精品解析：甘肃省天水市麦积区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

麦积区2022-2023学年度第一学期学情诊断性检测试卷 九年级数学 一、选择题．（本大题共10题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的，请把它选出来） 1. 下列二次根式中，x的取值范围是的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，再求出即可． 【详解】解：A．∵是二次根式， ∴3-x≥0， ∴x≤3，故本选项错误； B．∵是二次根式， ∴6+2x≥0， ∴x≥-3，故本选项错误； C．∵是二次根式， ∴2x-6≥0， ∴x≥3，故本选项正确； D．∵是二次根式， ∴≥0， 又 ∴x-3＞0， ∴x＞3，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式的应用，能根据二次根式的定义得出关于x的不等式是解此题的关键，注意：形如（a≥0）的式子叫二次根式． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的正根 B. 有两个不相等的负根 C. 没有实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】由题意得： 则方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键正确求出的值，解题的关键是明确根据判别式的值判断根的情况：则有两个不同的实数根，则有两相等的实数根，则没有实数根． 4. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 5. 已知：a=，b=，则a与b的关系为（ ） A. a=b B. ab=1 C. ab=-1 D. a=-b 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：b==，而a=， 所以a与b的关系为a=-b． 故选D． 6. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 7. 若是一元二次方程的两根,则（ ） A. -8 B. 32 C. 16 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到+ =-2， =-6，再利用完全平方公式得到=（+）2-2，然后利用整体代入的方法计算即可解答． 【详解】由根与系数的关系得：+ =-2， =-6， 所以=（+）2-2 =（-2）2-2×（-6）=16． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 8. 兰洽会期间，某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了实际问题抽象出一元二次方程，根据连续两次降价，列出正确的方程即可．弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 9. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将n代入方程，提公因式化简即可. 【详解】解：∵n（）是关于x的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵， ∴n+m+2=0，即m+n=-2， 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键. 10. 如图，在内有边长分别为、、的三个正方形，则、、满足的关系式是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由正方形的性质可得，，，则，由，，可得，由题意知，，，，，，，即，整理求解即可． 【详解】解：如图， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵，， ∴， 由题意知，，，，， ∴，， ∴，整理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 二、填空题．（每小题4分，共32分） 11. 关于x的方程是一元二次方程，则m应满足条件是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．先移项，再合并同类项得出，根据一元二次方程的定义得出，求出即可． 【详解】解：， 整理得：， ∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将化为含有式子的形式，进行计算即可得，将代数式化为已知的形式，运用“整体思想”解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13. 在实数范围内因式分解因式_________． 【答案】 【解析】 【分析】先运用平方差公式，分解成（x2+2）（x2-2），再把x2-2写成x2-()2，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解：== 故答案为：. 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，利用完全平方公式或平方差公式在实数范围内进行因式分解，分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 当时，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 15. 已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=___，另一个根是___． 【答案】 ①. 1 ②. -3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系，解出方程的另一个根． 【详解】根据题意，得 4+2m −6=0，即2m−2=0， 解得，m =1， 由韦达定理，知：， ∴ 解得： 故答案为：1，−3. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式是解决本题的关键. 16. 观察分析下列数据，按规律填空：、2、、2、、…、_______ （第n个数）． 【答案】. 【解析】 【详解】试题分析：根号下面的数都是2的倍数，第一个数为2的1倍，第二个数为2的2倍，依此类推，第n个数为2的n倍，从而得出答案为． 17. 对于实数a，b，定义运算“﹡”：．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42－4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x+6=0的两个根，则x1﹡x2=________． 【答案】3或2##2或3 【解析】 【分析】先解出所给的一元二次方程的根，再根据新定义的运算法则分情况求即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 解得：或2， ①当，时，； ②当，时，． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查新定义实数运算、解一元二次方程，理解新定义运算法则是解答的关键． 18. 如图，中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE的长_____cm． 【答案】1.5 【解析】 【分析】延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解． 【详解】解：延长CD交AB于F点．如图所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠CAD； ∵AD⊥CD， ∴∠ADF=∠ADC； 在△ACD和△AFD中，， ∴△ACD≌△AFD（ASA）， ∴CD=DF，AF=AC=5cm． ∵E为BC中点，BF=AB-AF=8-5=3， ∴DE=BF=1.5（cm）． 故答案为1.5． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．构造辅助线证全等三角形是解题的关键． 三、解答题．（共78分） 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算： （1）先算乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再合并同类二次根式，化简后，代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 当时，原式． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 或 ∴． 21. 如图，在矩形ABCD中，已知 AD＞AB，在边AD上取点E，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F． （1）证明：△AEF∽△DCE. （2）若AB=2，AE =3，AD=7，求线段AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）AF=6． 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，于是得到∠A=∠D=90°，根据垂直的定义得到∠AEF+∠DEC=90°，于是得到∠F=∠DEC，即可得到结论； （2）由四边形ABCD为矩形，得到DC=AB=2，求出ED=AD-AE=4，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A =∠D =90°． ∵CE⊥EF， ∴∠AEF+∠DEC =90°． 又∵∠F+∠AEF=90°， ∴∠F=∠DEC． ∴△AEF∽△DCE． （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴DC=AB=2． ∵AE =3，AD=7， ∴ED= AD-AE=4． ∵△AEF∽△DCE， ∴． ∴． ∴AF=6． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 已知：关于x的方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时的根． （2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根的判别式，根与系数的关系； （1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的等式，由此求出的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根； （2）利用根与系数的关系，化简，即．根据根与系数的关系即可得到关于的方程，解得的值，再判断是否符合满足方程根的判别式． 灵活运用一元二次方程的知识解决问题是关键． 【小问1详解】 解：若方程有两个相等的实数根， 则有， 解得， 当时，原方程为， ； 【小问2详解】 解：不存在． 假设存在，则有． ， ， ． 即， ， ， ，． ， ， ，都不符合题意， 不存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于136． 23. 某淘宝网店销售台灯，成本为每个元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为元时，平均每月售出个；若售价每上涨元，其月销售量就减少个，若售价每下降元，其月销售量就增加个． （1）若售价上涨元，每月能售出________个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个台灯的售价． （3）在库存为个台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，直接写出每个台灯的售价． 【答案】（1）；（2）每个台灯的售价为元；（3）每个台灯的售价为元或元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个”列出代数式； （2）方法一：设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答； 方法二：设每个台灯降价x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答； （3）解题思路同（2）． 【详解】解：（1）依题意得：600-20x． 故答案是：600-20x． （2）方法一： 设每个台灯的售价为元． 根据题意，得， 解得（舍），． 当时，； 当时，； 答：每个台灯的售价为元．                       方法二： 设每个台灯降价元． 根据题意，得， 解得，（舍）． 当时，，； 当时，，； 答：每个台灯的售价为元； （3）设每个台灯的售价为元． 根据题意，得， 解得，． 答：每个台灯的售价为元或元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 如图，在中，，点P从点B出发，沿以的速度向点C移动，点Q从点C出发，以的速度向点A移动，若点P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当t为何值时，与相似？ 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．灵活运用相似三角形的判定是关键． 【详解】解：和是对应边时，， 所以，， 即， 解得； 和是对应边时，， 所以，， 即， 解得． 综上所述，当秒或秒时，与相似． 25. 已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形形状，说明理由. 【答案】直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】把方程化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0，由由b、c的实际意义可知b+c＞0，即原方程是关于的一元二次方程；由方程有两个相等的实数根可得“△=0”，列出关系式化简，由勾股定理逆定理可判断该三角形为直角三角形. 【详解】解：方程化为一般形式可得：(b+c)x²−2ax−b+c=0， 由b、c的实际意义可知：b+c＞0 ∴原方程是关于的一元二次方程， ∵原方程有两个相等的实数根, ∴△=(−2a)²−4(b+c)(c−b)=0 整理,得：4a²+4b²−4c²=0，即a²+b²−c²=0， 移项,得：a2+b2=c2 ∴由直角三角形勾股定理逆定理可知：这个三角形是直角三角形. 26. 观察下列各式的化简过程 ① ② ③ （1）写出①式的具体化简过程； （2）从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________； （3）利用上面的规律计算：． 【答案】（1） 解：； （2） （3）2007 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的运算： （1）利用分母有理化进行化简即可； （2）根据给定的等式，写出规律即可； （3）利用规律裂项相加，再利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得： 故答案为：； 【小问3详解】 原式 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $