第1章 2.1 第1课时 必要条件与性质定理 充分条件与判定定理（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与性质定理　充分条件与判定定理 [对应学生用书P13] 学习目标 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2．通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 知识点一　必要条件与性质定理 在初中数学中，我们学习过一些性质定理，它反映了数学结论成立的一个什么条件？ 1．命题 (1)定义：可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题． (2)分类：判定为真的语句是真命题；判定为假的语句是假命题． (3)结构形式：“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． (4)当命题“若p，则q”是真命题时，就说由p推出q，记作p⇒q. 2．必要条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． p⇒q，称q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． [例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； (3)若＝，则x＝y； (4)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0. 解：(1)等腰梯形的两条对角线相等，因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)直角三角形不一定是等腰三角形，因此pq，所以q不是p的必要条件． (3)“若＝，则x＝y”是真命题，因此p⇒q，所以q是p的必要条件． (4)“若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a＞0”为假命题，因此p q，所以q不是p的必要条件． 必要条件的判断方法 [练1] 可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根的一个必要条件的是(　　) A．m＜ B．m＜ C．m＜－ D．m＜－ A　解析：因为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根，所以Δ＝b2－4ac＝1－4×1×m≥0，解得m≤.而m≤可以推出m＜，所以m＜可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数根的一个必要条件．故选A. 知识点二　充分条件与判定定理 在初中数学中，我们学习过一些判断定理，它反映了数学结论成立的一个什么条件？ 充分条件 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． (1)p⇒q，称p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p q，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． [例2] 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a＜b，则＜1； (3)若x，y∈R，|x|＝|y|，则x＝y； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC； (6)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD是菱形． 解：(1)由于QR，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． (2)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1.因此p q，所以p不是q的充分条件． (3)若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y，所以pq，所以p不是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，因此p q，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 [练2] 设x∈R，写出“x＞1”的一个充分条件： ． 答案：x＞2(答案不唯一)　解析：只要是集合{x|x＞1}的子集即可，如x＞2(答案不唯一). 知识点三　根据必要条件、充分条件求参数的取值范围 [例3] 已知全集U＝R，非空集合A＝{x|2＜x＜3a＋1}，B＝{x|a＜x＜a＋2}．记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 解：∵A≠∅，∴3a＋1＞2，即a＞. ∵q是p的必要条件，∴A⊆B， ∴解得a≤， 又a＞，∴＜a≤， 即实数a的取值范围是(，]. 利用充分(必要)条件确定参数的值(范围)的步骤 (1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}． (2)若p是q的充分条件，则M⊆N；若p是q的必要条件，则N⊆M. (3)根据集合的关系列不等式(组). (4)解不等式(组)得参数的值或范围． [练3] (1)已知不等式m－1＜x＜m＋1成立的充分条件是＜x＜，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＜－，或m＞} B．{m|m＜－，或m≥} C．{m|－＜m＜} D．{m|－≤m≤} (2)若“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 ． (1)D　(2)－1　解析：(1)由题意得(，)⊆(m－1，m＋1)， 所以且等号不能同时成立， 解得－≤m≤.故选D. (2)令A＝{x|x≤－1，或x≥1}，B＝{x|x＜a}．因为“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集，所以a≤－1， 所以实数a的最大值为－1. 1．知识清单 (1)必要条件与性质定理； (2)充分条件与判定定理； (3)由必要条件或充分条件求参数值(或范围). 2．方法归纳：数学抽象、转化与化归思想． 3．常见误区：充分条件与必要条件的定义易混． ◎随堂演练 1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 A　解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立．所以“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A. 2．(2024·上饶高一期末检测)已知a是实数，则“a>0”是“a＝5”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为a是实数， 当a>0时，a可能为5，也可能不为5，故a>0不是a＝5的充分条件； 当a＝5时，必有a>0，故a>0是a＝5的必要条件． 所以“a>0”是“a＝5”的必要不充分条件．故选B. 3．若p：a∈M∪N，q：a∈M，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由a∈M∪N a∈M，但a∈M⇒a∈M∪N，即p q，但q⇒p.故选B. 4．设集合M＝{x|0＜x≤2}，N＝{x|0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的 条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分　解析：由题意得，M∪N＝N，所以“a∈M”⇒“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$