第1章 1.3 第1课时 交集与并集（Word教参）-【优化指导】2024-2025学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

1．3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 [对应学生用书P9] 学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集． 2．能使用Venn图表示集合的并集与交集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　交集 已知集合A＝{2，4，6，8}，B＝{3，5，8}，C＝{8}，那么集合C与集合A，B有什么关系？ 文字语言 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A， A∩∅＝∅∩A＝∅， A∩B⊆A，A∩B⊆B， A⊆B⇔A∩B＝A [例1] (1)(2024·防城港高一期末检测)设集合A＝{x|－2<x≤2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．(－2，2) B．{－2，2} C．{－1，0，1，2} D．{－2，－1，0，1} (2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} (1)C　(2)A　解析：(1)因为A＝{x|－2<x≤2}，B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1，2}．故选C. (2)在数轴上表示出集合A与B，如图所示，由交集的定义知，A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A. 求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； (2)对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的公共范围，要注意端点值的取舍． [练1] (1)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝(　　) A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{x|0<x≤2} (2)已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　　) A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1) C．{3，－1} D．{(3，－1)} (1)A　(2)D　解析：(1)因为A＝{1，2}，B＝{x|0<x<2}，所以A∩B＝{1}．故选A. (2)由得故M∩N＝{(3，－1)}．故选D. 知识点二　并集 已知集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2，3，4，5，6}，那么集合C与集合A，B有什么关系？ 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A， A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A⊆B⇔A∪B＝B [例2] (1)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x＜－5，或x＞－3} B．{x|－5＜x＜3} C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3，或x＞5} (2)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　) A．{2} B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} (1)A　(2)D　解析：(1)在数轴上表示出集合M，N(图略)，可知M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．故选A. (2)∵A∩C＝{－1，1，2，3，5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1，2}， ∴(A∩C)∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}．故选D. 求集合并集的2种基本方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解； (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的，由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解． [练2] (1)设集合S＝{x|x＜－1，或x＞5}，T＝{x|a＜x＜a＋8}，若S∪T＝R，则实数a应满足(　　) A．－3＜a＜－1 B．－3≤a≤－1 C．a≤－3，或a＞－1 D．a＜－3，或a＞－1 (2)已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 (1)A　(2)C　解析：(1)在数轴上表示集合S，因为S∪T＝R，所以由数轴可得解得－3＜a＜－1.故选A. (2)依题意，可知满足M∪N＝{0，1，2}的集合N有{2}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共4个．故选C. 知识点三　由集合的交集、并集求参数 [例3] 集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}． (1)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围． 解：(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B＝∅，如图①所示，数轴上点x＝a在点x＝－1左侧，且包含点x＝－1，∴a的取值范围是{a|a≤－1}． (2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，如图②所示，数轴上点x＝a在点x＝－1和点x＝1之间，不包含点x＝－1，但包含点x＝1.∴a的取值范围是{a|－1＜a≤1}． 利用交、并集运算求参数的思路 (1)涉及A∩B＝B或A∪B＝A的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解，要注意空集的特殊性． (2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中元素的互异性；与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系． [练3] (1)设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∪N＝M，则实数t的取值范围为 ． (2)若集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，A∩B＝{9}，则x＝ ． 答案：(1){t|t≤2}　(2)－3　解析：(1)由M∪N＝M得N⊆M，当N＝∅时，2t＋1≤2－t，即t≤，此时M∪N＝M成立； 当N≠∅时，如图所示，由数轴可得 解得＜t≤2. 综上所述，实数t的取值范围是{t|t≤2}． (2)由A∩B＝{9}可知9∈A，则x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或x＝5. ①当x＝3时，x－5＝1－x＝－2，集合B中元素不满足互异性，故舍去x＝3； ②当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，满足题意； ③当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾，故舍去x＝5. 综上所述，x＝－3. 1．知识清单 (1)交集的定义及其应用； (2)并集的定义及其应用； (3)与交集、并集的运算有关的参数求值． 2．方法归纳：分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想． 3．常见误区 (1)M∪N＝M⇔N⊆M； (2)M∩N＝M⇔M⊆N. ◎随堂演练 1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{2} C．{1，2} D．{0，1，2} B　解析：∵集合A＝{x|x＞1}，B＝{0，1，2}， ∴A∩B＝{2}．故选B. 2．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝(　　) A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1} C　解析：在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．故选C. 3．已知集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}，则集合A∩B＝(　　) A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1} B　解析：∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{－2，－1，0，1，2}， ∴A∩B＝{－1，0}．故选B. 4．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝ ． 答案：{1，3}　解析：∵A∩B＝{1}，∴1∈B， ∴1是方程x2－4x＋m＝0的根， ∴1－4＋m＝0，∴m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1，3}． 学科网（北京）股份有限公司 $$