13.3 等腰三角形同步练习2024-2025学年人教版数学八年级上册

13.3 等腰三角形 课时1等腰三角形的性质 过基础 知识点 1 等腰三角形的性质1：等边对等角 1 如图,△ABC 中,AB =AC,∠A=40°,则∠ACD 的度数为 ( ) A.70° B.100° C.110° D.140° 2 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E 的度数为 ( ) A.23° B.25° C.27° D.30° 3 如图,在△ABC中,AB = AC, BD 为 △ABC 的 高. 若∠CBD=20°,则∠BAC的度数是( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 4易错题 属实验中学期末]等腰三角形的一个内角等于70°,则它的底角是 . 5 如图,点 D 是 BC上的一点,若△ABC≌ △ADE,且∠B = 55°,则∠EAC= °. 6 如图,在△ABC中,若AB =AC,AD =BD,∠CAD =24°,则∠C= °. 7 如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AD =AE,BD=EC.求证:AB=AC. C 知识点2 等腰三角形的性质2：三线合一 8 如图,衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,AD⊥BC 于点 D,若BC=44 cm,则BD的长为 ( ) A.44 cm B.40 cm C.22 cm D.20cm 9 在△ABC 中,AB=AC,D是 BC边的中点,∠B=54°,则∠BAD = °. 10 如图，在△ABC中,AB=AC,AD 平分∠BAC,点 E在边 AB 上,且 BD = BE. 若∠BAC = 100°,求∠ADE的度数. 过能力 1易错题 在△AOB中,OB=OA,OP 交AB 于点C,量角器的摆放如图所示，则∠BCP的度数为 ( ) A.80° B.90° C.85° D.95° 2 如图,点 D 在△ABC 的边 BC上,点P 在射线AD 上(不与点A,D 重合),连接PB，PC.下列命题中，假命题是 ( ) A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PC B.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=AC C.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PC D.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC 3 “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1 所示的“三等分角仪”能三等分任一角.图2 是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=81°,则∠CDE 的度数是 . 4 如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边BC,AC 上的点,若AD=AE,连接AD,BE,DE. (1)当AD 是边 BC 上的高,且∠BAD=30°时,∠EDC 的度数为 ； (2)当 AD 不是边 BC 上的高时, 请 判 断 ∠BAD 与∠EDC 之间的数量关系，并加以证明. 素养提升 5推理能力 问题：如图，在△ABD 中,BA = BD,在BD 的延长线上取点 E，C,作 △AEC,使 EA = EC,若 ∠BAE = 90°,∠B=45°,求∠DAC的度数. 答案:∠DAC=45°. 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗?说明理由. (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE =90°”改为“∠BAE =n°”,其余条件不变,求∠DAC 的度数. 课时2·等腰三角形的判定 过基础 知识点1 等腰三角形的判定 1 如图,在△ABC 中,∠B =∠C,AB=3,则AC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( ) A. a=3,b=3,c=4 B. a:b:c=4:5:6 C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A:∠B:∠C =1:1:2 3 如图,在△ABC中,AB = AC,∠A = 36°,BD 是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4 如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC,BD=CD,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC于点 F，求证：△ABC为等腰三角形. 知识点2 等腰三角形的性质与判定的综合 5 如图,在△ABC中,AB=AC,点 M 在 CA的延长线上,MN⊥BC 于点 N,交AB 于点 O,若AO=3,BO=4，则MC的长度为 ( ) A.12 B.9 C.10 D.11 6 在一次数学课上，周老师在屏幕上演示了一道例题： 如图,在△ABC 中,D,E分别是AB,AC边上的点，BE与 CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO;②∠BDO=∠CEO;③BD=CE;④OB=OC. (1)要求同学们从这四个条件中选出两个作为已知条件，用来判定△ABC 是等腰三角形.请你在横线上用序号写出所有情形. 答: . (2)选择(1)中的一种情形，写出证明过程. 过能力 1 如图,在长方形 ABCD 中,AD =5,将长方形沿 BD 折叠，点A 落在点E 处,DE 与 BC 交于点 F,若BF=3,则EF的长为（ ） A.1 B.2 C.2.5 D.3 2如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(3)(4) 3如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为底边 BC 的延长线上任意一点，过点 D 作DE∥AB,与AC的延长线交于点 E. (1)△CDE 的形状是 ; (2)在AC 上截取AF =CE,连接BF,DF,判断BF,DF 的数量关系，并给出证明. 一图多变 “角平分线+平行线→等腰三角形”模型 1 如图,AE∥BC,AE 平分∠DAC,则△ABC 是 等腰 三角形. 2 如图,在△ABC 中,BE 是角平分线,DE∥BC交AB于点 D,若DE=7,AD =5,则AB的长为 . 3(1)如图1,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O，过点 O 作EF∥BC分别交AB,AC于点E,F,则EF,BE,CF之间的数量关系为 . (2)在(1)的条件下,如图2,若∠ABC,∠ACB的平分线分别交EF于点G，H，已知GH=2,EF=8,利用(1)的结论,则BE+CF的值为 . (3)如图3,将图1 中∠ACB 的平分线改为外角∠ACD 的平分线，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?请说明理由. 课时 3等边三角形 过基础 知识点1 等边三角形的性质 1 如图,△ABC 是等边三角形,点 D 在AC 边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为 ( ) A.105° B.100° C.95° D.85° 2 如图,直线a∥b,等边三角形ABC的顶点C 在直线b上,∠2=40°,则∠1 的度数为 ( ) A.80° B.70° C.60° D.50° 3 如图,BD是等边三角形ABC的中线，以点 D 为圆心，DB的长为半径画弧，交 BC的延长线于点 E，连接DE.求证:CD=CE. 知识点2 等边三角形的判定 4新趋势·条件开放 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上填上一个适当的条件： 5 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC =120°,AD⊥AB 交 BC 于点D,AE⊥AC 交BC 于点 E.求证:△ADE 是等边三角形. 知识点3 等边三角形的性质与判定的综合 6 如图,在 Rt△ABC中,∠B =30°,以点A 为圆心,AC 长为半径作弧,交直线 AB 于点 D,连接DC,则∠DCB 的度数是 . 7 如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西50°的方向行驶40 海里到达B 地，再由 B 地向北偏西10°的方向行驶40 海里到达C地，则A，C 两地相距 . 过能力 1 如图,△ABC中,AB=5,BC=7,∠B =60°,现将△ABC沿着射线 BC的方向平移2 个单位长度得到△A₁B₁C₁,连接A₁C,则△A₁B₁C的周长为 ( ) A.15 B.21 C.17 D.19 2 如图,△ABC 是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 3 如图,△ABC 与△DEF 均为等边三角形，其边长分别为a，b，则△AEF的周长为 . 4 如图，过边长为1 的等边三角形ABC的边AB上一点 P,作 PE⊥AC 于点 E,Q 为 BC 延长线上一点,当 PA = CQ 时,连接PQ 交AC 于D,则 DE 的长为 · 5一题多解 如图,已知△ABC为等边三角形，延长 BC到点 D,延长 BA 到点 E,使 AE =BD,连接CE,DE.求证:CE=ED. 6 如图,C 为线段AB上一点,△ACM 与△CBN 都是等边三角形. (1)如图1,线段 AN 与线段 BM 交于点 O,求∠AOM 的度数; (2)如图2,AN与MC交于点E,BM 与CN交于点 F,连接EF,探究△CEF的形状,并证明你的结论. 课时4·含30°角的直角三角形的性质 过基础 1 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4 米处折断倒下，倒下的部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为( ) A.4米 B.8米 C.12米 D.16 米 2如图,在Rt△ABC中,∠ACB =90°,∠A =30°,CD 是斜边AB上的高,BD=2,那么AB等于 ( ) A.5 B.6 C.8 D.12 3新情境 2023 年8 月31 日，贵南高铁全线通车，其中有一隧道全线长2 655m，如图，在隧道进口A处的正西方 B处有一人，高铁从A 处沿北偏西60°的方向穿过隧道，在出口 C 处鸣笛，出口 C 处在 B 处的正北方，已知声音在空气中的传播速度为340 m/s，经过ts 后在B处的人听到了鸣笛声(不考虑其他因素)，则t的值约为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4 如图,在 Rt△ABC 中,∠C =90°,BC<AC.点D,E分别在边AB,BC上,连接DE,将△BDE 沿 DE 折叠,点 B 的对应点为点B',若点 B'刚好落在边 AC 上,∠CB'E =30°,CE=3,则BC的长为 . 过能力 1 有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 ( ) C A. 4m B. 6m C.10m D.12m 2 如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,BE=4,则AC的长为 . 3 如图,在△ABC中,AB =AC =8,∠ABC =15°,则△ABC的面积为 . 4 如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，以线段OC为边在第一象限内作等边三角形 OBC，点 D 为x轴正半轴上一动点且在点 C 的右侧，连接BD，以线段BD为边在第一象限内作等边三角形BDE,直线CE 与y轴交于点 A,AC=4,则点C 的坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$