立体几何证明过程规范 讲义-2025届高三数学一轮复习

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α， l⊄α，∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b，∴l∥b 1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．求证：MN∥平面BB1C1C. 证明：如图，连接A1C.在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形． 又∵N为线段AC1的中点， ∴A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点． ∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC.………………线线平行 又∵MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，………………面内、面外 ∴MN∥平面BB1C1C.………………线面平行 2、如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH. 求证：PA∥GH. 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴PA∥MO. 又MO ⊂平面BMD，PA ⊄平面BMD， ∴PA∥平面BMD..………………线面平行 ∵PA⊂平面PAHG，.………………面过线 平面PAHG∩平面BMD＝GH，.………………交线 ∴PA∥GH..………………线平行交线 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β， b∥β， a∩b＝P， a⊂α， b⊂α， ∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β， α∩γ＝a， β∩γ＝b， ∴a∥b 平面与平面平行的另一性质（可于证明线面平行）： 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． 3、 如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM＝2MC. 求证：BM∥平面PAD. 证明：如图，过点M作MN∥PD交CD于点N，连接BN. ∵PA ⊂平面PAD，MN ⊄平面平面PAD， ∴MN∥平面平面PAD………………线面平行 ∵PM＝2MC，∴DN＝2NC， 又AB∥CD，AB＝CD， ∴ABDN， ∴四边形ABND为平行四边形，面面平行的判定 ∴BN∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BN ⊄平面平面PAD， ∴BN∥平面平面PAD………………线面平行 ∵BN⊂平面MBN，MN⊂平面MBN， BN∩MN＝N， ………………相交 ∴平面MBN∥平面PAD.…………面面平行 ∵BM⊂平面MBN，………………线在面内 面面平行的性质 ∴BM∥平面PAD. ………………线面平行 3.直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行． (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 4、如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG. (1)求证：PC⊥BC； (2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明： ∵PD⊥平面ABCD，………………线面垂直 BC⊂平面ABCD， ………………线在面内 线面垂直的性质 ∴PD⊥BC. ………………线线垂直 ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC⊥CD. ………………线线垂直 线面垂直的判定 又PD∩CD＝D， ………………相交 ∴BC⊥平面PCD. ………………线面垂直 ∵PC⊂平面PCD， ∴PC⊥BC. 4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 5．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点． 求证：(1)BE∥平面PAD； (2)平面BEF⊥平面PCD. 证明：(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点， ∴AB∥DE且AB＝DE， ∴四边形ABED为平行四边形，注意： 1、 与“面面平行→线面平行”的区别 2、 面面垂直是无法直接得到线线垂直的 ∴AD∥BE，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， ∴BE∥平面PAD. (2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形， ∴BE⊥CD，AD⊥CD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，…………面面垂直 平面PAD∩底面ABCD＝AD，…………交线面面垂直的性质 PA⊥AD， ………………线垂直于交线 ∴PA⊥底面ABCD，………………线面垂直 ∴PA⊥CD， 又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵E，F分别是CD，PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF，………………线面垂直 ∵CD⊂平面PCD，………………面过线 面面垂直的判定 ∴平面BEF⊥平面PCD.…………面面垂直 1 学科网（北京）股份有限公司 $$