第二章 一元二次方程单元测试（提升卷）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

第二章一元二次方程单元测试（提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24·安徽合肥·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．（23-24·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24·浙江台州·期末）劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南邵阳·二模）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．4046 D．2023 8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 9．（23-24·浙江杭州·期末）已知方程的两个根是，的两个根是．当时，的值记作；当时，的值记作．则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24·安徽六安·期末）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24·吉林·期末）将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ． 12．（23-24·广西百色·期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 13．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 14．（2024·山东济宁·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 ． 15．（2024·江西九江·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则 ． 16．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 18．（23-24·河北张家口·期末）小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； (2)写出你的解答过程． 19．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 20．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 21．（23-24·山东淄博·期末）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 22．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 23．（23-24·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章一元二次方程单元测试（提升卷） 班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24·安徽合肥·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意； B、，若，不是一元二次方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（23-24·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（23-24·浙江绍兴·期末）关于的一元二次方程配方后可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解： ， 故选C 4．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．（23-24·浙江台州·期末）劳动教育已纳入国家人才培养全过程，某农村新型农场2022年油菜的亩产量为400千克，通过实验创新，2024年亩产量增加到484千克，设平均每年增产的百分率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为x，列方程得， 故选A． 6．（2024·湖南邵阳·二模）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，整体代入代数式，进行求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴； 故选C． 7．（2024·河北邯郸·模拟预测）若是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．4046 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据题意先得出即可． 【详解】解：是方程的两个实数根 ． 故选：C． 8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 9．（23-24·浙江杭州·期末）已知方程的两个根是，的两个根是．当时，的值记作；当时，的值记作．则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，再求出，，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是，的两个根是， ∴，，，， ∴，， ∴， 故选：A． 10．（23-24·安徽六安·期末）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，关于x的一元二次方程的判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；，则方程有两个相等的实数根；，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足， 此时，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵， ∴ ∴，即方程有两个相等的实数根， 故③错误； 综上，正确的是②，共1个 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（23-24·吉林·期末）将一元二次方程 化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据题意正确得出一般式，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式之后，二次项的系数是2， 化成的一般形式为， 一次项系数为， 故答案为：． 12．（23-24·广西百色·期末）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．将代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：2． 13．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．（2024·山东济宁·模拟预测）若关于的一元二次方程的两根的和与积相等，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，根据根与系数的关系可得，根据关于的一元二次方程的两根的和与积相等，可得，求出的值，再检验判别式即可确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根的和与积相等， ， ， 解得， ， ， 故答案为：． 15．（2024·江西九江·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，从而得出，将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24七年级下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年国家非遗道州龙船赛在潇水河上隆重举行．道州龙船船头造型分龙、虎、凤、麒麟四大类，按色彩又分“六龙五虎”和“金凤银麒”，代表着每个村落社区特有的宗族信仰、文化标识和审美意趣．据了解本次比赛共计条龙船参赛，创造了一项新的吉尼斯世界记录，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，则参赛的“金凤银麒”龙船为 条． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条，根据：本次比赛共计条龙船参赛，其中“六龙五虎”龙船数量比“金凤银麟”龙船数量的倍少条，可列出方程组，求解即可．正确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设参赛的“六龙五虎”龙船为条，参赛的“金凤银麒”龙船为条， 依题意，得：， 解得：， ∴参赛的“金凤银麒”龙船为条． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）首先整理成一般形式，再用因式分解法解方程即可； （2）方程为一般形式，左边的多项式利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． （3）用直接开平方法解方程即可； （4）移项，提取公因式，即可得到，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）；                                                                     ∴； （2） ； ∴； （3）；                                                                       ∴ （4） ∴． 18．（23-24·河北张家口·期末）小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)×，× (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，，． 19．（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若为满足条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据判别式大于0即可求出答案． （2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知， ； （2）解：由（1）可知：， 此时方程为：， ， ，． 20．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）阅读下面的例题： 解方程 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是， 请参照例题解方程： 【答案】 【详解】本题是一道解含有绝对值的一元二次方程的题目，熟练运用分类讨论去绝对值，求一元二次方程的解是解题的关键． 解：当，原方程化为，解得（不合题意，舍去） 当时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），． ∴原方程的根是． 21．（23-24·山东淄博·期末）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． (1)用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量为______个，第三周旅游纪念品销售数量为______个； (2)如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】(1)， (2)9元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、代数式表示量等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由第二周单价降低x元销售一周，可得出第二周的销售数量为个，用总量减去第一周和第二周的销售量即可得到第三周的销售量； （2）由第二周单价降低x元销售一周，可得第二周的每个售价为，然后根据“总利润=总售价-进货总价”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入即可求出第二周每个旅游纪念品的销售价格． 【详解】（1）解：单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为个； 则第三周的销售量为：个． 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 整理得：，解得：， 所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为元． 22．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． (1)下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ①    ②    ③； (2)若方程是“差方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 23．（23-24·浙江绍兴·期末）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故围成的矩形基地边的长为米． （2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，， 故围成的矩形基地边的长为米或米． ( 14 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$