第1章 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 [对应学生用书P21] 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定． 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 在初中数学中我们学习了命题的否定，全称量词命题的否定是怎样的？ 全称量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题； (2)对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)． “全称量词命题”的否定是量词变为存在，同时否定结论，因此变成了存在量词命题． [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R，1－(x－)2≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身． 解：(1)该命题的否定为“∃x∈R，1－(x－)2＞1”． 因为∀x∈R，(x－)2≥0，所以－(x－)2≤0，1－(x－)2≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定为“至少存在一个x∈Z，x2的个位数字等于3”．因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题． (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定为“有的正数的绝对值不是它本身”．这是一个假命题． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [练1] (1)命题“∀x>1，x2－m>1”的否定是(　　) A．∃x>1，x2－m≤1 B．∃x≤1，x2－m≤1 C．∀x>1，x2－m≤1 D．∀x≤1，x2－m≤1 (2)命题“∀x>0，ln x≥1－”的否定是(　　) A．∃x>0，ln x<1－ B．∃x>0，ln x≥1－ C．∃x≤0，ln x<1－ D．∃x≤0，ln x≥1－ (1)A　(2)A　解析：(1)命题“∀x>1，x2－m>1”为全称量词命题，其否定为“∃x>1，x2－m≤1”．故选A. (2)命题“∀x>0，ln x≥1－”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x>0，ln x<1－”．故选A. 知识点二　存在量词命题的否定 前面我们学习了全称量词命题的否定，存在量词命题的否定是怎样的？ 存在量词命题的否定 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题； (2)对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x)． “存在量词”的否定为全称量词，因此存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断否命题的真假： (1)某些平行四边形是菱形； (2)∃x∈R，x2＋1＜0； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)该命题的否定为“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题． (2)该命题的否定为“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题． (3)该命题的否定为“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．假命题． 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [练2] (1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0 C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0 (2)(2024·南昌高一期末检测)设m∈R，命题“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是(　　) A．∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根 B．∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根 C．∀m<0，方程x2＋x－m＝0无实数根 D．∀m<0，方程x2＋x－m＝0有实数根 (1)C　(2)A　解析：(1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，故选C. (2)由存在量词命题的否定是全称量词命题，知“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是“∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根”． 故选A. 知识点三　根据命题的真假求参数的取值范围 [例3] 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0为假命题，求实数a的取值范围． 解：由题意可知，p的否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解， 即a＝0，或故a≤1. 故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 由含量词命题的真假求参数范围的思路 (1)注意p与p的否定只能一真一假，解决问题时可以相互转化． (2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题． [练3] 已知命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题“∃x≥3，使得2x－1＜m”是假命题，所以其否定“∀x≥3，2x－1≥m”为真命题，所以m≤(2x－1)min，因为x≥3，所以2x－1≥5，所以m≤5. 1．知识清单 (1)全称量词命题的否定及其真假的判断； (2)存在量词命题的否定及其真假的判断； (3)根据命题的真假求参数的取值范围． 2．方法归纳：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区：命题的否定与否命题是不同的． ◎随堂演练 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2＜0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 C　解析：对于全称量词命题的否定，要将命题中“∀”变为“∃”，则命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C. 2．(2023·防城港高一期末检测)命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2－2x＋2≥0 B．∃x∈R，x2－2x＋2>0 C．∀x∈R，x2－2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2－2x＋2>0 D　解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2>0”．故选D. 3．下列命题正确的个数是(　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”． A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C. 4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是 ． 答案：{a|a≥1}　解析：∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$