专题06 数轴上的动点问题（压轴题，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题06 数轴上的动点问题（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 2．（22-23七年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 3．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 4．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 5．（21-22七年级上·福建福州·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．    (1)求点A，B对应的数； (2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，． 6．（22-23七年级上·浙江金华·期中）已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 7．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    8．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 9．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 10．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 11．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）已知数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，，且表示最小的正整数．请回答以下问题： (1)______；______；______； (2)有一动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，点P到A、B、C三点的距离和为14个单位？ (3)在（2）的条件下，当点P移动到点O时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点B出发，向左运动，点M的速度5个单位/秒，点N的速度6个单位/秒．若Q为的中点，且设点P、M、N、Q所对应的数分别是、、、，点M出发的时间为t秒，当时，求的值． 12．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．    (1)则___________，___________，点A和点B之间的距离是___________； (2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒． ①求C点表示的数c； ②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 13．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 14．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点A、点B．求A、B两点之间的距离． 【探索】 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 因为，则有以下情况： 情况一、若，，如图①、A、B两点之间的距离：；    （1）补全小明的探索． 【应用】 （2）若点对应的数为，数轴上点到A、两点的距离相等，求．（用含、的代数式表示） （3）若点对应的数为，数轴上点到A的距离是点到的距离的倍，请探索的取值范围与点个数的关系，并直接写出、、、的关系． 15．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 16．（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 17．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 18．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知c是最小的两位正整数，且a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)在数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，记A，P则为该数轴上的动点，其对应的数为x（包含端点），请分别用含有x的式子表示线段和线段的长度； (3)在（1）、（2）的条件下，若点M从A出发，当点M运动到B点时，点N从A出发，N点到达C点后，再立即以同样的速度往点A方向运动，M，N两点都停止运动．设点M移动时间为t秒，当点M开始运动后，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 19．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 21．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 23．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 24．（23-24七年级上·四川德阳·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．    (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 25．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 26．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 27．（23-24七年级上·江西九江·期中）我们知道：表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探索吧！ 实验与操作： （1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格． a 2 －3 4 －1 … b 6 0 －1 5 … A，B两点之间的距离 4 3 … 观察与猜想： （2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）． 理解与应用： （3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位．已知动点A、B的速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度； ②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从②中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 28．（23-24七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 29．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数轴上的动点问题（压轴题，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上点表示的数、点表示数，、满足．点是数轴原点． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ，线段的长为 ． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为 ． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时，、两点相距4个单位长度? 【答案】(1)30，，36 (2)6或 (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36． （2）点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或． 解法2 设点C表示的数为，点表示的数为30，点表示的数为， 当点在点的右侧时，则，， ， ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则，， ， ∴， 解得； 故点在数轴上表示的数为6或． （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 2．（22-23七年级上·福建漳州·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足． (1)______，______； (2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则 ①由此可得到木棒长为______； ②图中点表示的数是______，点表示的数是______； (3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁． 【答案】(1)7，28 (2)①7；②14，21 (3)爷爷现在的年龄是65岁 【分析】本题考查非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴上的动点问题： （1）利用绝对值和平方的非负性求解； （2）根据木棒的移动可得，再结合（1）中结论求解； （3）把小红与爷爷的年龄差看做木棒，根据爷爷说的话建立数轴，参照（2）中作法求解； 【详解】（1）解：因为， 所以， 解得． 故答案为：7，28． （2）解：①由题知，， 又因为点表示的数是7，点表示的数为28，且， 所以， 即木棒的长度为． 故答案为：7； ②因为， 所以点表示的数是14； 因为， 所以点表示的数是21； 故答案为：14，21． （3）解：根据题意，建立数轴如图所示， 小红现在的年龄对应数轴上的点，爷爷现在的年龄对应数轴上的点， 则当点移动到点时，点移动到了点；当点移动到点时，点移动到了点， 所以， 又因为爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生；你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了”， 所以， 且， 所以爷爷现在的年龄是65岁． 3．（23-24七年级上·全国·期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足． (1)求C点对应的数； (2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒． ①当时，求t的值； ②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值． 【答案】(1)4 (2)①或；②t的值为或或5.5 【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是； （2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得． 本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键． 【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8， ∴， ∵， ∴，， ∴C点对应的数是， 答：C点对应的数是4； （2）①∵运动t秒时， 当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或； ②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是， ∵ ∴， 解得（舍去），此种情况不存在， 由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是， ∴， 解得， 由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是， ∴， 解得， 当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4， 次情况， ∴， 解得，不合， ∴这种情况不存在， 当P运动到A后，若N为的中点，此时， ∴， 解得， 综上所述，t的值为，或，或5.5． 4．（22-23七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒个单位长度的速度来回移动，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，第次移动是向左移动个单位长度，第次移动是向右移动个单位长度，……. (1)求出秒钟后动点所在的位置； (2)第次移动后，点在表示数______的位置上，运动时间为______； (3)第次移动后，点运动时间为______，当为奇数时，点在表示数______的位置上；当为偶数时，点在表示数______的位置上； (4)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与重合，若能，则第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)，， (4)1140秒或1164秒 【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间； （3）根据（1）（2）的规律，表示出运动的路程，进而分奇数与偶数分类讨论，即可求解； （4）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：， 点走过的路程是， 处于：； （2）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒， 故答案为：，． （3）解：第次移动后，点运动时间为， 设，当为奇数时， ∴点在表示数为的位置上； 当为偶数时，点在表示数的位置 故答案为：，，． （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则 ， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒； ②当点原点左边时，设需要第次到达点，则， 解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 5．（21-22七年级上·福建福州·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．    (1)求点A，B对应的数； (2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，． 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是 (2)①表示的数是，N表示的数是②秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）由， 得的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案； （2）①先求出，的长，再求，的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案； ②分点M在点O的左侧和右侧两种情况，分别求出，的长，再根据列方程并求解，即得答案． 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以点A表示的数是，点B表示的数是； （2）①由已知得，， 因为M为的中点， ， 所以，， 则点M对应的数为，点M，N对应的数； ②由题意知，， 当点M在点O的左侧时，， 若，则， 解得， 当点M在点O的右侧时，， 若，则， 解得； 综上所述，当秒或秒时，． 6．（22-23七年级上·浙江金华·期中）已知在数轴上对应的数分别用表示，且，是数轴上的一个点．    (1)在数轴上标出的位置，并求出两点之间的距离． (2)数轴上一点距点7个单位长度，其对应的数满足． ①写出两点之间的距离． ②若表示点与点之间的距离，表示点与点之间的距离，当点满足时，直接写出点对应的数． (3)动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，点和与能重合吗？若能，请探索是第几次移动时重合，并写出算式说明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，10 (2)①3；②点对应的数为或2 (3)点和与能重合，第10次移动时重合，理由见解析 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出的值，再根据两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）①由绝对值的定义得，从而推断出，由两点间的距离即可求出点所表示的数，从而即可得到答案；②分两种情况：当点在之间时；当点在的右侧时，根据之间的关系，分别求出点表示的数即可得到答案； （3）先表示出移动次后，点对应的数为：，再分当为偶数时，当为奇数时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， 解得：，， 点在数轴上对应的数为6，点在数轴上对应的数为，画出图如下：     ，； （2）解：①由（1）可知：， ， ， ， 数轴上一点距点7个单位长度， 点在数轴上表示的数为：， ； ②如图，在数轴上的位置表示如下：   ，点满足， 点可能在之间，也可能在的右侧， 当点在之间时，， ， 点对应的数为：， 当点在的右侧时，， 点对应的数为：， 综上所述：点对应的数为或2； （3）解：点和与能重合， 理由如下： 动点从点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，依此类推…， 移动次后，点对应的数为：， 当为偶数时，点对应的数为： ， ， 当为奇数时，点对应的数为： ， ，不符合题意，舍去， 综上所述，点第10次移动时，点与点重合． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 7．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 9．（23-24七年级上·福建厦门·阶段练习）我们规定：对于数轴上不同的三个点，，，当点在点左侧时，若点到点的距离恰好为点到点的距离的倍，且为正整数，（即），则称点是“整关联点”． 如图，已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．    (1)原点________（填“是”或“不是”）“整关联点”； (2)若点是“整关联点”，则点所表示的数_______； (3)点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值，直接写出，满足的数量关系________． 【答案】(1)不是 (2)或者 (3) 【分析】（1）根据关联点的定义，即可； （2）根据关联点的定义得到等式，再讨论点的位置，求出满足的值； （3）设点表示的数为，根据关联点的定义，得出用，，表示的代数式，再由点运动时，式子为定值，得关于的代数式中的系数为，即可求出，的数量关系． 【详解】（1）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为， ∴，， ∴， ∵不是整数， ∴原点不是“整关联点”． 故答案为：不是． （2）∵在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，， ∴，， ∴， 若点是“整关联点”， ∴， 当点在线段之间，， ∴点表示的数为：； 当点在线段的延长线上，， ∴， ∴点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或者． 故答案为：或者． （3）设点表示的数为， ∵点在，之间运动，且不与，两点重合，作“整关联点”，记为，作“整关联点”，记为，且满足，分别在线段和上， ∴，；，， ∴，， ∴， 当点运动时，若存在整数，，使得式子为定值， ∴， 解得：， ∴整数，满足的数量关系为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义、数轴的知识，解题的关键的掌握数轴上两点的距离，动点问题，线段的数量关系，理解新定义的概念． 10．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）数轴上有A，B，C 三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”. 例：如图1所示，数轴上点A，B，C 所表示的数分别为1，3，4，因为，所以称点B 是点A，C的“关联点”．                               图1 (1)如图2所示，点A表示数，点B 表示数1，下列各数2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3其中是点A，B  的“关联点”的是 ;                                        图2 (2)如图3所示，点A 表示数，点B 表示数15，P 为数轴上一个动点： ①若点P 在点B 的左侧，且P 是点A，B  的“关联点”，求此时点P 表示的数； ②若点P 在点B 的右侧，点P，A，B   中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”， 请求出此时点P 表示的数.                              图3 【答案】(1)C2 (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为 【分析】（1）分别求出点C1，C2，C3到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点C1不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 11．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）已知数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c，，且表示最小的正整数．请回答以下问题： (1)______；______；______； (2)有一动点P从点C出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后，点P到A、B、C三点的距离和为14个单位？ (3)在（2）的条件下，当点P移动到点O时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点B出发，向左运动，点M的速度5个单位/秒，点N的速度6个单位/秒．若Q为的中点，且设点P、M、N、Q所对应的数分别是、、、，点M出发的时间为t秒，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】根据题意可得,,,解题即可； 分三种情形，分别构建方程即可解决问题； 根据题意先确定表示的数，根据时间确定这四点从左到右的位置，根据两点的距离可得结论. 【详解】（1）由题意可得,,, ∴ ,， 故答案为: ； （2）根据题意得：点在数轴上表示的数为：, ①当点在线段上时，, 即，解得； ②当点在线段上时，, 即，解得； ③当点在点的右边时，, 即 解得 (舍) ； ∴或时,到的距离和为个单位; （3）由题意得：点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ∵为的中点, 当与重合时, , ， 解得: , 当与重合时,, 解得: , ∴当时, 点从左到右的顺序为:, . 【点睛】本题考查多项式、绝对值、 数轴、 一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 12．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．    (1)则___________，___________，点A和点B之间的距离是___________； (2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒． ①求C点表示的数c； ②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 【答案】(1)，12，20 (2)①7；②、、3、4 【分析】（1）根据，可得：，，据此分别求出、的值，再根据两点之间的距离计算即可． （2）①设，根据题意，可得：，据此求出点表示的数即可．②利用分类讨论的数学思想，分点在点左边，点在点的右边分别求解即可解答本题． 【详解】（1）解：， ，， 解得，，， 则点A和点B之间的距离是， 故答案为：，12，20； （2）①设， 则， 解得，， ， 即点表示的数是7； ②， 到、、三点的距离之和为23个单位，只要即可， 当点在点左边时， 由到时，， 由到时，， 当点在点的右侧时， 由到时，， 由到时，， 答：为、、3、4时，点到、、三点的距离之和为23个单位． 【点睛】本题考查数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． 13．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． (1) ， ； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示 的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为； (3)若点M、N分别从点A、B同时出发，点M以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点N以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，N到点A后立刻按原速向左运动，设运动时间为（ ）秒． ①点M表示的数是（用含t的代数式表示）； ②求t为何值时，； ③求t为何值时，点M与N相距3个单位长度． 【答案】(1) (2)5 (3)①；②或；③或6或12或18； 【分析】（1）根据与互为相反数列式计算得出与； （2）先计算得出点与表示的点重合时的折叠点，再根据对称性得到答案； （3）①根据点左右平移的规律即可解答； ②分两种情况，点在之间，点在点左侧，根据分别计算得出的值即可； ③先计算出点表示的数，再分三种情况求出的值． 【详解】（1）∵与互为相反数， 故答案为：； （2）∵点表示的数是9， ∴当折叠，使得点与表示的点重合时的折叠点是， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：5； （3）①点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； ②∵， ∴当点在之间时，即，解得； 当点在点左侧时，，解得； ∴当或时，， ③由题意知，， 当点床到达点，且与点床相遇时，，得； 当点床到达点，且与点相遇后，，得； 当点到达点后，，得， 当点到达点停止运动，时，， 综上，当或6或12或18时，点与相距3个单位长度． 【点睛】此题考查绝对值、平方的非负性，两点间的中点，利用线段的数量关系列方程，（3）是难点，注意题中点与点的运动条件，分情况解决问题． 14．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）已知，与两个数在数轴上对应的点分别为点A、点B．求A、B两点之间的距离． 【探索】 小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索： 因为，则有以下情况： 情况一、若，，如图①、A、B两点之间的距离：；    （1）补全小明的探索． 【应用】 （2）若点对应的数为，数轴上点到A、两点的距离相等，求．（用含、的代数式表示） （3）若点对应的数为，数轴上点到A的距离是点到的距离的倍，请探索的取值范围与点个数的关系，并直接写出、、、的关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①时，点有1个，；②时，有两个，，或；③时，有两个．或． 【分析】（1）补充情况二，若，；情况三，若，则，得结论若，则． （2）由（1），，得． （3）根据题意，，分情况讨论：①如图1，点在两点之间，且位于中点时，点有1个；②如图2，图3，令点是的中点，当点位于点的左侧时，,,可求得时，点有两个．③如图4，图5，令点是的中点，当点位于点的右侧时，,,可求得时，点有两个，分别根据距离公式求解参数间关系． 【详解】解（1）情况二，若，， 则；    情况三，若，则， 则    综上，若，则； （2）数轴上点到A、两点的距离相等，则， ∴，得； （3）根据题意，， ①如图1，点在两点之间，且位于中点时，，， 则，， ∴时，点有1个；    ②如图2，图3，令点是的中点，当点位于点的左侧时，，， 如图2，若点位于之间：，得，    如图3，若点位点的左侧：，得；    ∴时，点有两个； ③如图4，图5，令点是的中点，当点位于点的右侧时，，， 如图4，若点位于之间：，；    如图5，若点位点的右侧：，得；    ∴时，点有两个． 【点睛】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离；注意动点的多情况讨论是解题的关键． 15．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图两点之间相距3个单位长度，两点之间相距7个单位长度，点、在数轴上表示的数分别为．    (1)若以为原点，求． (2)若以为原点，求． (3)现有一动点从点开始沿数轴的正方向运动到达点停止： ①设点到两点的距离之和为，求的最小值； ②设点到三点的距离之和为，直接写出的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)①3；②最大值17，最小值10． 【分析】（1）若以为原点，确定，计算即可； （2）若以为原点，确定，计算即可； （3）①分点在两点之间和点在两点之间两种情况讨论即可； ②分点P在不同的位置进行讨论即可； 【详解】（1）若以为原点，则 ， ； （2）若以为原点，则， ； （3）①当点在两点之间时，为定值，此时； 当点在两点之间时，两点之间的距离大于，即大于3，故的最小值是3； ②当点在点时，； 当点在点时，； 当点在点时，； 当点在两点之间时，； 当点在两点之间时； 故最大值17，最小值10． 【点睛】该题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是进行分类讨论． 16．（23-24七年级上·广东深圳·期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，． (1)直接写出结果， ， ； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则 ； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①1；② (3)存在，t＝1，，7或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． 【详解】（1）（1），， 故答案为：，． （2）①点P为线段的中点， ， ， 解得； 故答案为：1． ②点P为线段上的一个动点， ； 故答案为：． （3）点M表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，点N表示的数为，， 当时，|解得或； 当时，，解得或；． 存在t值，，，7或，使得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 17．（23-24七年级上·重庆南岸·期中）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践： （1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）； （2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______； （3）代数式的最小值是______； （4）若，则的最大值是______． 拓展与延伸： 数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】（1）；（2）；或；（3）8；（4）4；拓展与延伸：点表示的数为或1或7或31 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义进行解答即可； （4）先求出表示到和的距离之和，其最小值为，表示到和的距离之和，其最小值为，即可进一步求解； 拓展与延伸：需要分四种情况进行讨论，然后列出式子求解． 【详解】解：（1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示9的点到点P之间的距离是； 故答案为：； （2）可表示为点到表示数的距离； ， ， 解得：， 故答案为：；或； （3）表示的是到和的距离之和， ∴当在和之间及之上时，取最小值，且最小值为； 故答案为：； （4）若， 表示到和的距离之和，其最小值为， 表示到和的距离之和，其最小值为， ， ，， 当时，的值最大为：； 故答案为：； （4）若， 表示到和1的距离之和，其最小值为3， 表示到3和的距离之和，其最小值为5，， ， 当时，的值最大为：4，故答案为：4； 拓展与延伸：设点表示的数为， ①当点在点左边时，有，即， 解得：或（舍去）， ②当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， 当点在点之间靠近点时，有，即， 解得：或（舍去）， ③当点在点的右边时，有，即， 解得：或（舍去）， 点表示的数为或1或7或31． 【点睛】本题考查的是数轴、绝对值的定义、两点间的距离公式，解答此类问题时要用分类讨论的思想以及数形结合思想． 18．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知c是最小的两位正整数，且a，b满足，请回答下列问题： (1)请直接写出a，b，c的值； (2)在数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，记A，P则为该数轴上的动点，其对应的数为x（包含端点），请分别用含有x的式子表示线段和线段的长度； (3)在（1）、（2）的条件下，若点M从A出发，当点M运动到B点时，点N从A出发，N点到达C点后，再立即以同样的速度往点A方向运动，M，N两点都停止运动．设点M移动时间为t秒，当点M开始运动后，请用含t的代数式表示M，N两点间的距离． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据绝对值的平方式的非负性得出结论即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分情况列出代数式即可． 【详解】（1）是最小的两位正整数，， ，，， 即，，； （2）由题意得，，； （3）由（1）可知，，， 则：点从运动至需16秒，点从运动至需36秒，点从运动至需时间为：（秒），（秒）， ①当时，， ②当 时，，， 则，， ③当时，，， 则，． ∴ 【点睛】本题主要考查列代数式的知识，根据题意列出正确的代数式是解题的关键． 19．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵， ∴， ， 解得：，， ∴线段的长为：， 故答案为：，，； （2）由（）得：， ∴， 设对应的数为， 由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，， 解得: ， 当在、中间时，， 解得: ， 故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下： 秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴， ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 21．（23-24七年级上·福建福州·期中）定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0． (1)求数轴上点H、A所表示的数？ (2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒． ①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）． ②求（用含x的式子表示，结果需化简）． (3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值． 【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是 (2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时， (3)9秒或13秒 【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是； （2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，； （3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒． 【详解】（1）由题意得：，，，， ∴，∴， ∴， ∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是； （2）①∵，， ∴， ， ∵，， ∴，， ∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ∴M点表示的数为：， N点表示的数为：； 故答案为：，； ②当M点在N点的左侧时，， 当点M在N点的右侧时，； （3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12， ∴重叠部分的长为4个单位长度， 当点D运动到E点右边4个单位时， ； 当点A运动到H点左边4个单位时， ， 综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12． 【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键． 22．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)4或8 (3)，6 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度有， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度有， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6； 23．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知a、b为常数，且满足，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒． (1)求a、b的值； (2)请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：______；点F在数轴上对应的数为：______； (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍，在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，请求出运动时间t的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，列代数式， （1）根据绝对值和平方式的非负性得出a和b的值即可； （2）根据点的运动得出代数式即可； （3）分四种不同情况进行分类讨论，根据路程=速度×时间，列方程求解即可． 解题的关键是要运用分类讨论的思想． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：由题意可知，E点对应的数为：， F对应的数为， 故答案为：，； （3）解：在相遇前：， 设时E、F相遇， 即； 解得， ①当E点在F点左侧时，且F点没动时， 由题意可得，， 解得：， ②当E点在F点左侧时，且F点已动时， ， 解得：， ③当点E在点F右侧时， 由题意， 解得：， 综上所述，符合条件的t的值为：． 24．（23-24七年级上·四川德阳·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且．    (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为________． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)或4 (3)秒或4秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题．比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点P到点A，点B的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【详解】（1） ， 故点A，B表示的数分别为、3， 若点P到点A，点B的距离相等， 则 故点对应的数是1． （2）当在之间，(不可能有)； 当在的左侧，，得； 当在的右侧，，得． 故点对应的数为或4； （3）设经过秒后点P到点A，点B的距离相等， 此时点A，B，P表示的数分别为， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则，解得：， 当点在右侧时，此时、重合，则，解得：． 故它们同时出发，秒或4秒后到点、点的距离相等． 25．（23-24七年级上·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 26．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知： (1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用： (3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解； （2）根据材料阅读，可表示和，即可求解； （3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， 故答案为：， （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴，          解得：； 当点Q到达点A返回时，此时， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴               ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． 27．（23-24七年级上·江西九江·期中）我们知道：表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探索吧！ 实验与操作： （1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格． a 2 －3 4 －1 … b 6 0 －1 5 … A，B两点之间的距离 4 3 … 观察与猜想： （2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）． 理解与应用： （3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位．已知动点A、B的速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度； ②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从②中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 【答案】（1）5，6；（2）或； （3）①动点A的运动速度是3个单位长度/秒，动点B的运动速度是2个单位长度/秒； ②数轴见解析； ③2秒或4秒或10秒或20秒． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式解答即可； （2）根据表格得出两点之间的距离表示形式即可； （3）①设动点A、B的速度是、，列出方程解答即可； ②根据题意画出数轴即可； ③设动点A、B的速度是、，分类情况讨论，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案依次为：5，6． （2）解：A、B两点之间的距离可以表示为或， 故答案为：或， （3）①解：设动点A、B的速度是、， 可得：， 解得：， 所以，，， 答：动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒. ②解：因为动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒，所以点A为，点B为6，如图， ③解：设经过t秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 显然，动点A、B同时按原运动方向运动或同时向左运动不符合题意． 所以，i)当动点 A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：， 解得：或， ii)当动点 A向右运动、动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：， 解得：或， 答：经过2秒或4秒或10秒或20秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查的是数的绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离公式、数轴上的动点问题，属于压轴题，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想的运用是解题的关键． 28．（23-24七年级上·广西百色·期中）综合与实践，阅读理解： 【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：    【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合； 【问题拓展】 （3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）． ①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值． 【答案】（1）3；（2）；（3），4.5；（4）①2；②13 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意，,点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可； ②根据题意，点P在点A的左侧，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3 （2）因为数2对应的点与数对应的点重合， 所以，对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：0 （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧）， 设点A对应的数为x，点B对应的数为， ， 解得：， 则， 所以，点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （4）①根据题意，, 点P对应的数为， ， 解得：， 答：t为2时，P、A两点之间的距离为15个单位长度； ②动点P从B点向左出发，P、A两点之间的距离为15个单位长度时， 此时，点P在点A的左侧， 点P对应的数为， ， 解得：， 答：时，P、A两点之间的距离为15个单位长度． 29．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点” 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 30．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 【答案】(1)1 (2) (3)或3 (4)或 (5) 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． （1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点、在点的同侧和点、在点的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可； （5）首先推导出，，然后依据点关于点的幸福值的定义推导出，再结合总为一个固定的值，进一步得出答案． 【详解】（1）点是线段的中点， ， ． 故答案为：1； （2）点表示的数为，点表示的数为3， ，， ． 故答案为：； （3）点表示的数为2，点表示的数为， ，， 点关于点的幸福值， ， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3； （4）①当点、在点的同侧时（此处以点、在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ； ②当点、在点的异侧时（此处以点在原点左侧，点在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ． 故答案为：或； （5）根据题意得，， ，， 即． ， ， 总为一个固定的值， 的值与的值无关， ， ， 故答案为：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$