解即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·浙江宁波）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 【变式3】（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为 根据以上材料回答下列问题： (1)若，则______，，则______ (2)若，则x能取到的最小值是______，最大值是______ (3)若，则x的值为多少？ 【答案】(1)5或，1 (2)，3 (3)或5 【分析】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据表示数轴上表示x的点到2的距离为3，表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，得出答案； （2）表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据所提供的绝对值意义，即可解答． 【详解】（1）解：表示数轴上表示x的点到2的距离为3， 或， 解得或， 表示数轴上表示x的点到表示4和的距离相等，因此到4和距离相等的点表示的数为， 故答案为：5或，1； （2）解：，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 因此x的最大值为3，最小值为； 故答案为：，3； （3）解：当时， ，去绝对值为：， ； 当时，去绝对值为：（不成立）； 当时，去绝对值为：， ， 综上，或5． 概念4：相反数 【例题4】（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）的相反数是（   ） A．4 B． C． D．0.25 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义即可求解．根据相反数的定义即可求解．只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 【详解】解：的相反数是， 故选C． 【变式1】（23-24七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和2 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数，且互为相反数的两个数之和为0，按照相反数的定义对选项一一判断即可． 【详解】解：A．，则 和2相等，不互为相反数，故本选项不符合题意； B ，，则和相等，不互为相反数，故本选项不符合题意； C．，则和不互为相反数．故本选项不符合题意； D．，，，则和互为相反数．故本选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·甘肃天水·期末）若与7互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，根据互为相反数的两个数之和为0列方程，解方程即可求解，熟知相反数的定义是关键． 【详解】解：由题意可知，， 解得，， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·新疆喀什·期中）如图所示的数轴的单位长度为．请回答下列问题：    (1)如果点、表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少? (2)如果点、表示的数互为相反数，那么点、表示的数分别是多少? 【答案】(1) (2)点表示的数是，点表示的数是 【分析】本题考查是数轴与有理数； （1）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解； （2）根据数轴上点的位置以及相反数的性质确定原点的位置，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是．    （2）如图，点为原点，点表示的数是，点D表示的数是． 概念5：倒数 【例题5】（23-24七年级上·宁夏固原·期末）的倒数等于（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的倒数；根据乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：， 的倒数等于； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·河南洛阳·期末）若一个数的倒数等于它本身，则这个数是（　　） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】D 【分析】此题主要考查倒数的性质，解题的关键是熟知和1的倒数等于它们本身．根据倒数的定义得到和1的倒数等于它们本身． 【详解】解：一个数的倒数等于它本身，则这个数为． 故选：D 【变式2】（22-23七年级上·云南西双版纳·阶段练习）的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、绝对值和倒数．解题的关键是掌握相反数、绝对值和倒数的定义．利用相反数、绝对值的性质以及倒数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：的相反数是2022， 的绝对值为2022， 的倒数是：． 故答案为：2022，2022， 【变式3】（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题． 已知与互为相反数 与互为倒数 (1)______，______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查相反数、倒数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及倒数可直接进行求解、的值， （2）根据（1）及绝对值的非负性可得、的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， 故答案为；； （2）由题意，得， 所以， 所以 概念6：科学记数法 【例题6】（23-24七年级上·河南濮阳·期末）据统计，世界人口约8000000000人，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：． 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为（    ） A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，写成原数时，n是几，a的小数点就向右移动几位，据此可得解． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】（22-23七年级上·山东济宁·期中）数字114000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）太阳是炽热巨大的气体星球，正以每秒400万吨的速度失去重量．太阳的直径约为140万千米，而地球的半径约为6378千米．计算： (1)用科学记数法表示6378千米= 　千米，140万千米= 　千米； (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球？ 【答案】(1)， (2)109个 【分析】（1）把一个大于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为，把整数位数减1作为，从而确定它的科学记数法形式． （2）太阳的直径上能摆放地球的个数太阳的直径地球的直径． 【详解】（1）解：千米， 140万千米． 故答案为：， （2）（个）． 答：在太阳的直径上能摆放109个地球． 【点睛】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中，为比整数位数少1的数．在进行运算时，部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式． 考点2：一种运算——有理数的运算 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）计算题：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法分配律是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式1】（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去绝对值负号再进行相加即可； （2）根据有理数的加法法则进行解题即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： 考点3：三种思想 思想1：转化思想 【例题8-1】（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】先将除法变形为乘法，再利用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例题8-2】（2023七年级上·全国·专题练习）利用倒数的意义完成计算： 【答案】 【分析】先计算，再把除法转化为乘法，再利用分配律进行简便运算，最后取结果的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，利用倒数的含义计算有理数的除法运算是解本题的关键． 【变式8-1】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）计算 ． 【答案】 【详解】原式． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 思想2：分类讨论思想 【例题9】（23-24七年级上·福建莆田·阶段练习）已知与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数，已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5或-5 D．3或5 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义以及绝对值的定义求得a、b的值，再根据非负数的性质求得m、n的值，然后计算即可．掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解题的关键． 【详解】解：∵与4互为相反数，的绝对值是最小的正整数， ∴， ∵， ∴或， 又∵，或，， ∴或， ∴或， ∴或， ∴的值为3或5． 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（   ）    A．6 B．6或 C．11或 D．11或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可列的式子，进而求解，求解数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵点B距离点A是6个单位长度， 则，或， ∴点B表示的数是11或， 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·河南平顶山·开学考试）在数轴上点表示数，点与点相距个单位长度，点表示的数是 ，如果把分的成绩记作分，那么分的成绩记作 分． 【答案】 或 【分析】本题考查数轴、正数和负数，理解它们的含义和用法是正确解答本题的关键．点可能位于点的左边，也可能位于点的右边，根据它们之间的距离解答即可；先确定多少分记作分，再根据分与分的差即可解答． 【详解】解：点可能位于点的左边，也可能位于点的右边． 当点位于点的左边时，点表示的数为； 当点位于点的右边时，点表示的数为． ∴点表示的数是或． 如果把分的成绩记作分，那么分记作分， ∴分的成绩记作分． 故答案为：或，． 【变式3】（23-24七年级上·河南焦作·期中）已知：c是最小的两位正整数，且a、b、c满足，若a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点P为数轴上的一个动点，对应的数为x． (1)求A、C两点间的距离； (2)若P、B两点间的距离是8，求x的值． 【答案】(1)26 (2)或 【分析】本题考查非负性，数轴上两点间的距离． （1）最小的两位正整数为，得到，根据非负性，求出的值，再根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）分点在点的左侧和右侧，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵c是最小的两位正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴A、C两点间的距离为：； （2）∵，P、B两点间的距离是8，点P在数轴上， ①当点P在点B左边时，； ②当点P在点B右边时，； ∴或． 思想3：数形结合思想 【例题10】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，数轴上点表示的数，由点A表示的数是，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，可得出点B表示的数是3，再由点A到点B的距离等于点B到点C的距离可得出则点C表示的数是9． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵点A到点O的距离等于点O到点B的距离， ∴， ∴点B表示的数是3． ∴， ∵点A到点B的距离等于点B到点C的距离， ∴， ∴则点C表示的数是9． 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，数轴上，，三点所表示的数分别为，，，且，，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，有理数的运算中的符号确定，熟练的利用绝对值的含义逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴，，，， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则 0（用“>”“<”或“=”填空） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，运算及数轴，根据数轴得出，判定出的符号，即可得出答案，能根据数轴得出和是解此题的关键． 【详解】∵从数轴可知：， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）先阅读，并探究相关的问题：【阅读】的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7 一、单选题 1．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， 故选：D ． 2．（2022·山东临沂·中考真题）的相反数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数．根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解． 【详解】解：的相反数是2． 故选：B 3．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机万架，运营无人机的企业达万家．将万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．将一个数写成，（其中，为整数），即可得到答案． 【详解】解：万， 故选B． 二、填空题 5．（2024·山东东营·中考真题）从2024年一季度GDP增速看，东营市增速位居山东16市“第一方阵”，一季度全市生产总值达到957.2亿元，同比增长，957.2亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可完成作答． 【详解】解：957.2亿， 故答案为：． 6．（2024·湖北·中考真题）写出一个大于的数是 ． 【答案】0(答案不唯一) 【分析】此题考查了有理数的大小比较，用到的知识点是正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数即可写出答案，答案不唯一． 【详解】解：比大的数如：0， 故答案为：0(答案不唯一)． 7．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点分别对应实数，则 0.(用“”“”或“”填空)    【答案】 【分析】根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：由数轴可得 ∴ 【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数加法的运算法则，数形结合是解题的关键． 三、解答题 8．（2022·广西柳州·中考真题）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|． 【答案】5 【分析】先计算乘方运算，同步计算乘法运算，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解：原式＝﹣3+4+4 ＝5． 【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 9．（2021·广西·中考真题）计算：． 【答案】-2 【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序及相关运算法则是解答此题的关键． 10．（2019·河北·中考真题）有个填写运算符号的游戏：在“”中的每个□内，填入中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：； （2）若请推算□内的符号； （3）在“”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 【答案】（1）-12；（2）-；（3）-20，理由详见解析. 【分析】（1）根据有理数的加减法法则解答即可； （2）根据题目中式子的结果，可以得到□内的符号； （3）先写出结果，然后说明理由即可． 【详解】（1）1+2﹣6﹣9=3﹣6﹣9=﹣3﹣9=﹣12； （2）∵1÷2×6□9=﹣6，∴16□9=﹣6，∴3□9=﹣6，∴□内的符号是“﹣”； （3）这个最小数是﹣20，理由：∵在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，∴1□2□6的结果是负数即可，∴1□2□6的最小值是1﹣2×6=﹣11，∴1□2□6﹣9的最小值是﹣11﹣9=﹣20，∴这个最小数是﹣20． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算的计算方法是解答本题的关键 一、单选题 1．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）在，，，0，7.6，2，．这些有理数中非负数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．根据非负数包括正数和零解答即可． 【详解】解：，是负数， ，0，7.6，2，是非负数． 故选|B． 2．（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是自然数，也是整数，也是有理数 C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数 D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，解题的关键是： 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故正确，不合题意； B、0是自然数，也是整数，也是有理数，故正确，不合题意； C、若一个有理数不是正数，则有可能为0或负数，故错误，符合题意； D、如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作，故正确，不合题意； 故选：C． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴的关系，根据实数在数轴上的位置得到，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小，进而求解即可． 【详解】根据数轴的性质可知： ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项错误； ∴，故D选项正确． 故选：D． 4．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）若海平面以上，记作，则海平面以下，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键．根据题意及正负数的意义直接进行求解即可． 【详解】解：若海平面以上，记作，则海平面以下，记作 故选：D 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考差了数轴上数的大小关系，有理数加法法则．借助数轴比较有理数的大小关系以及代数式的值 【详解】由图可知，，，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误． 故选：D 7．（23-24七年级上·云南文山·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记作，则表示气温为（　　） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，清楚零上为正，零下为负是解题的关键． 【详解】解：∵气温为零上20℃记作， ∴表示气温为零下， 故选D． 8．（23-24七年级上·广东江门·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值、相反数和化简多重符号等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合化简多重符号法则、绝对值性质进行化简，然后根据相反数的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，，故两数不是相反数，不符合题意； B、，，两数互为相反数，符合题意； C、，，故两数不是相反数，不符合题意； D、，，故两数不是相反数，不符合题意． 故选：B． 9．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一定表示负数 B．两数比较，绝对值大的反而小 C．符号不同的两个数互为相反数 D．如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、有理数的大小比较、绝对值的意义，掌握理解各定义与性质是解题关键． 根据相反数、有理数的大小比较、绝对值的意义逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，是正数，则此项说法错误，不符合题意； B、两个负数比较，绝对值大的反而小，则此项说法错误，不符合题意； C、只有符号不同的两个数互为相反数，则此项说法错误，不符合题意； D、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零，则此项说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 10．（22-23七年级上·甘肃天水·期末）比较大小： ； (用“＞”、“＜”号填空) 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 根据有理数的大小比较方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 11．（22-23七年级上·湖南永州·阶段练习）的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（22-23七年级上·河南信阳·阶段练习）比较大小： 【答案】/小于 【分析】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小． 先计算，，然后根据正数大于零，负数小于零即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）安徽加速“快递进村”步伐，全面推进乡村振兴，某快递货车要通过乡村的一座桥，该桥限制车重的标志如图所示，若该货车车重（包含货物），则该货车 （填“能”或“不能”）通过这座桥． 【答案】能 【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过，该货车车重（包含货物），进行比较即可解答． 【详解】解：由该桥限制车重的标志可知，小于就可通过， ， 该货车能通过这座桥， 故答案为：能． 14．（22-23七年级上·广东东莞·期中）计算： ． 【答案】 【分析】首先把数字分组：，算出有多少个相加即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数的加法运算，注意数字合理分组，按照分组后的规律计算得出结果即可． 15．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键． 先由数轴可得：，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 17．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数， ，是整数， ， 又， 时，则或时，则， 当时， 则， ； 当时， 则， ； 当时， 则， 当时， 则， ， 综上可得：， 故答案为：1． 三、解答题 18．（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习） 【答案】 【分析】根据有理数的加减混合运算，同分母分数的加减运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减运算，掌握其运算法则是解题的关键． 19．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】此题考查了绝对值、有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的化简和有理数运算法则是解题的关键． （1 ）先计算绝对值，再进行加减运算即可； （2 ）先计算绝对值，再把除法转化为乘法，再进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） ； 20．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，注意运算顺序和符号；在计算中巧妙运用加法运算律往往使计算更简便． 21．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用乘法分配律、绝对值的性质分别运算，再合并即可； （）按照有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ； （2）解：原式 ， ， ． 22．（2024七年级上·全国·专题练习）计算题： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)5； (2)； (3)5 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）先算乘法，再算加减即可； （2）利用加法运算律进行计算即可； （3）除法变乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式 ． 23．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画数轴，数轴上两点间距离以及正负数的实际应用，绝对值的意义． （1）画出数轴，标出小刚家、小红家、小英家的位置即可； （2）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （3）求出四段路程的和即可解决问题． 【详解】（1）解：数轴如下图，    （2）小英家距小刚家有：； （3）货车一共行驶了：． 24．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 25．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数 表示的点重合； (2)若表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上A、两点之间的距离为2023（A在的左侧），且A、两点经折叠后重合，求A、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)2 (2)①；②A表示的数是，B表示的数是 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离， （1）根据题意可知数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称，由此即可得到答案； （2）①同（1）求解即可； ②根据结合A、B关于对称进行求解即可． 【详解】（1）解：∵1表示的点与表示的点重合， 又∵数轴上数1表示的点与表示的点关于原点对称， ∴折痕处表示的数为0， ∴数轴上数表示的点与数2表示的点重合； 故答案为：2； （2）解：①∵表示的点与3表示的点重合， 又∵数轴上数表示的点与数3表示的点关于点1对称， ∴折痕处表示的数为1， ∴数轴上数5表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②∵， ∴点A、B到的距离均为， 又∵A在B的左侧， ∴A、B两点表示的数分别是， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$