第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程，未知数的最高次数是，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 、方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过移项把方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式． 【详解】方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x2+5x-81=0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将各选项的的值代入方程，可得到关于、b的二元二次方程．若此二元二次方程有解，则的值为方程的解，反之，则的值一定不是方程的解． 【详解】①把代入方程，得 ，即， 方程无解， ∴不是方程的解． ①符合题意． ②把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ②不符合题意． ③把代入方程，得 即 方程有解， 所以，可能是方程的解． ③不符合题意． ④把代入方程，得 即 此方程无解． 所以，一定不是方程的解． ④符合题意． 故①④一定不是方程的实数解， 故选：A． 5．用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 7．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 【答案】B 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与， 且， ∴， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键． 8．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，关于x的一元二次方程的判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；，则方程有两个相等的实数根；，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【详解】解：①当时，满足， 此时，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵， ∴ ∴，即方程有两个相等的实数根， 故③错误； 综上，正确的是②，共1个 故选：B． 9．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程根与判别式的关系等知识点，掌握一元二次方根的判别式点是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和一元二次方程根情况可得且，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：解得：且． 故选C． 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键． 【解答】解：把代入得， ， ， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程，根据根的判别式判断①；根据一元二次方程(为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③． 【详解】解：①， 方程有两个相等的实数根． ①正确； ②一元二次方程（为常数）最多有两个解， ②错误； ③方程的解为， 将代入得，即：， 将代入得，即：， ∴，则， 即： ③正确． 故选：B． 12．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 【答案】B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 13．已知实数、满足，则的值为（ ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．4或2 【答案】A 【分析】把x2+y2当作一个整体，原式变为（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0，即可求得（x2+y2）的值是-2或4．再根据非负数的性质即可. 【详解】（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5， ∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-3=5， ∴（x2+y2）2-2（x2+y2）-8=0， 即：[（x2+y2）-1]2=9， ∴（x2+y2）=-2或4． 又∵x2+y2≥0 ∴x2+y2=4 故选A． 【点睛】考查了利用换元思想解决方程，关键是把（x2+y2）看成一个整体来计算，即换元法思想． 14．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 即，故C正确． 故选：C． 15．如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若m是一元二次方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 由题意知，，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，即， ∴ 故答案为：． 17．已知是完全平方式，则常数的值是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式配方后，列方程，利用配方法求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，即， ，则，即，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用完全平方式求参数，利用配方法得到方程，再由配方法解方程是解决问题的关键． 18．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键． 19．如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为 米． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设修建时观景廊桥宽度是米，根据使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积为平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设修建时观景廊桥宽度是米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，修建时观景廊桥宽度最大只能是米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用配方法是解题的关键． 化简后利用配方法解方程． 【详解】解： 化简为：， 因式分解为：， 即， ． 21．（7分）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 【答案】(1)该方程是波浪方程 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键． （1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 故该方程是波浪方程； （2）解：由已知得： 解得， 这个波浪方程为． 22．（7分）先化简，再求值．，其中为一元二次方程的根 【答案】，6． 【分析】先根据分式运算法则进行化简，再根据根与方程的关系得到关于m的等式，然后代入化简结果即可得解． 【详解】解： ， ∵为一元二次方程的根， ∴，即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值及一元二次方程的根，熟练掌握分式运算法则是解题关键． 23．（6分）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)有两个实数根，理由见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． （1）当时，原方程为，即，再直接解方程即可； （2）根据方程可求出，即可得出原方程有两个实数根． 【详解】（1）解：当时，原方程为，即为， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，，， ∴， ∴原方程有两个实数根． 24．（8分）小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)×，× (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程判断即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小颖×，小明×， 故答案为：×，×； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，，． 25．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴，即， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数表达式； (2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？ 【答案】(1) (2)这个月该商品每件的销售价为60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及一次函数的应用的知识，此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得函数解析式和一元二次方程． （1）结合“当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件”进行列式即可作答． （2）根据等量关系“利润（售价进价）销量”列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， ∴y与x的函数表达式为：； （2）解：设每个月的销售利润为w元， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴这个月该商品每件的销售价为60元． 27．（12分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】（1）（2）符合要求（3）48元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据“道路宽度不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照（1）中的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】解：（1）根据题意得： （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调48元． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．若是关于的方程的根，则的值为（    ） A． B．15 C． D．16 4．已知关于的方程（为常数，且），下列①～④选项中，哪两个一定不是方程的实数解（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 5．用配方法解方程的过程中，应将此方程化为（    ） A． B． C． D． 6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 7．若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 8．对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下三种表述： ①当时，方程一定没有实数根； ②当时，方程一定有实数根； ③当时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 9．关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ） A．且 B． C．且 D．且 10．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B．或 C． D．或 11．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（   ） ①若，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 13．已知实数、满足，则的值为（ ） A．4 B．-2 C．4或-2 D．4或2 14．如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 15．如图，若设从年到年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．若m是一元二次方程的一个解，则 ． 17．已知是完全平方式，则常数的值是 ． 18．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是 ． 19．如图，为便于游客在一块长为米，宽为米的矩形荷花池里近距离观赏荷花，若要使得能观赏（观景廊桥下的荷花都按不能观赏计）的荷花面积不少于平方米，则修建时，观景廊桥宽度最大为 米． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（6分）解方程：． 21．（7分）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求这个波浪方程． 22．（7分）先化简，再求值．，其中为一元二次方程的根 23．（6分）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，解这个方程； (2)试判断方程根的情况，并说明理由． 24．（8分）小颖与小明两位同学解方程过程如下框： 小颖： 两边同除以，得． 小明： 移项，得， 提取公因式，得． 所以，或， 解得，． (1)你认为他们的过程是否正确？若正确请在括号内打“√”；若错误请在括号内打“×”：小颖______，小明______； (2)写出你的解答过程． 25．（8分）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 26．（8分）某超市经销一种商品，每件成本为40元．经市场调研，当该商品每件的销售价为50元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件，设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件． (1)求y与x的函数表达式； (2)若超市某月销售该商品共获得利润4000元，求这个月该商品每件的销售价为多少元？ 27．（12分）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润销售利润承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$