第1章 2.2 第1课时 全称量词命题与存在量词命题（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

2．2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 [对应学生用书P18] 学习目标 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 知识点一　全称量词命题与全称量词 语句“x≤2”与语句“对任意的x∈R，x≤2”有什么区别？ 1．全称量词命题 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题． 2．全称量词 在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”． (1)“全称量词命题”可以包含多个变量，如“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”； (2)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． [例1] (1)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．每一个二次函数的图象都是开口向上的 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b D．存在一个实数x，使得x2－3x＋6＝0 (2)(多选)下列命题是全称量词命题的是(　　) A．任何实数都有平方根 B．所有素数都是奇数 C．有些一元二次方程无实数根 D．三角形的内角和是180° (1)C　(2)ABD　解析：(1)A选项是全称量词命题，二次函数的图象有开口向上的，也有开口向下的，A是假命题，不符合题意；B选项是存在量词命题，不符合题意；C选项是全称量词命题，对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b＋c≤b，即a≤b，C是真命题，符合题意；D选项是存在量词命题，不符合题意．故选C. (2)根据全称量词命题的定义可得，选项ABD中的命题指的是全体对象具有某种性质，故选项ABD是全称量词命题，选项C中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称量词命题．故选ABD. 全称量词命题真假的判断思路 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立； (2)要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的举出一个反例). [练1] (1)下列命题是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．所有菱形的四条边都相等 B．若2x是偶数，则存在x，使得x∈N C．任意x∈R，(x＋1)2>0 D．π是无理数 (2)将“方程x2＋1＝0无实数根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成 ． (1)A　(2)∀x∈R，x2＋1≠0　解析：(1)选项A，C是全称量词命题，选项C，当x＝－1时，(x＋1)2＝0，所以选项C是假命题．故选A. (2)由已知，“方程x2＋1＝0无实数根”是全称量词命题，故可改写为∀x∈R，x2＋1≠0. 知识点二　存在量词命题与存在量词 语句“2x－1≤1”与语句“存在一个x∈R，使2x－1≤1”有什么区别？ 1．存在量词命题 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题． 2．存在量词 在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”． (1)“存在量词命题”可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”； (2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． [例2] (1)下列命题是存在量词命题的是(　　) A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 (2)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． ①所有的实数a，b，使方程ax＋b＝0恰有唯一解； ②存在实数x，使＝. (1)D　解析：根据全称量词命题和存在量词命题的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有平行四边形的性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任何”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，故其为存在量词命题． 故选D. (2)解：①该命题是全称量词命题． 当a＝0，b＝0时方程有无数解，故该命题为假命题． ②该命题是存在量词命题． ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， ∴≤<. 故该命题是假命题． 存在量词命题真假的判断思路 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题． [练2] 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： (1)∃x∈Q，x2＝3； (2)每一个三角形的内角和都是180°； (3)钝角三角形有的高在三角形外部； (4)对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0. 解：(1)存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数．因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题． (2)全称量词命题．由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题． (3)存在量词命题．钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题． (4)全称量词命题．a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以该命题是假命题． 知识点三　由含量词的命题的真假求参数的取值范围 [例3] 若命题“任意x∈R，使x2>a”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≤0} B．{a|a＜0} C．{a|a≥0} D．{a|a＞0} B　解析：由于任意x∈R，都有x2≥0，故要使命题“任意x∈R，使x2>a”为真命题，需有a＜0.故选B. 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围的方法 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围； (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，一元二次方程相关问题可借助根的判别式等知识解决. [练3] 已知命题p：“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立”是真命题，求实数m的取值范围． 解：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0成立⇔Δ＝12－4m≥0，解得m≤3. 1．知识清单 (1)全称量词、全称量词命题以及全称量词命题真假的判断； (2)存在量词、存在量词命题以及存在量词命题真假的判断； (3)利用含量词的命题的真假求参数的取值范围． 2．方法归纳：数形结合思想、方程思想． 3．常见误区：含量词的命题真假的判断要注意是全称量词还是存在量词． ◎随堂演练 1．下列命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：由定义知②③是全称量词命题．故选B. 2．将命题“(x－y)2≥0”改写成全称量词命题为(　　) A．对任意x，y∈R，都有(x－y)2≥0成立 B．存在x，y∈R，使(x－y)2≥0成立 C．对任意x＞0，y＞0，都有(x－y)2≥0成立 D．存在x＜0，y＜0，使(x－y)2≤0成立 A　解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称量词命题为对任意实数x，y，都有(x－y)2≥0成立．故选A. 3．(2024·上饶高一期中检测)若“∃x∈[1，3]，x2－2≤a”为真命题，则实数a的最小值为(　　) A．－2 B．－1 C．6 D．7 B　解析：当x∈[1，3]时，x2∈[1，9]，所以x2－2∈[－1，7].因为命题“∃x∈[1，3]，x2－2≤a”为真命题，所以a≥－1，实数a的最小值为－1.故选B. 4．下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘0都等于0；③有一个角α，使sin α＝；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数．其中是全称量词命题的为 ，是存在量词命题的为 ．(填序号) 答案：②④⑤　①③　解析：①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$