第1章 4.1 一元二次函数（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4．1　一元二次函数 [对应学生用书P30] 学习目标 1.掌握一元二次函数的图象及图象变换． 2．会求一元二次函数的最值及相关问题． 知识点一　一元二次函数及性质 在初中我们已经学习了一元二次函数，想一想一元二次函数是如何定义的？其解析式如何确定？ 1．函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h． 2．当a＞0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k． 当a＜0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k． “一元二次函数y＝ax2＋bx＋c”的特点： (1)a是二次项的系数，不等于0； (2)a的正负决定抛物线的开口方向； (3)a的绝对值大小决定抛物线的形状． [例1] (1)已知一元二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1.求此一元二次函数的解析式． (2)求函数y＝x2－3x－7(x∈R)的最小值． 解：(1)方法一(一般式)　设y＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得 解得所以所求一元二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7. 方法二(顶点式)　设y＝a(x－m)2＋n. ∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1.∴抛物线的对称轴为x＝＝. ∴m＝.又根据题意知函数有最大值8， ∴n＝8.∴y＝a(x－)2＋8. 又抛物线过点(2，－1)， ∴a(2－)2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴y＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. (2)y＝x2－3x－7＝(x－)2－， 因为x∈R，所以当且仅当x＝时，ymin＝－. 一元二次函数解析式的求法 (1)若已知三个点，则设为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式； (2)若已知顶点或对称轴、最值，则设为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点为(h，k)，a为常数，a≠0)； (3)若已知图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0). [练1] 根据下列条件，求一元二次函数的解析式： (1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)； (2)图象顶点为(1，2)并且过点(0，4)； (3)图象过点(2，0)，(4，0)，(0，3). 解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c， 由题设知解得 ∴函数解析式为y＝x2－2x＋2. (2)设所求函数解析式为y＝a(x－1)2＋2. 整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，∴a＋2＝4，∴a＝2. ∴函数解析式为y＝2x2－4x＋4. (3)设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)， 整理得y＝ax2－6ax＋8a，∴8a＝3，∴a＝. ∴函数解析式为y＝(x－2)(x－4). 知识点二　一元二次函数的图象及应用 [例2] 已知一元二次函数y＝2x2－4x－6. (1)确定此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图象； (2)求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积； (3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0? 解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8. ∵a＝2>0，∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8). 列表： x －1 0 1 2 3 y 0 －6 －8 －6 0 描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示． (2)由图象得函数图象与x轴的交点坐标为A(－1，0)，B(3，0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6). ∴S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12. (3)由函数图象知，当x<－1或x>3时，y>0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1<x<3时，y<0. 一元二次函数及图象应用的关注点 (1)由解析式可确定图象形状及位置． (2)结合图象形状及位置通过特殊点可画图象． (3)结合图象解决相关问题． [练2] (1)(多选)对于函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法正确的是(　　) A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴为直线x＝－3 C.函数有最大值1 D．当x<3时，y随x的增大而减小 (2)已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) (1)AD　(2)D　解析：(1)对于选项A，因为x2的系数为2，所以其图象开口向上，所以该选项正确；对于选项B，其图象的对称轴为直线x＝3，所以该选项错误；对于选项C，函数有最小值1，所以该选项错误；对于选项D，当x<3时，y随x的增大而减小，所以该选项正确．故选AD. (2)∵a>b>c，且a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.故选D. 知识点三　一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与一元二次函数y＝ax2的图象的形状一样吗？后者经过怎样的变换才能得到前者的图象呢？ 1．抛物线 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线． 2．一元二次函数的图象变换 一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度，再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到． (1)“a”决定了函数图象的开口大小及方向； (2)“h”决定了函数图象的左、右平移，而且“h正右移，h负左移”； (3)“k”决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”． [例3] 抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2经过以下哪种变换得到的(　　) A．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度 B　解析：因为抛物线y＝2(x－1)2＋3的顶点坐标为(1，3)，抛物线y＝2x2的顶点坐标为(0，0)，所以抛物线y＝2(x－1)2＋3可以看作是由抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．故选B. 一元二次函数图象平移问题的解题策略 (1)要注意平移的方向，即由哪个函数图象变换到另一个函数图象； (2)将函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式； (3)判定h与k的正负，利用“左加右减，上加下减”的规则判定平移的方向和大小． [练3] (1)若想得到函数y＝－3(x－2)2＋1的图象，应将函数y＝－3x2的图象(　　) A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 (2)将抛物线y＝x2－6x＋21的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为(　　) A．y＝(x－8)2＋5 B．y＝(x－4)2＋5 C．y＝(x－8)2＋3 D．y＝(x－4)2＋3 (1)C　(2)B　解析：(1)根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的规则，要得到函数y＝－3(x－2)2＋1的图象， 只需将函数y＝－3x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，选项C正确．故选C. (2)抛物线y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，它的顶点坐标是(6，3).将其向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标为(4，5)，所以新抛物线的解析式是y＝(x－4)2＋5.故选B. 1．知识清单 (1)一元二次函数的定义及其图象； (2)一元二次函数的图象及其应用； (3)函数图象的平移变换． 2．方法归纳：方程思想、待定系数法、数形结合思想． 3．常见误区：一元二次函数的最值与其开口方向的关系易出错． ◎随堂演练 1．函数y＝4－x(x－2)图象的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　) A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1 C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5 B　解析：y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，∴函数图象的顶点坐标为(1，5)，对称轴为直线x＝1.故选B. 2．已知函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A(－1，7)，则a，b的值分别是(　　) A．2，4 B．－2，4 C．2，－4 D．－2，－4 C　解析：由题意，可得解得故选C. 3．将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为(　　) A．y＝(x＋2)2＋4 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋4 D．y＝(x＋2)2－2 D　解析：∵一元二次函数的解析式为y＝x2＋1， ∴顶点坐标为(0，1).将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为(－2，－2)，可设新函数的解析式为y＝(x－h)2＋k，代入新的顶点坐标得y＝(x＋2)2－2.故选D. 4．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是 ． 答案：10　解析：y＝－x2＋4x＋6＝－(x－2)2＋10，当x＝2时，y取得最大值10. 学科网（北京）股份有限公司 $$