第一章 空间向量与立体几何 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直 B．为直角三角形的充要条件是 C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D． 3．在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 二、多选题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 10．如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 11．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 三、填空题 12．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    13．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 14．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则 ． 四、解答题 15．如图在三棱柱中， (1)证明:； (2)求二面角的平面角的正弦值. 16．已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 17．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 18．如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.    (1)证明：； (2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 单元测试（提升卷） 一、单选题 1．已知M，N 分别是正四面体中棱AD，BC的中点，若点 P 满足则DP与AB夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，表达出，进而求出，进而得到，，从而利用夹角余弦公式求出DP与AB夹角的余弦值. 【详解】设， 因为，所以 ， 设正四面体的棱长为1， 故 ， 又 ， 所以， 故， DP与AB夹角的余弦值为. 故选：A 2．以下四个命题中，正确的是（    ） A．向量与向量垂直 B．为直角三角形的充要条件是 C．若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底 D． 【答案】C 【分析】利用垂直的向量表示判断A；利用三角形中不一定为直角，结合充要条件概念判断B；利用共面向量基本定理及基底的概念判断C；根据数量积的运算律判断D. 【详解】A：因为，，所以，与不垂直，故A错误； B：由，知，即. 而为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是， 所以无法推出，故B错误； C：因为为空间的一个基底，设，即，无解， 所以不共面，则构成空间的另一基底，故C正确； D：，当时，，故D错误. 故选：C. 3．在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由四点的坐标，确定几何体的关系，利用补体法，求四面体外接球的半径，即可求球的表面积. 【详解】根据已知4个点的空间直角坐标可得，平面，， 所以四面体ABCD可以补成长、宽、高分别为4，3，2的长方体， 所以四面体ABCD外接球的半径， 所以四面体ABCD外接球的表面积为．    故选：A 4．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 5．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 所以， 所以在基底下的坐标为. 故选：A 6．正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解. 【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用球心，将转化为，然后分析点位置即可. 7．如图，三棱柱中，分别为中点，过作三棱柱的截面交于，且，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】延长交于点，连接交于，连接，取的中点，连接，得到四边形所求裁面，再利用平行的相似比得到为上靠近的三等分点即可． 【详解】 如图，延长交于点，连接交于， 连接，则四边形所求截面． 取的中点，连接. ∵， ∴是△APC的中位线， ∴为的中点． 又分别为的中点， ∴，则，即， ∴为上靠近的三等分点，故． 故选：B. 8．如图，棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法不正确的是（    ） A．时，平面 B．时，四面体的体积为定值 C．时，，使得平面 D．若三棱锥的外接球表面积为，则 【答案】C 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；由线面平行确定点到平面的距离是定值判断B；由空间向量数量积的运算律计算判断C；求出外接球半径计算判断D. 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，正方体中，当时，面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，B正确； 对于C，当时，， 而，则 ，因此不垂直于，不存在，使得平面，C错误； 对于D，显然平面，则三棱锥与以线段为棱的长方体有相同的外接球， 令球半径为，则， 球的表面积，解得，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，进而确定球半径求解. 二、多选题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，直接由向量线性运算的坐标表示即可验算；对于B，由向量模的计算公式即可验算；对于C，由向量夹角公式即可求解；对于D，由公式验算即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，，设平面的法向量为，则， 令，解得，所以，又， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 10．如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若存在实数，使，则与共线 D．若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，用射影概念和线面垂直性质得到；对于B，将左边向量转化为右边的向量，后根据线线垂直的向量数量积为0计算得到；对于C，直接用向量共线的性质得到；对于D，用平面向量的基本定理可以得到． 【详解】对于A，根据射影概念，知道，，若，， 则面，面，则成立，故A正确． 对于B，，故B正确． 对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误． 对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底， 则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确． 故选：ABD. 11．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，    由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．    【答案】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，    所以 ， 所以. 故答案为：. 13．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ． 【答案】 【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案． 【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线， 当、最短时，平面，， 所以为的中心，为的中点， 此时， 平面，平面， ， ． 又， ． 故答案为：． 14．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对于任意，都有（其中），则 ． 【答案】 【分析】首先分析题意，由结合空间向量的数量积定义求解的值，进行下一步化简得出则当时，取得最小值，得到，多次求解二次函数最值可得答案. 【详解】因为且两者均为单位向量，所以 ， 又因为对于任意的都有， 则当时，取得最小值， 则当 ， 令， 由二次函数性质得当, 令，同理，即， 故， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查求空间向量，解题关键是找到方程，然后用主元法视为二次函数，多次求最值即可． 四、解答题 15．如图在三棱柱中， (1)证明:； (2)求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的判定性质，结合正三角形的性质推理即得. （2）作于，求出，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 由，得都是正三角形， 则，因此，又平面平面， 且，于是平面，又平面， 所以. （2）由（1）知，平面平面，而平面平面，作于， 而平面，则平面，设，则有， ，，， 在平面内过点作，则平面，直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 则，由， 得，，， 设平面的法向量，则，令，得 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的平面角的正弦值. 16．已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由向量共线列方程组，解出即可； （2）由向量的坐标运算分别求出，再由坐标计算结合二次函数求出最值即可； 【详解】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 17．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 18．如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.    (1)证明：； (2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为. （i）求的面积； （ii）求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由空间向量的运算可得，，再由线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）（i）由余弦定理求，根据同角的平方关系求出，再由三角形面积公式即可求解； （ii）由（i）得即为与平面所成角，根据及即可求解. 【详解】（1）因为E为边AB的中点，所以. 又，即，即. ， 所以. 又因为，所以，即. 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以.    （2）（i）由余弦定理可得， 所以， 所以. （ii）由（1）可知，平面， 所以即为与平面所成角. 因为，所以，， 所以，得. 设到平面的距离为，点到直线的距离为， 则 . 因为， 又，所以. 19．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，. (1)求的长； (2)若为的中点，求二面角的余弦值； (3)若为上一点，且满足，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先说明为直线与所成的角，即，设，根据所给定义得到方程，解得即可； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，为二面角的平面角，由锐角三角函数求出，设二面角的平面角为，则，利用诱导公式计算可得； （3）依题意可得平面，在平面内过点作，垂足为，即可证明平面，在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，即可得到四边形为平行四边形，求出，即可得解. 【详解】（1）因为底面为矩形，底面， 所以，，又底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得（负值已舍去）， 所以； （2）在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面，底面，所以，又， 平面，所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，则， 所以， 即二面角的余弦值为； （3）依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用所给定义，第三问关键是转化为求. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$