第1章 1.3 第2课时 全集与补集（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　全集与补集 [对应学生用书P11] 学习目标 1.在具体情境中，了解全集的含义． 2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集． 3．能使用Venn图表示集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　补集的概念 前面我们学习了集合的交、并集运算，那么集合还有什么运算呢？ 1．全集：在研究集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，用符号“U”表示． 2．(1)定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA. (2)符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． (3)Venn图 3．补集的性质 (1)A∪(∁UA)＝U； (2)A∩(∁UA)＝∅； (3)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A； (4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B). “补集”是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． [例1] (1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，则集合A＝{x|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　) A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2} (2)设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　) A．{0，2，4，6} B．{0，2，4} C．{6} D．∅ (1)C　(2)A　解析：(1)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x|0＜x≤2}．故选C. (2)因为M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，所以U＝M∪(∁UM)＝{0，2，4}∪{6}＝{0，2，4，6}．故选A. 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． [练1] (1)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x≤1}，则∁UA＝(　　) A．(－1，1] B．(－∞，－1)∪[0，＋∞) C．[－1，1] D．(－∞，－1]∪(1，＋∞) (2)已知全集A＝{x|1≤x＜6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝(　　) A．{x|x≥5} B．{x|x≤1，或x≥5} C．{x|x＝1，或5＜x≤6} D．{x|x＝1，或5≤x≤6} (1)D　(2)D　解析：(1)因为全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x≤1}，所以∁UA＝(－∞，－1]∪(1，＋∞).故选D. (2)因为全集A＝{x|1≤x＜6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，所以∁AB＝{x|x＝1，或5≤x≤6}．故选D. 知识点二　交集、并集、补集的综合运算 [例2] (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪(∁UN)＝(　　) A．{0，2，4，6，8} B．{0，1，4，6，8} C．{1，2，4，6，8} D．U (2)如图，设全集U＝R，M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．[1，2] B．[1，2) C．(1，2] D．(1，2) (1)A　(2)C　解析：(1)由题意可得∁UN＝{2，4，8}，则M∪(∁UN)＝{0，2，4，6，8}．故选A. (2)阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)，∵M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，∴M∪N＝(－∞，1]∪(2，＋∞).又全集U＝R，∴∁U(M∪N)＝(1，2].故选C. 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)若所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)若所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交集、并集、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． [练2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}． (1)求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)； (2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B). 解：(1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}． (2)∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或2＜x≤4}． 知识点三　补集的综合应用 [例3] 设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围． 解：由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}． 因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，如图所示， 所以－m≤－2，即m≥2， 所以实数m的取值范围是{m|m≥2}． 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解； (2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题，一般利用数轴分析求解． [练3] (1)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝ ． (2)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是 ． 答案：(1)2　(2){a|a≥2}　解析：(1)∵A∪(∁UA)＝U，且A∩(∁UA)＝∅，∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2. (2)因为∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，观察∁RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示，可知当a≥2时，A∪(∁RB)＝R. 1．知识清单 (1)全集的概念； (2)补集的概念及其应用； (3)交集、并集、补集的运算； (4)与集合运算有关的参数求值问题． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合思想、转化与化归． 3．常见误区：求补集时一定要注意全集． ◎随堂演练 1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　) A．∅ B．{1，3，5} C．{2，4} D．{0，1，3，5} D　解析：因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3，5}．故选D. 2．设全集U＝R，M＝{x|x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2＜x＜2} C．{x|x＜－2，或x＞2} D．{x|x≤－2，或x≥2} A　解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．故选A. 3．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　) A．{0} B．{1} C．∅ D．{0，1} D　解析：因为U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，所以由补集的定义可知，A＝{0，1}．故选D. 4．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)＝(　　) A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5} B　解析：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝{2，3}．∵U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∩B)＝{1，4，5}．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$