专题02 从立体图形到平面图形（一）（四大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年七年级数学上学期重难点压轴题突破专练（北师大版2024）

专题02 从立体图形到平面图形（一）（四大题型，40题） 目录 题型一：从不同方向看几何体 1 题型二：几何体展开图的认识 4 题型三：由展开图计算几何体的表面积 5 题型四：由展开图计算几何体的体积 8 一、题型一：从不同方向看几何体 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则，其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　） A．   B．   C．   D．   3．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 4．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，棱长为4的正方体，可以看成由64个棱长为1的小正方体组成．M、N分别为棱、的中点，剩下部分为三棱柱（如图阴影部分），那么此三棱柱还包括 个完整的棱长为1的小正方体． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看得到的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的平面图形与原来相同，可以有 种添加方法． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）一个几何体由边长为 大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． (2)若给该几何体涂色，则该几何体涂色面积为多少 （不含底面）？ 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．请画出这个几何体的三视图； （2）若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．如图是从上面看到的这个几何体的形状，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． 8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）一个物体是由棱长为的正方体模型堆砌而成的，其从不同方向看到的形状图如图所示： (1)请在从上面看到的形状图上上标出小正方体的个数； (2)求该几何体的体积； (3)求该几何体的表面积． 9．（22-23六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 10．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 二、题型二：几何体展开图的认识 11．（22-23七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图可以折叠成的几何体是（　　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 14．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为 ． 15．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知三棱柱如图1所示，其底面边长都是，侧棱长为．    (1)若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，在图2的四幅展开图中，可能是该三棱柱表面展开图的有___________（填序号）； (2)图3是已知三棱柱的一种表面展开图，请你求出图3的外围周长； (3)请你画出一种该已知三梭柱的表面展开图，使其外围周长最大，并直接写出它的外围周长． 三、题型三：由展开图计算几何体的表面积 16．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    18．（23-24七年级上·辽宁沈阳·开学考试）制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择（取）． (1)你选择材料______号作为水桶的侧面，选择材料______号作为水桶的底面（填序号）； (2)用你选择的材料制作水桶，一共用了多少的铁皮？ 19．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分． (1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱； (2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）； (3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）． 20．（23-24七年级上·河南郑州·期中）有一种纯牛奶包装盒及其尺寸如图所示.为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图所示，给出种纸样图①、图②、图③，在图①、图②、图③中有两种是正确的，它们分别是 和 ； (2)利用你所选的其中一种纸样和题中所给尺寸，求包装盒的表面积． 21．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 22．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 23．（22-23七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱有7个面，且这个直棱柱的底边长均为，侧棱长为. (1)它是几棱柱？它有多少条棱？侧面是什么图形？ (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)求这个直棱柱的棱长总和. 24．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平而图形，于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，如图3，可是一不小心多剪开了一条梭，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了_________条棱； (2)动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形； (3)解决问题：请你设计一个长方体的包装纸箱，使每箱能装10个这种纸盒，每层放1个共放10层，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），请你通过计算说明最节省材料的包装纸箱的规格（单位： ）． 25．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为的正方体模具加工零件．    (1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，设打孔后零件的表面积为，则__________． (2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为的圆形通孔，设打孔后零件的表面积为，比较与的大小关系． (3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，又在其正面正中心位置处，从前到后打一个直径为的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留）． 四、题型四：由展开图计算几何体的体积 26．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 27．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是 立方厘米． 28．（23-24七年级上·福建三明·期末）在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列： ． 29．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 （棱柱的体积＝底面积×高）．    30．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ．    31．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 32．（23-24七年级下·广西南宁·期末）广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体．这个长方体可由边长为的正方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒．设小正方形的边长为． (1)与的数量关系是 ； (2)若，求和的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，求x取最大值时长方体纸盒的体积． 33．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 34．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 35．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 36．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图的一部分． (1)该几何体是______，请补全图形，关键线段要标上数据。 (2)依据图中数据求该几何体的体积和表面积； 37．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图. (1)这个食品包装盒的几何体名称是___________________； (2)若，，，，求这个几何体的所有棱长的和及体积. 38．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）母亲节小林给妈妈买了一个圆柱形的茶杯，展开图的数据如图所示（结果保留π，单位：厘米）． (1)小林的妈妈想给茶杯做一个布套（包住侧面），问至少用多少平方厘米的布料（不考虑接缝）？ (2)问这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？ 39．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）如图是合肥大圩葡萄的长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．    (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是______与______，_______与______，_______与_____； (2)若设长方体的宽为，则长方体的长为多少厘米？高为多少厘米？（用含的代数式表示） (3)当时，求这种长方体包装盒的体积． 40．（21-22七年级上·福建三明·阶段练习）如图是某种产品的表面展开图，该产品的高为． (1)求这种产品的体积；    (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小，求此包装纸箱的表面积． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 从立体图形到平面图形（一）（四大题型，40题） 目录 题型一：从不同方向看几何体 1 题型二：几何体展开图的认识 9 题型三：由展开图计算几何体的表面积 12 题型四：由展开图计算几何体的体积 22 一、题型一：从不同方向看几何体 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则，其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键．根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断（1）；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断（2）（3）；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断（4）． 【详解】解：（1）若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以至少要剪开条棱． （2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；正确，因为用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形． （3）用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中；错误，因为是等边三角形，所以． （4）如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则．错误，应该是． 故选：B． 2．（23-24七年级上·广东深圳·期末）以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”和俯视图“从上面观察物体所得到的视图是俯视图”，熟记定义是解题关键．根据主视图和俯视图的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、从正面看和从上面看都是圆，则此项不符合题意； B、从正面看和从上面看都是正方形，则此项不符合题意； C、从正面看是三角形，从上面看是带有圆心的圆，则此项不符合题意； D、从正面看是长方形，从上面看是圆，则此项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·开学考试）用5个小正方体搭成一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个图形不可能是（ ） A． B． C． 【答案】A 【分析】本题考查由三视图判定几何体，解题的关键是理解三视图的定义， 利用俯视图，写出小正方体的个数，可得结论． 【详解】 A．从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠左边，与已知不符合，故本选项符合题意； B． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； C． 从左面看到的形状图形有层，下层有个，而上层正方形靠右边，符合已知的，从上面两排，其中1个的靠最左侧，符合，故本选项不符合题意； 故选：． 4．（23-24七年级上·四川成都·期中）如图，棱长为4的正方体，可以看成由64个棱长为1的小正方体组成．M、N分别为棱、的中点，剩下部分为三棱柱（如图阴影部分），那么此三棱柱还包括 个完整的棱长为1的小正方体． 【答案】16 【分析】此题主要考查了正方体和三棱柱的认识，理解题意，首先画4×4的网格，在网格上画出三棱柱底面的平面图，找出中所包括的完整的边长为1的小正方形，进而根据正方体的棱长为1可得出三棱柱中，包括完整的棱长为1的小正方体的个数，是解答此题的关键． 【详解】解：画出底面的平面图，其中正方形网格的边长1， 在中，完整的正方形有4个， 又∵正方体的棱长为4， ∴三棱柱中，包括完整的棱长为1的小正方体的个数是：（个）． 故答案为：16． 5．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的图形． (1)请画出从正面看、从左面看、从上面看得到的平面图形． (2)小立方体的棱长为，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． (3)如果在这个组合体中，再添加一个相同的正方体组成一个新组合体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的平面图形与原来相同，可以有 种添加方法． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，考查了空间想象能力． （1）画出从正面看、从左面看、从上面看得到的平面图形即可； （2）求出表面积，不含底面即可； （3）在从上面看的图形相应位置上，添加小正方体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的平面图形与原来相同，确定添加的位置即可． 【详解】（1）解：这个几何体从正面看、从左面看、从上面看得到的平面图形如图所示： ； （2）解：由题意得： 涂上颜色部分的总面积为：； （3）解：在从上面看的图形相应位置上，添加小正方体，使从正面、左面看这个新组合体时，得到的平面图形与原来相同，如图所示： ， 故可以有2种添加方法， 故答案为：2． 6．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）一个几何体由边长为 大小相同的小立方块搭成，从上面看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面观察这个几何体得到的形状图． (2)若给该几何体涂色，则该几何体涂色面积为多少 （不含底面）？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据从不同方向看画出图形即可； （2）判断出表面小正方形的个数求出表面积． 【详解】（1）解：如图，    （2）解：， 即该几何体涂色面积为． 7．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．请画出这个几何体的三视图； （2）若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体．如图是从上面看到的这个几何体的形状，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】此题考查了几何体的三视图画法．解题的关键是由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 【详解】解：（1）如图所示 （2）如图所示 8．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）一个物体是由棱长为的正方体模型堆砌而成的，其从不同方向看到的形状图如图所示： (1)请在从上面看到的形状图上上标出小正方体的个数； (2)求该几何体的体积； (3)求该几何体的表面积． 【答案】(1)图见解析 (2)该物体的体积是 (3)该几何体的表面积是 【分析】本题考查由三视图想象立体图形，做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意． （1）根据三视图分别得到俯视图上小立方体的个数； （2）根据（1）可得小正方体的个数，然后用1个小正方体的体积乘以小正方体的个数，即可解答； （3）根据三视图可得该物体的表面有多少个小正方形，然后用1个小正方形的面积乘以正方形的个数，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据（1）可得小正方体的个数为10， ， 答：该物体的体积是； （3）， 答：该几何体的表面积是． 9．（22-23六年级上·全国·单元测试）一个几何体是由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面、上面看到的这个几何体的形状图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最多需要多少个小正方体？最少需要多少个小正方体？ 【答案】不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体 【分析】利用从上看的图形，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，可得结论． 【详解】结合左面看到的几何体，在从上面看到的图上写出最多以及最少时小正方体的个数，如图：    最多有：（个）， 最少有：（个）， 即可知：这样的几何体不止一种，最多需要15个小正方体，最少需要10个小正方体． 【点睛】本题考查从不同角度观看几何体的知识，解题的关键是具有一定的空间想象力，属于中考常考题型． 10．（22-23七年级上·山东青岛·期末）一个几何体由一些完全相同的小立方块搭成，从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如下，那么搭成这样一个几何体，最少需要a个这样的小立方块，最多需要b个这样的小立方块，则（） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了几何体的三视图，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．由图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可，最后将的值代入即可求解． 【详解】解：综合主视图和俯视图，这个几何体的底层有4个小正方体， 第二层最少有2个，最多有4个， 因此搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为∶(个)， 至多需要小正方体木块的个数为∶(个)， 故选∶A． 二、题型二：几何体展开图的认识 11．（22-23七年级上·福建龙岩·期末）把一个立体图形展开成平面图形，其形状如图所示，则这个立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据立体图形展开成的平面图形底面是三角形，侧面是长方形判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：三棱柱的展开图底面是三角形，侧面是长方形，和给出的立体图形展开成的平面图形一致， 故选：． 12．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点，根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可． 【详解】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意． ②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意． ③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意． ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符合题意． 综上所述，说法正确的有2个， 故选：B． 13．（23-24七年级上·广东梅州·期中）如图可以折叠成的几何体是（　　） A．三棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】A 【分析】本题考查了三棱柱，根据三棱柱的展开图特点即可得．根据三棱柱的展开图特点即可得． 【详解】解：两个三角形和三个矩形可围成一个三棱柱， 故选：A． 14．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，图1为一个长方体，，M为所在棱的中点，图（2）为图1的表面展开图，则图2中的面积为 ． 【答案】68或16 【分析】本题主要考查长方体的展开图，根据长方体展开图的特点分类讨论是解题关键．分类讨论，再结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由长方体的展开图可分类讨论：①当点M的位置如图，且为所在线段中点时，连接，， ∴， ∴； ②当点M的位置如图，且为线段中点时，连接， ∴， ∴． 故答案为：16或68． 15．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知三棱柱如图1所示，其底面边长都是，侧棱长为．    (1)若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，在图2的四幅展开图中，可能是该三棱柱表面展开图的有___________（填序号）； (2)图3是已知三棱柱的一种表面展开图，请你求出图3的外围周长； (3)请你画出一种该已知三梭柱的表面展开图，使其外围周长最大，并直接写出它的外围周长． 【答案】(1)①④ (2) (3)，图见解析 【分析】（1）根据三棱柱的特点求解即可； （2）结合图形利用棱长计算周长即可； （3）要使得外围的周长最大，使得漏在外面的侧棱最多即可． 【详解】（1）解：根据三棱柱的特点可得①④为展开图， 故答案为：①④； （2）图3的外围周长为 （3）图形不唯一，例如： 最大周长为：． 【点睛】本题主要考查三棱柱的展开图及周长的计算，熟练掌握立体图形的展开图特点是解题关键． 三、题型三：由展开图计算几何体的表面积 16．（2024七年级·全国·竞赛）将若干个相同的小正方体堆成如图所示的图形，若每个小正方体的棱长为，则这个图形的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求几何体的表面积，分别找到该几何体六个方向露在外面的面，再根据每个面的面积为即可得到答案． 【详解】解：从上面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从下面看露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从左面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从右面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从正面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， 从后面看，露在外面的小正方体的面一共有(个)， ∴该几何体露在外面的面一共有60个， ∵小立方体的棱长为a， ∴这个几何体的表面积为， 故选：D． 17．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 18．（23-24七年级上·辽宁沈阳·开学考试）制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择（取）． (1)你选择材料______号作为水桶的侧面，选择材料______号作为水桶的底面（填序号）； (2)用你选择的材料制作水桶，一共用了多少的铁皮？ 【答案】(1)②号，③号 (2) 【分析】本题主要考查圆柱体的表面积，解题的关键在于熟练掌握公式进行计算． （1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是长方形，根据题意进行选择即可； （2）根据圆柱的侧面积公式以及圆的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解： 我选②号、③号； （2）解： 答：一共用了的铁皮． 19．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分． (1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱； (2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）； (3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)三棱柱，； (2)作图见解析； (3)． 【分析】本题考查了几何体的展开图，观察图形，找到图形的结构特征是解题的关键． （）根据几何体的表面展开图即可求解； （）根据几何体的表面展开图即可求解； （）根据几何体的表面展开图即可求解； 【详解】（1）解：由几何体的表面展开图可知，几何体为三棱柱，共剪了条棱， 故答案为：三棱柱，； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：几何体的表面积． 20．（23-24七年级上·河南郑州·期中）有一种纯牛奶包装盒及其尺寸如图所示.为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图所示，给出种纸样图①、图②、图③，在图①、图②、图③中有两种是正确的，它们分别是 和 ； (2)利用你所选的其中一种纸样和题中所给尺寸，求包装盒的表面积． 【答案】(1)图①，图③ (2)288 【分析】本题考查了几何体的展开图，以及利用展开图求表面积，利用空间想象能力解题是关键． （1）根据长方体的展开图判定，即可得到答案； （2）根据长方体的表面积公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由长方体的展开图可知，图①和图③是正确的， 故答案为：图①，图③； （2）解： ， 因此，这个包装盒的表面积为． 21．（23-24七年级上·辽宁锦州·期中）已知：如图1为一个长方体，，，图2为图1的表面展开图，请回答下面问题：    (1)请用三角符号在图2中标出在图1中与面相对的面； (2)在图1中，点、均为所在棱的中点，试在图2中画出、的位置； (3)根据图中所给的数据，求图2中面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)36或138 【分析】本题主要考查了棱柱的侧面展开图． （1）根据两个面相隔一个面是对面可得答案； （2）根据展开图面与面的关系，可得M、N的位置，； （3）根据M、N的位置，依据三角形的面积公式，可得答案． 【详解】（1）如图所示，    （2）如图，点M、N即为所作：    （3）如图，    因为点为所在棱的中点， 所以点到的距离为6或者23， 所以 或者 22．（23-24七年级上·河北保定·期中）如图1，该三棱柱的高为，底面是一个每条边长都为的三角形．    (1)这个三棱柱有________个面，有________条棱． (2)如图2，这是该三棱柱的表面展开图的一部分，请将它补充完整． (3)这个三棱柱的侧面积是________，要将该三棱柱的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，需剪开棱的棱长的和的最大值为________． 【答案】(1)5；9 (2)见解析 (3)135；37 【分析】本题主要考查的是认识立体图形， 能够数出三棱柱没有剪开的棱的条数是解答此题的关键． （1）根据图中棱柱的特点即可求解； （2）结合立体图形作出图形即可； （3）将三棱柱的展开图画出来，然后结合图形求解即可； 【详解】（1）解：这个三棱柱有5个面，有条棱， 故答案为：5；9； （2）如图所示（画法不唯一）．    （3）侧面积为：；    如图所示的几种展开图： 由图形可知：没有剪开的棱的条数是4条， 则至少需要剪开的棱的条数是：(条)， 故至少需要剪开的棱的条数是5条， 需剪开棱的棱长的和的最大值为：， 故答案为：135；37 23．（22-23七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱有7个面，且这个直棱柱的底边长均为，侧棱长为. (1)它是几棱柱？它有多少条棱？侧面是什么图形？ (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)求这个直棱柱的棱长总和. 【答案】(1)五棱柱，15条棱，长方形 (2) (3) 【分析】（1）根据棱柱面、棱之间的关系及直棱柱的特征即可求解； （2）根据五棱柱的侧面是5个相同的长方形，利用长方形的面积公式计算即可； （3）根据这个五棱柱的上下面是边长为的五边形，侧面是5个宽为，长为的长方形，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵直棱柱有7个面， ∴它是五棱柱， ∴它有15条棱，侧面是长方形； （2）解：， 答：这个直棱柱的所有侧面的面积之和为； （3）解：， 答：这个直棱柱的棱长总和为． 【点睛】本题考查认识立体图形，熟练掌握直棱柱的特征是解题的关键． 24．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平而图形，于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，如图3，可是一不小心多剪开了一条梭，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题： (1)观察判断：小明共剪开了_________条棱； (2)动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形； (3)解决问题：请你设计一个长方体的包装纸箱，使每箱能装10个这种纸盒，每层放1个共放10层，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少（纸箱的表面积尽可能小），请你通过计算说明最节省材料的包装纸箱的规格（单位： ）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最节省材料的包装纸箱的规格为长，宽为，高为，计算见解析 【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数， （2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况， （3）根据题意，分三种方案，分纸箱的高为，，三种情况讨论，分别计算表面积，即可求解． 【详解】（1）小明共剪了8条棱， 故答案为：8． （2）如图所示，共有4种情形， （3）解：方案一，纸箱的高为 则纸箱的表面积为 方案二，纸箱的高为 则纸箱的表面积为 方案三，纸箱的高为 则纸箱的表面积为 所以最节省材料的包装纸箱的规格为长，宽为，高为． 【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 25．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）小李师傅根据需要打算利用棱长为的正方体模具加工零件．    (1)方案一：如图①，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，设打孔后零件的表面积为，则__________． (2)方案二：如图②，他在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个直径为的圆形通孔，设打孔后零件的表面积为，比较与的大小关系． (3)若小李师傅计划在正方体模具上表面正中心位置处，从上到下打一个边长为的正方形通孔，又在其正面正中心位置处，从前到后打一个直径为的圆形通孔（如图③所示）．根据要求，需将加工完成后的零件表面涂上防锈漆，若每平方分米费用为0.5元，求所需的费用（结果保留）． 【答案】(1)256 (2)； (3)所需的费用元． 【分析】本题考查正方体、长方体和圆柱体的表面积， （1）打孔后的表面积原正方体的表面积小正方形孔的面积孔中的四个矩形的面积； （2）打孔后的表面积原正方体的表面积小圆孔的面积孔中的圆柱的侧面积； （3）打孔后的表面积原正方体的表面积正方形孔的侧面积圆形孔的侧面积四个圆形底面积两个正方形面积； 掌握长方体和圆柱体的表面积计算公式是解题关键． 【详解】（1）解：； 答：打孔后零件的表面积是； 故答案为：256； （2）解：； ∵， ∴； （3）解： 所需的费用：（元）． 四、题型四：由展开图计算几何体的体积 26．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，把一个圆柱切拼成一个长方体后，长方体的表面积和体积与圆柱的相比，（    ） A．都不变 B．体积不变，表面积变小 C．都变大 D．体积不变，表面积变大 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱与正方体的表面积及体积计算公式，解题的关键是正确表示出长方体的长宽及高．设圆柱的底面半径是r，圆柱的高为h，根据拼成长方体的高等于圆柱的高是h，再根据长方体的表面积和体积公式与圆柱的表面积和体积公式列式表示出长方体的表面积和体积与原来圆柱的表面积和体积，由此即可进行比较选择． 【详解】解：设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h， 则长方体的高等于圆柱的高是h，长方体的长为，宽为r， 圆柱的表面积为：； 圆柱的体积为：； 长方体的表面积为：； 长方体的体积为：； 所以，这个长方体和原来的圆柱体比较表面积变大了，体积没变， 故答案为：D 27．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）一个圆柱体食品罐（如图），沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为31.4平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是 立方厘米． 【答案】15.7 【分析】本题主要考查了圆柱体．熟练掌握圆柱体侧面积公式，底面积公式，体积公式，是解决问题的关键． 根据圆柱体的侧面积31.4，高5，求出底面半径，再求出底面积，最后求出体积． 【详解】解：∵圆柱体的高为5，侧面积为31.4， ∴圆柱体底面周长为： ∴底面半径为：， ∴体积为：． 故答案为：15.7． 28．（23-24七年级上·福建三明·期末）在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图1可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则甲所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图2可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则乙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图3可得：盒子底面的长方形的边长为（厘米），（厘米），高为（厘米），则丙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， ． 故答案为：． 29．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 （棱柱的体积＝底面积×高）．    【答案】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，判断出被截取的几何体形状是解题的关键．根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱，确定出底面积和高求出体积，然后用正方体的体积减去三棱柱的体积即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱， 三棱柱的体积， 正方体的体积， 剩余部分的体积为． 故答案为：． 30．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）如图，用高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为 ．    【答案】36 【分析】根据高为，底面直径为的圆柱A的侧面展开图求得围成不同于A的另一个圆柱B的底面周长是，高是，再根据圆柱的体积等于底面积×高进行计算． 【详解】解：根据题意，得到另一个圆柱B的底面周长是，高是， 则圆柱B的体积为． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了圆柱的侧面展开图和围成圆柱的各个量之间的对应关系，熟悉圆柱的体积公式是解答本题的关键． 31．（23-24七年级上·山西太原·阶段练习）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，是无盖正方体的表面展开图的是______；（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面积为______； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为______； ③制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的______倍； (3)若有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为______； (4)若无盖（缺长宽为，的长方形底面）长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最小外围周长为______． 【答案】(1)①③④ (2)①；②；③ (3) (4) 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②根据长方体的体积公式即可得解； ③分别求出无盖盒子的体积和有盖盒子体积，即可求解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，可得答案； （4）根据边长最短的都剪，边长最长的不剪，据此可得答案． 【详解】（1）解：根据构成，②只能折成个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①长方体纸盒的底面面积为， ∴长方体纸盒的底面积为， 故答案为：； ②长方体纸盒的底面积为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：； （2）由（1）可知：无盖盒子的体积：， 有盖盒子的体积：， ∵， ∴制作成的无盖盒子的体积是有盖盒子体积的倍， 故答案为：； （3）如图所示，    ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为， 故答案为：； （4）    ∴该长方体表面展开图的最小外围周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 32．（23-24七年级下·广西南宁·期末）广西百色盛产芒果，芒果的包装盒设计为长方体．这个长方体可由边长为的正方形纸板制成．如图所示，在纸板四角分别剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形（阴影部分），再把剩余部分按虚线折成一个有盖的长方体纸盒．设小正方形的边长为． (1)与的数量关系是 ； (2)若，求和的长； (3)若长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，求x取最大值时长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据长方体纸盒折叠的关系可以得解； （2）依据题意，由正方形的边长为，从而可得，则，，又，进而计算可以得解； （3）依据题意，由（2）得，长方体纸盒长为，宽为，又由长方体纸盒的底面长与宽的差不少于，从而，故，再求出长与宽即可判断得解． 【详解】（1）解：根据长方体纸盒折叠的关系可得，． 故答案为：． （2）解：由题意，正方形的边长为， ． ，． 又， ，． （3）解：由（2）得，长方体纸盒长为，宽为， 又长方体纸盒的底面长与宽的差不少于， ． ． 当最大时为15，此时长方体纸盒的长为，宽为． 此时体积为． 答：取最大值15时长方体纸盒的体积为． 33．（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 动手操作一： 根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来． 问题解决： （1）若，则该长方体纸盒的底面边长为________；该长方体纸盒的体积为________； 动手操作二： 根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 拓展延伸： （2）若，该长方体纸盒的表面积为多少？ 【答案】（1）12，864；（2）486 【分析】本题考查求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长；根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】解：（1）该长方体纸盒的底面边长为： 该长方体纸盒的体积为：； 解：（2）裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为： 裁剪后折叠成长方体的高为：3 ∴长方体纸盒的表面积为 34．（23-24七年级上·江西吉安·阶段练习）小丽同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm． (1)求长方体盒子的长和宽． (2)求这个包装盒的体积． 【答案】(1)长方体盒子的长为，宽为； (2)这个包装盒的体积是． 【分析】本题考查了长方体的展开图，关键是得到长方体的长，宽，高． （1）要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，结合图形可知2个宽2个高20，依此可求长方体盒子的宽；再根据长方体盒子的长宽3，可求长方体盒子的长； （2）根据长方体的体积公式即可求解． 【详解】（1）解：长方体盒子的宽为， 长方体盒子的长为， 答：长方体盒子的长为，宽为； （2）解：这个包装盒的体积为． 答：这个包装盒的体积是． 35．（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方形盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______ ，请你用含a，b的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积______； (2)如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表； 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 ___ ___ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（    ） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 (4)为了得到边长为20的无盖长方体盒子的最大容积，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______． 【答案】(1)，， (2)588；576 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）把，，以及，代入 进行计算即可； （3）求出当，时，计算的值即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 36．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图的一部分． (1)该几何体是______，请补全图形，关键线段要标上数据。 (2)依据图中数据求该几何体的体积和表面积； 【答案】(1)长方体 (2)体积为立方米；表面积为平方米 【分析】本题考查了几何体的展开图，求几何体的体积、表面积； （1）根据展开图得出几何体是长方体，根据题意补全图形，即可求解； （2）根据展开图分别求得体积与表面积即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，该几何体是长方体 （2）解：该几何体的体积为立方米； 表面积为平方米． 37．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图. (1)这个食品包装盒的几何体名称是___________________； (2)若，，，，求这个几何体的所有棱长的和及体积. 【答案】(1)三棱柱 (2)； 【分析】（1）根据图示可知有三个长方形和2个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）这个多面体的棱长之和是把所有棱长加起来，体积是底面积×高计算即可； 【详解】（1）解：共有 3 个长方形组成侧面， 2 个三角形组成底面， 故是三棱柱； （2）∵， 几何体的所有棱长之和为： ； ∴体积为 ． 【点睛】本题主要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和体积的求法，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 38．（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）母亲节小林给妈妈买了一个圆柱形的茶杯，展开图的数据如图所示（结果保留π，单位：厘米）． (1)小林的妈妈想给茶杯做一个布套（包住侧面），问至少用多少平方厘米的布料（不考虑接缝）？ (2)问这个杯子最多可以盛多少立方厘米的水？ 【答案】(1)至少用布料平方厘米 (2)这个杯子最多可以盛水立方厘米 【分析】（1）从示意图可知，是制作没有盖的圆柱形茶杯布套（包住侧面），需要计算侧面积，然后列式计算即可； （2）求出圆柱体体积即可． 【详解】（1）解：（平方厘米）． 答：至少用布料平方厘米． （2）（立方厘米）． 答：这个杯子最多可以盛水立方厘米． 【点睛】此题考查了圆柱体侧面积和体积公式的应用，解题的关键是能结合题意，根据公式正确列出式子． 39．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）如图是合肥大圩葡萄的长方体包装盒的展开图．具体数据如图所示，且长方体盒子的长是宽的2倍．    (1)展开图的6个面分别标有如图所示的序号，若将展开图重新围成一个包装盒，则相对的面分别是______与______，_______与______，_______与_____； (2)若设长方体的宽为，则长方体的长为多少厘米？高为多少厘米？（用含的代数式表示） (3)当时，求这种长方体包装盒的体积． 【答案】(1)①  ⑤；②  ④；③  ⑥ (2)长方体的长为，高为 (3)这种长方体包装盒的体积是 【分析】（1）根据展开图相对面的特点：相对的两个面中间一定相隔一个长方形，即可； （2）根据题意结合图中的数据解答即可； （3）先分别计算长方体的长和高，再计算体积即可． 【详解】（1）根据题意可得：①与⑤是相对面；②与④是相对面；③和⑥是相对面； 故答案为：① ⑤；② ④；③ ⑥； （2）由题意可知，当长方体的宽为时，长方体的长为，高为． （3）当时，长方体的宽为，长为，高为， 所以这种长方体包装盒的体积为． 答：这种长方体包装盒的体积是． 【点睛】本题考查了长方体的展开图，弄清展开图与长方体的关系是解题的关键． 40．（21-22七年级上·福建三明·阶段练习）如图是某种产品的表面展开图，该产品的高为． (1)求这种产品的体积；    (2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少纸的厚度不计，纸箱的表面积尽可能小，求此包装纸箱的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形求出长方体到长和宽，进而利用长方体的体积公式求解即可； （2）根据题意，使面积最大的两个面重叠在一起，纸箱所用材料才尽可能少，进而分析求解即可． 【详解】（1）解：由这种产品的表面展开图可知，这种产品为长方体． 根据题意可得，该长方体的高为，则宽为，长为， 所以这种产品的体积为； （2）解：因为长方体的高为，宽为，长为，所以装件这种产品，应该尽量使得的面重叠在一起，纸箱所用材料才尽可能少． 因此，装件这种产品可以用的包装纸箱，再考虑的面的面积最大，所以使得的面重叠在一起，装件这种产品时纸箱所用材料才尽可能少． 所以，设计的包装纸箱为规格， 此包装纸箱的个相邻侧面的面积分别为，， 所以，此包装纸箱的表面积为 【点睛】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积和体积求解，理解题意，灵活运用所学知识解决问题，根据图形得到长方体的长和宽是解答的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$