第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

4．2　简单幂函数的图象和性质 [对应学生用书P55] 学习目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．会求幂函数的解析式，会根据幂函数的性质比较幂值的大小． 知识点一　幂函数的概念 我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？ 幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数． (1)“xα”的系数为1；(2)xα的底数是自变量x，指数α为常数；(3)函数式只有一项． [例1] (1)在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为 ． (2)已知f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，则m＝ ． 答案：(1)1　(2)0　解析：(1)函数y＝＝x－4为幂函数； 函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数； 函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α为常数)的形式，所以它不是幂函数； 函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数． (2)∵函数f(x)＝(m＋1)xm＋2是幂函数，∴m＋1＝1，即m＝0. 判断幂函数的方法 函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. [练1] (1)在函数y＝x－2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2，)，则f(9)＝(　　) A．－3 B．－ C．3 D． (1)B　(2)C　解析：(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数．故选B. (2)由题意f(2)＝2α＝，所以α＝， 所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3. 知识点二　幂函数的图象 前面我们学习了幂函数，你能画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象吗？ 五个常见幂函数的图象 “幂函数的图象”在第一象限被点(1，1)“束”在了一起． (1)α∈(1，＋∞)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)； (2)α∈(0，1)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)； (3)α∈(－∞，0)⇒y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)； (4)在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”． [例2] 幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A.a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a D　解析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以由题中图象得b>c>d>a.故选D. 解决幂函数图象问题的两个原则 (1)观察函数在第一象限的图象； (2)在区间(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在区间(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). [练2] 在下列四个图形中，y＝x－的图象大致是(　　) D　解析：函数y＝x－的定义域为(0，＋∞)，是减函数． 知识点三　幂函数的性质 五个常见幂函数的性质 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x 图象 定义域 R R R {x|x≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R {y|y≠0} [0，＋∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在区间(－∞，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，0]上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，＋∞)上单调递增 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递减 在区间[0，＋∞)上单调递增 公共点 都经过点(1，1) “幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上”当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． [例3] 比较下列各组数的大小： (1)2.3，2.4；(2)－，－； (3)0.3，0.2. 解：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴2.3＜2.4. (2)∵y＝x－为(0，＋∞)上的减函数，且<， ∴－＞－. (3)∵y＝x在[0，＋∞)上单调递增，且0.3＞0.2， ∴0.3＞0.2. 比较幂值大小的两种方法 [练3] (1)若a＝(－1.2)，b＝1.1，c＝0.9，它们的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a (2)若幂函数f(x)的图象过点(2，8)，则满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是 ． (1)D　(2)(2，＋∞)　解析：(1)a＝(－1.2)＝1.2， ∵当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增， ∴1.2>1.1>0.9，∴a>b>c. (2)设幂函数为f(x)＝xα，因为其图象过点(2，8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以f(x)＝x3.因为f(x)＝x3在R上为增函数，所以由f(a－3)>f(1－a)，得a－3>1－a，解得a>2.所以满足不等式f(a－3)>f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞). 1．知识清单 (1)幂函数的定义及其应用； (2)幂函数的图象及其应用； (3)幂函数的性质及其应用． 2．方法归纳：数形结合思想、方程思想、转化与化归思想． 3．常见误区：幂函数的图象不一定过原点． ◎随堂演练 1．已知幂函数的图象过点(2，4)，则其解析式为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝x2 C．y＝ D．y＝x3 B　解析：设幂函数的解析式为y＝xα，当x＝2时，y＝4，故2α＝4，即α＝2.故选B. 2．设α∈{1，2，3，，－1}，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为(　　) A．－1，3 B．－1，1 C．1，3 D．－1，1，3 C　解析：y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1是常见的五个幂函数，显然y＝xα为奇函数时，α＝－1，1，3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，故α＝1，α＝3.故选C. 3．(2024·桂林高一期末检测)幂函数y＝x的大致图象是(　　) A　解析：由y＝x＝，可知x≥0，故C，D错误，随着自变量的增大函数值增大，故B错误．故选A. 4．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是 ． 答案：f(x)＝x－1　解析：∵函数的图象与x轴、y轴都无交点， ∴m2－1<0，解得－1<m<1. ∵图象关于原点对称，且m∈Z， ∴m＝0，∴f(x)＝x－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$