第2章 2.1 函数概念（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　函　数 2．1　函数概念 [对应学生用书P43] 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，会判断两个函数是否为同一函数． 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域． 知识点一　函数的概念 上一节我们学习了生活中的变量关系，它们有依赖关系、函数关系，其中函数关系是一种确定的关系，在高中数学中，函数是如何定义的？ 函数的有关概念 (1)定义：给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数． (2)记法：y＝f(x)，x∈A. (3)定义域：集合A称为函数的定义域，x称为自变量． (4)值域：与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． (1)“每一”“唯一”，即对于非空数集A中的每一个(任意性)数x，在非空数集B中都有唯一(唯一性)确定的数y与之对应； (2)“f(x)”仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式； (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． [例1] (1)下列对应关系中不能表示函数的是(　　) (2)(2024·南昌高一期末检测)下列函数中，与函数y＝x(x≥0)是同一个函数的是(　　) A.y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝()2 (3)(多选)下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是(　　) A．y＝x－1 B．y＝ C．y2＝4x D．y2＝x2 (1)D　(2)D　(3)CD　解析：(1)D项中，当x>0时，任意一个x对应着两个y的值，因此选项D不是函数．故选D. (2)y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝的定义域为R，定义域不相同，故不是同一个函数；y＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域相同，且y＝()2＝x，x∈[0，＋∞)，函数对应关系也相同，故是同一个函数．故选D. (3)选项C中，当x＝1时，y＝±2，不符合函数的定义；选项D中，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义．故选CD. 1．判断对应关系是否为函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集； (2)A中任意一元素在B中有且仅有一个元素与之对应(“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系). 2．根据图形判断是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或有两个以上的交点，则不是函数． 3．判断同一个函数的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [练1] (1)(多选)设f是集合A上的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A可能是(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－1，0} (2)(多选)下列给出的函数是分段函数的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C.f(x)＝ D．f(x)＝ (3)下图中能表示函数关系的是 (填序号). (1)ABC　(2)AD　(3)①②④　解析：(1)若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02＝0∉B，故D不符合题意，A，B，C都符合题意．故选ABC. (2)对于B，取x＝2，得f(2)＝3或f(2)＝4；对于C，取x＝1，f(1)＝5或f(1)＝1，所以B，C都不符合题意．故选AD. (3)由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 知识点二　函数的定义域 [例2] (1)(2024·桂林高一期末检测)函数f(x)＝的定义域为 ． (2)若函数f(x)的定义域为[－2，1]，则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为 ，y＝f(2x＋1)的定义域为 ． 答案：(1){x|x≥1且x≠2}　(2)[－1，1]　[－，0] 解析：(1)由题意，得解得x≥1且x≠2，所以定义域为{x|x≥1且x≠2}． (2)由题意，得即－1≤x≤1. 故y＝f(x)＋f(－x)的定义域为[－1，1]. 由－2≤2x＋1≤1，得－≤x≤0，即函数y＝f(2x＋1)的定义域为[－，0]. 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； (5)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集． [练2] 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是 ． 答案：[－2，3]　解析：由题图可知f(x)的定义域为[－2，3]. 知识点三　函数的值(值域) [例3] (1)若函数f(x)＝则f(f(f(－2 024)))＝ ． (2)求下列函数的值域： ①y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； ②y＝；③y＝2x－. (1)π2＋1　解析：∵f(－2 024)＝0， ∴f(f(－2 024))＝f(0)＝π， ∴f(f(f(－2 024)))＝f(π)＝π2＋1. (2)解：①(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6). ②(分离常数法)y＝＝＝3－.∵≠0，∴y≠3， ∴y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞). ③(换元法)设t＝，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[，＋∞). 1．函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值； (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的四种方法 (1)观察法：较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：二次函数或可化为二次函数处理的函数，可利用配方法求其值域； (3)分离常数法：将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； (5)分段函数的值域是各段函数值域的并集． [练3] (1)函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． (2)函数f(x)＝的定义域为 ，值域为 ． 答案：(1){x∈R|x≠1}　{y∈R|y≠5}　(2)(－1，1)　(－1，1) 解析：(1)若函数有意义，则x≠1，故定义域为{x∈R|x≠1}． ∵f(x)＝＝＝5＋，且≠0， ∴y≠5，∴函数的值域是{y∈R|y≠5}． (2)由已知定义域为{x|0＜x＜1}∪{0}∪{x|－1＜x＜0}＝{x|－1＜x＜1}，即(－1，1). 又0＜x＜1时，0＜－x2＋1＜1；－1＜x＜0时，－1＜x2－1＜0；x＝0时，f(x)＝0.故值域为(－1，0)∪{0}∪(0，1)＝(－1，1). 1．知识清单 (1)函数的概念及其判断； (2)求函数的定义域； (3)求函数值或值域． 2．方法归纳：数学抽象、转化与化归． 3．常见误区：函数与方程是两个不同的概念． ◎随堂演练 1．已知函数f(x)＝，则其定义域为(　　) A．R B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) D　解析：要使f(x)有意义，需x≠0， 故定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).故选D. 2．已知函数f(x)＝设f(0)＝a，则f(a)＝(　　) A．－2 B．－1 C． D．0 A　解析：∵a＝f(0)＝03－1＝－1， ∴f(a)＝f(－1)＝2×(－1)＝－2.故选A. 3．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1) C　解析：因为x2≥0，所以x2＋1≥1， 所以0<≤1，所以函数的值域为(0，1].故选C. 4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的值域为 ． 答案：[－4，3]　解析：由题图易知函数的值域为[－4，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $$