专题07 空间距离的向量求法（四大题型，35题）-【尖子生培优】2024-2025学年高二年级数学重难点压轴题突破专练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 空间距离的向量求法（四大题型，35题） 目录 题型一：点到平面距离的向量求法 1 题型二：平行平面距离的向量求法 3 题型三：点到直线距离的向量求法 5 题型四：异面直线距离的向量求法 7 题型一：点到平面距离的向量求法 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 3．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（    ）    A．直线到截面的距离是定值 B．点到截面的距离是 C．的最大值是 D．的最小值是 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在表面积为的球O的球面上存在A，B，C三点，且，，E为线段OC的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与成角余弦值的最小值为 C．若点O到平面的距离为，则异面直线与间的距离为 D．若点O到平面的距离为，则三棱锥外接球的表面积与球O表面积之比为 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为 ． 7．（23-24高二下·上海·期中）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    8．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 9．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 10．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 题型二：平行平面距离的向量求法 11．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 13．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 14．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 15．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    题型三：点到直线距离的向量求法 16．（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 17．（2024·江西鹰潭·二模）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ）    A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3 C．点到直线的距离是 D．直线与平面所成角正弦值的最大值为 18．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 19．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 20．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ． 21．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 22．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 23．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求点到直线的距离. 24．（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 25．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 题型四：异面直线距离的向量求法 26．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 28．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线的距离为 C．点A到平面的距离为 D．到平面的距离为 30．（22-23高二上·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ． 31．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 32．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 33．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 34．（2023·河北衡水·模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF. (1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：. (2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离. 35．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 36．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 空间距离的向量求法（四大题型，35题） 目录 题型一：点到平面距离的向量求法 1 题型二：平行平面距离的向量求法 15 题型三：点到直线距离的向量求法 21 题型四：异面直线距离的向量求法 36 一、题型一：点到平面距离的向量求法 1．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 2．（23-24高二上·山东·期中）在棱长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，点分别为线段与线段上一点，则（    ） A．直线与直线所成角的余弦值为 B．点到直线的距离为 C．当平面时， D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，然后写出点的坐标，动点用表示，逐个判断即可. 【详解】如图所示， 以为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系，可得 ， 所以 对于A：，所以A正确； 对于B：，所以B错误； 对于C： ， 因为//平面，所以，即，所以C正确； 对于D：设，其中， 则，， 解得， 所以 ， 所以当时，D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：当碰到正方体等立体几何时，需要善于应用向量法 3．（22-23高二上·云南昆明·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点，且截面，则下列说法正确的是（    ）    A．直线到截面的距离是定值 B．点到截面的距离是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ABC 【分析】由截面，可得直线到截面的距离即为点到截面的距离，利用空间向量法求出点到平面的距离，即可判断A、B，取的中点为，取的中点为，取的中点为，即可证明平面平面，则线段扫过的图形是，求出的取值范围，从而判断C、D. 【详解】因为截面，是的中点， 所以直线到截面的距离，即为点到截面的距离，为定值， 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到截面的距离， 所以点到截面的距离是，故A、B正确；    取的中点为，取的中点为，取的中点为，如图所示    因为是的中点，是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面. 又平面，线段扫过的图形是， 即点的轨迹为线段， 由，得，, ，， 所以，即为直角， 所以线段长度的取值范围是，即， 所以的最大值是，的最小值是，故C正确，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：求点到平面的距离关键是利用空间向量法，当然也可利用等体积法，C、D主要是确定动点的轨迹，从而确定的取值范围. 4．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在表面积为的球O的球面上存在A，B，C三点，且，，E为线段OC的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与成角余弦值的最小值为 C．若点O到平面的距离为，则异面直线与间的距离为 D．若点O到平面的距离为，则三棱锥外接球的表面积与球O表面积之比为 【答案】CD 【分析】首先判断出AB两点位置不影响题目，设出具体AB坐标后建立空间直角坐标系，用向量积的坐标运算分析A，线线角的向量求法分析B，异面直线的距离公式计算C，运用高观点球的方程计算D即可. 【详解】如图： 因为，，在球的球面上，所以，球的半径为2，，所以是等边三角形； 又， 不妨以为原点，面为平面建立空间直角坐标系，由已知得，球的方程为，且发现，的位置在符合所给条件时不影响本题结果，故规定,，结合，设，，，则，解得，则有，得到的轨迹是在平面内以为圆心，为半径的圆，则的参数方程为是参数，可得，，， 必有，故A错误，设异面直线与成角余弦值为，则，故B错误，设面的法向量，，，则必有，，解得，，，可得，而已知点O到平面的距离为，可得，解得或，设与的公垂法向量，异面直线与间的距离为， ，，令，解得，，，则， 由异面直线间距离公式得，故C正确，对于D，由已知得：此时，设三棱锥外接球的球心为，半径为，球的方程为，将四点坐标代入球的方程， ，，，，解得，故面积比为，故D正确. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是A，B两点的位置不影响解题．建立空间直角坐标系后利用球的标准方程，异面直线的距离公式等知识逐个选项分析即可． 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正四面体的棱长为，点、分别为和的重心，则直线到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】将正四面体放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用坐标法可证线面平行，进而可得直线到平面的距离. 【详解】将正四面体放入正方体中， 以点为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，如图所示， 因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 则，，， 因为点、分别为和的重心， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以, 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取，则， 因为，且直线不在平面上， 所以直线平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 点到平面的距离， 故答案为：. 6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知正方体边长为1，，平面BED，平面，平面交于一点M，则点M到平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用平面基本事实确定点位置，并求出其坐标，利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】令，连接，显然平面平面， 平面平面，则，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 在平面内，直线方程为，直线的方程为，联立解得， 令，则，， 由，得，解得，即点，， ，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离，而正方体的棱长为1， 所以点M到平面的距离为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：确定三个平面的公共点，利用平面的基本事实，先求出其中两个平面的交线，再求出另两个平面的交线即可. 7．（23-24高二下·上海·期中）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】取作为空间向量的一组基底，设为平面向上的一个单位向量，再设正方体的棱长为，由题意，在上的投影长度分别为，用表示出，由可求出，进而可得正方体外接球的半径，再用球的表面积公式求解. 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底，设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序是数组，使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以，又，所以. 所以正方体外接球半径为：. 所以外接球表面积为：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用空间向量解决问题，关键要选择一组合适的向量做基底.这个题目，因为涉及正方体，所以可以选择从正方体的一个顶点出发的三个向量做基底. 8．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法求点到面的距离即可； （2）用动点引入变量表示动向量，再用空间向量法求二面角的余弦值，最后利用关于变量的函数求取值范围即可. 【详解】（1）连接，依题意可知平面，由于平面， 所以， 由于三角形是等边三角形，所以，， 又， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 又，故，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故，又， 所以点到平面的距离为. （2）设，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设锐二面角为， 则， 令， 所以，设， 则， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即. 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 9．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 10．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出方向向量及法向量，利用空间向量夹角公式即可得解． （3）求出的坐标，再利用求解即可. 【详解】（1），分别为，的中点， ，又平面，平面 平面； （2）如图建立空间直角坐标系，因为， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，可取， 设直线与平面所成角为，则； （3）由（2），得， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离    【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”： 第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系； 第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标； 第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量； 第四，破“应用公式关”. 二、题型二：平行平面距离的向量求法 11．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      12．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知正方体的棱长为1，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系后利用向量法求点到面，面与面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，， 所以，.    设，则，. 故到直线的距离，故A错误. ， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B正确. ，，. 设平面的法向量为， 则，所以 令，得，，所以. 所以点到平面的距离.   ，所以， 又因平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C正确. 因为，所以， 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：BC 13．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 14．（23-24高二上·山东淄博·阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 15．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    【答案】 【分析】根据已知求出面的法向量，应用线面、面面平行的判定定理证平面平面，进而可知在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d，利用向量法求面面距离. 【详解】由题意得，，． 设为平面的法向量，则， 取，得，，则是平面的一个法向量． 由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 又，面，故平面平面． 由于点A，D分别在平面与平面上， 因而在上的投影长，即为平面与平面之间的距离d． 因此，所求距离． 三、题型三：点到直线距离的向量求法 16．（23-24高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 17．（2024·江西鹰潭·二模）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ）    A． B．若为线段上的一个动点，则的最大值为3 C．点到直线的距离是 D．直线与平面所成角正弦值的最大值为 【答案】BD 【分析】由向量的线性运算代入计算，即可判断A，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断BCD 【详解】对于A项，因为 ， 所以，故A项错误； 对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，    则，，， 设点，使，， 则，故，则 ， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项正确； 对于C项，又，则，， 故得：，， 则点到直线的距离为：，故C项错误； 对于D项，设平面的一个法向量为， 所以，取，所以 由，则， 设为与平面所成的角， 则， 又，当且仅当时，取等号 知，D项正确. 故选：BD 18．（23-24高二下·福建莆田·期末）已知，，三点，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 所以到直线的距离为， 故答案为：. 19．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知空间直角坐标系中的点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】设为三角形的边上的高，由三点共线，以及，可通过待定系数得出，结合模长公式即可得解. 【详解】由题意设为三角形的边上的高，而， 因为三点共线，设， 因为，所以，解得， 所以，所以点到直线的距离为. 故答案为：. 20．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图①是直角梯形，，，是边长为1的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则到距离最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得面面，结合菱形性质，得两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，由空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】 折起前，连接菱形的对角线交于点， 所以，所以折起后有， 因为菱形的边长为1， 所以， 又因为，，且 所以在中，有， 所以， 所以折起前后四边形的面积固定， 若以为折痕将折起， 当点到达的位置时，四棱锥的体积最大， 则此时点到平面的距离最大， 则此时有面面， 又面面，，面， 所以面， 又面， 所以， 又， 所以两两互相垂直， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系： 则， 过点作于点，则， 又因为， 所以，即， 所以， 因为三点共线， 所以不妨设 ， 所以点到直线的距离 ， 所以当时，， 所以到距离最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题关键是得到面面，结合菱形性质，建立适当的空间直角坐标系，由此即可顺利得解. 21．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 22．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 23．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，底面． (1)证明：； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． (3)在（2）的条件下，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，由此能证明; （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法平面与平面所成角的余弦值; （3）直接利用空间中点到线的距离公式求解. 【详解】（1）证明：因为，故， 又平面，平面，可得， 又平面，所以平面, 又平面，故． （2）如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,，,,， ,,, 设平面的法向量为 则，取，得， 设平面的法向量为,,，则， 取，得, 设平面与平面的夹角为，， 故平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（2） 则点到直线的距离. 24．（23-24高二上·浙江丽水·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过说明两两垂直，以为轴建立直角坐标系，利用向量法求面面角； （2）先根据面积求出点N点到的距离，然后利用向量法通过点线距离公式计算即可. 【详解】（1）由已知在中， ， ， 又四边形是平行四边形，， 取中点H，则， ，，两两垂直， 以为轴建立直角坐标系， 则为边上的高， ， ， M为中点，， ， 设平面的法向量为， ， ，取， 设平面的法向量为， ，取， 平面与平面夹角余弦值为； （2）设，则； ， ，设N点到的距离为d， 则， ， ，即， . 另解：，设N点到的距离为d， 则， ， 延长至E，使得，则且， 又平面，所以平面， 而平面，，所以E点即为N点，. 25．（23-24高二下·广东广州·阶段练习）如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．    (1)证明：平面； (2)若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段的距离的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【详解】（1）   因为折叠前为中点，，所以，折叠后，， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后， ，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立 空间直角坐标系，则，，，，， 为中点，所以，，设平面的法向量为 ，又，，所以， ，令，则，，所以，所以， 所以，所以平面. （2）设，由（1）知，，因为动点Q在线段上， 且，所以，所以， 所以，，，所以，， ，设平面的法向量为，， ，令，则，，所以， 设平面的法向量为，所以 ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）设，，，动点Q在线段上， 所以，，即，即， 所以，，， 设点Q到线段的距离为，， ，， ，，令，， 则，，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为. 四、题型四：异面直线距离的向量求法 26．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 27．（23-24高二上·广东广州·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】在直线上任意一点，作，设，，根据得出和的关系，再由模长公式得出与的关系，再求最值即可. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为，可知此时到直线距离最短， 设，， ， ，因为，所以， 即，所以，即， 所以， 所以， 所以当时，取得最小值，所以直线与的距离为. 故选：D 28．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 29．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知棱长为2的正方体中，E，M，N分别为，，的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面 B．直线与直线的距离为 C．点A到平面的距离为 D．到平面的距离为 【答案】ABC 【分析】 根据正方体特征直接建立空间直角坐标系，根据向量法判断线面平行，运用点面距离公式和异面直线的距离公式进而求得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即， 又因为平面，所以平面，故A正确； 由已证可知，点到平面的距离即为直线到平面的距离， 因为所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为，故C正确，D错误； 因为， 设，， 则，令，则， 又因为， 所以直线与直线的距离为，故B正确. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为： （1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解； （2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解； （3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解. 30．（22-23高二上·浙江杭州·期中）两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况. 【详解】由题意，得， 所以， 因为，所以，， 因为，所以，则，同理：， 因为异面直线a，b所成的角为， 当的夹角为时，， 所以，则，即，故； 当的夹角为时，， 所以，则，故； 综上：线段的长为或. 故答案为：或. . 31．（21-22高二上·浙江宁波·期末）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 32．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 33．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 34．（2023·河北衡水·模拟预测）异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF. (1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：. (2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设是直线与的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，从而推出矛盾，由此得证； （2）利用（1）中结论，求得直线与的公共法向量，从而利用异面直线间的距离公式求得所求. 【详解】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，， 所以易得两两垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 不妨设，，则，， 所以，即， 所以，，， 要证，只需证不是直线与的公垂线即可， 假设是直线与的公垂线，则， 故，即， 整理得，消去，得，即， 所以，不满足，故假设不成立， 所以. . （2）不妨设，则， 由（1）得，，， 因为，所以，则， 所以， 不妨设是直线与的公共法向量， 所以，令，则，，故， 设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为， 则， 因为， 所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为. 35．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知在棱长为4的正方体中，.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离； (3)在此正方体中，，则称线段的长为异面直线与的公垂线段长，也称为异面直线与的距离.试求异面直线与的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】建立空间直角坐标系，然后运用点到线，点到面，线线之间的距离公式求解即可. 【详解】（1）    如图根据正方体性质，可以如图建立空间直角坐标系，， 可以得到各点坐标．，，，，． ，，， 则点到直线的距离. （2），，， 设平面法向量为，则， 令，则，则. 则到平面的距离. （3），，， 设与的公垂线方向向量为.则， 解得，则. 则异面直线与的距离. 36．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$