第1章 3.1 不等式的性质（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 [对应学生用书P23] 学习目标 1.理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质． 2．能利用不等式的性质比较大小或证明不等式． 知识点一　实数大小比较的基本事实 在初中数学中，可以借助于数轴比较任意两个实数的大小，对于含有未知数的代数式如何比较大小？其依据是什么？ 实数大小比较的基本事实 a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b. 从基本事实可知：比较两个实数或代数式的大小，只需比较它们的差与0的大小即可． [例1] 比较下列各式的大小： (1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小； (2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 因为x≤1，所以x－1≤0，3x2＋1＞0， 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1. (2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0， 所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2， 当且仅当x＝y＝，z＝1时，等号成立． 作差法比较大小的步骤 (1)作差：将待比较大小的两个实数或代数式作差； (2)变形：将差式因式分解化为因式的积或配方转化为几个非负实数之和； (3)判号：依据题设条件判断差式的符号； (4)定论：依据符号得出结论． [练1] 若x＜y，设M＝x2＋2y2，N＝2xy＋2y－1，则(　　) A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N A　解析：M－N＝x2＋2y2－(2xy＋2y－1)＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋(y－1)2. 因为x＜y，所以(x－y)2＞0，(y－1)2≥0， 所以M－N＞0，即M＞N.故选A. 知识点二　不等式的性质 在初中数学中，我们学习过不等式以及不等式的性质，不等式有哪些性质呢？ 性质1(传递性)：如果a>b，且b>c，那么a＞c. 性质2(可加性)：如果a>b，那么a＋c＞b＋c. 性质3(可乘性)：(1)如果a>b，c＞0，那么ac＞bc； (2)如果a>b，c＜0，那么ac＜bc. 性质4(同向可加性)：如果a>b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 性质5(同向同正可乘性，可乘方性)：(1)如果a>b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； (2)如果a>b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd. 特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6(可开方性)：当a>b＞0时，＞，其中n∈N＋，n≥2. “不等式的性质”一定要注意成立的前提条件；另外要关注“箭头”是单向还是双向． [例2] (1)(2024·宝鸡高一期末检测)若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ab>ac B．ac>bc C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2 (2)下列命题中，正确的是(　　) A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＜b C．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D．若＜，则a＜b (1)A　(2)D　解析：(1)因为a>b>c，且a＋b＋c＝0， 所以a>0，c<0，所以ab>ac，故A正确； B选项，ac－bc＝c(a－b)<0，即ac<bc，故B错误； C选项，当b＝0时，a|b|＝c|b|，故C错误； D选项，当a＝1，b＝0，c＝－1时，a2＝c2>b2，故D错误． 故选A. (2)选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确．选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b；当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确．选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确．选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质，显然有a＜b成立，故D正确．故选D. 利用不等式的性质判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则，一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [练2] (1)若a>b，则一定有(　　) A．ac>bc B．a2>b2 C．< D．a＋c>b＋c (2)若a，b，c∈R且a>b>c，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a－b>b－c B．a＋b>2c C．ac>bc D．a2>b2>c2 (1)D　(2)B　解析：(1)A选项，ac－bc＝c(a－b)，仅当c>0时，ac－bc>0，即ac>bc，错误； B选项，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，仅当a＋b>0时，a2－b2>0，即a2>b2，错误； C选项，－＝，仅当ab>0时，－<0， 即<，错误； D选项，(a＋c)－(b＋c)＝a－b>0，故a＋c>b＋c，正确．故选D. (2)对于A，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a－b＝1，b－c＝1，所以A不正确； 对于B，因为a>b>c，所以a>c，b>c，所以由不等式的同向可加性知，a＋b>2c，所以B正确； 对于C，令a＝2，b＝1，c＝0，所以ac＝bc＝0，所以C不正确； 对于D，令a＝1，b＝0，c＝－1，所以a2＝1，b2＝0，c2＝1，所以D不正确． 故选B. 知识点三　不等式的性质的应用 角度1：利用不等式的性质证明不等式 [例3] 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0. 求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. 两边同乘，得＜. 又∵e＜0，∴＞. [变式探究] 本例条件不变，求证：＞. 证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. ∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又∵e＜0，∴＞. 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； (2)注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 角度2：用不等式的性质求代数式的取值范围 [例4] 已知1＜a＜3，2＜b＜5，试求下列各式的取值范围： (1)3a＋b； (2)2a－3b＋1. 解：(1)∵1＜a＜3，2＜b＜5，∴3＜3a＜9， ∴5＜3a＋b＜14，即3a＋b的取值范围为(5，14). (2)∵1＜a＜3，∴2＜2a＜6. ∵2＜b＜5，∴－15＜－3b＜－6，∴－12＜2a－3b＋1＜1， 即2a－3b＋1的取值范围为(－12，1). 利用不等式的性质求取值范围的步骤 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系； (2)利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； (3)注意解题过程中尽量减少使用不等式性质的次数． [练3] 若－1＜a＋b＜3，2＜a－b＜4，求2a＋3b的取值范围． 解：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b， 则解得 因为－＜(a＋b)＜，－2＜－(a－b)＜－1， 所以－＜(a＋b)－(a－b)＜， 即－＜2a＋3b＜， 所以2a＋3b的取值范围是(－，). 1．知识清单 (1)实数比较大小的基本事实； (2)不等式的性质； (3)不等式性质的应用． 2．方法归纳：配方法、因式分解、特例法、数学运算． 3．常见误区：忽略不等式性质成立的条件． ◎随堂演练 1．若x∈R，y∈R，则(　　) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1 A　解析：因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1.故选A. 2．若a＞b>0，c＞d>0，则一定有(　　) A．> B．< C．> D．< C　解析：不妨令a＝3，b＝1，c＝1，d＝， 则＝3，＝3，∴A，B不正确； ＝9，＝1，∴D不正确． 故选C. 3．设x，y∈R，则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由x<3，y<3，可得x＋y<6， 当x＝5，y＝－1时，满足x＋y<6，但不满足x<3，y<3， 则“x<3，y<3”是“x＋y<6”的充分不必要条件， 故选A. 4．已知1<a<3，－2<b<1，则a＋2b的取值范围是 ． 答案：(－3，5)　解析：∵－2<b<1，∴－4<2b<2. ∵1<a<3，∴－3<a＋2b<5. 学科网（北京）股份有限公司 $$