第二章 对称图形——圆（单元检测卷，提优）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第二章 圆章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．40° C．35° D．50° 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠DAB＝∠ADB＝15°，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 3．下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，弦BD∥OA，连接CD．若∠OCD＝25°，⊙O的半径是9，则的长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A． B． C． D．1 6．如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　 　． 10．如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　 　.（结果保留π） 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，若∠CAD＝60°，AB＝2，则AD的长为 　 　． 12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝　 　°． 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE，则∠AEC＝　 　． 14．如图，以菱形ABCD的顶点B为圆心，边长AB为半径作圆，经过顶点D，点E、F分别在弧AD、弧DC上，且∠EBF＝60°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　. 15．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　°． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，以点C为圆心，r为半径作圆，在△ABC的边上取一点D，过点D作⊙C的切线，切点记为Q．若DQ，且满足条件的D点恰有3个，则r的取值应满足的条件为 　 　． 17．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则EO的最小值为 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 　 　，t的最大值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点B，D，与边BC，CD分别相交于点E，F． （1）若AB与⊙O相切，求证：AD与⊙O相切； （2）求证：BE＝DF． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，则阴影部分的面积？ 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝35°． （Ⅰ）如图①，若AD＝BD，求∠ABC和∠ABD的度数； （Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数． 22．（8分）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径． 23．（8分）如图，AB是⊙O为直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线与线段AC交于点E，且DE＝CE． （1）猜想直线DE与⊙O的位置关系，并证明； （2）若⊙O的半径是3，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长． 26．（8分）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD． （1）求证：BD＝CD； （2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．40° C．35° D．50° 【分析】如图，连接OD，BD．利用圆周角定理求出∠DOB，再求出∠OBD＝20°，可得结论． 【解答】解：如图，连接OD，BD． ∵， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠DOB＝2∠DEB＝140°， ∴∠OBD＝∠ODB＝20°， ∴∠ABC＝2∠OBD＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 2．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，若∠DAB＝∠ADB＝15°，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝15°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【解答】解：连接OA，OB， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上， ∵∠ADB＝15°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝30°， ∴这个正多边形的边数12， 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键． 3．下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； ④半圆是弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答． 【解答】解：①、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误． ②、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误． ③、对称轴是直线，而直径是线段，故错误． ④、正确． 故选：C． 【点评】注意：在同圆中相等的圆心角所对的弧相等．图形中的错误是经常出现的问题，需要注意． 4．如图，AB与⊙O相切于点B，连接OA交⊙O于点C，弦BD∥OA，连接CD．若∠OCD＝25°，⊙O的半径是9，则的长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【分析】如图，连接OB，OD，根据切线的性质得到AB⊥OB，求得∠ABO＝90°，根据平行线的性质得到∠CDB＝25°，得到∠BOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，根据弧长的公式即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OB，OD， ∵AB切⊙O于点B， ∴AB⊥OB， ∴∠ABO＝90°， ∵BD∥OA，∠OCD＝25°， ∴∠CDB＝20°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝50°， ∴∠OBD＝∠BOC＝50°， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD＝50°， ∴∠BOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∵OB＝9， ∴的长4π； 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质，弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A． B． C． D．1 【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODB＝90°，根据圆周角定理得到∠CDE＝90°，再证明△ABD≌△EOD得到S△ABD＝S△EOD，然后利用S△EODS△CDE得到S△ABDS△CDE． 【解答】解：连接OD，如图， ∵BD为⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥BD， ∴∠ODB＝90°， ∵CE为直径， ∴∠CDE＝90°， ∵∠ADB+∠BDE＝90°，∠ODE+∠BDE＝90°， ∴∠ADB＝∠ODE， ∵∠ABD+∠OBD＝90°，∠DOE+∠OBD＝90°， ∴∠ABD＝∠DOE， 在△ABD和△EOD中， ， ∴△ABD≌△EOD（ASA）， ∴S△ABD＝S△EOD， ∵OECE， ∴S△EODS△CDE， ∴S△ABDS△CDE． 故选：B． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和全等三角形的判定与性质． 6．如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC＝30°，OA＝2，阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，CO，通过“同旁内角互补，两直线平行”得出AC∥OB，进而得出△ABC的面积等于△AOC的面积，所以可得出阴影部分的面积与扇形AOC的面积相等，据此可解决问题． 【解答】解：连接AC，CO， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝60°． 又∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠CAO＝60°． 又∵∠AOB＝120°， ∴∠CAO+∠AOB＝180°， ∴AC∥OB， ∴S△ABC＝S△AOC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，通过平行线将阴影部分的面积转化为扇形OAC的面积及熟知扇形的面积公式是解题的关键． 7．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，已知I，J，K，L分别是边AH，BC，DE，FG上的动点，且满足IA＝JC＝KE＝LG，则四边形IJKL面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】易得四边形IJKL为正方形，得到四边形IJKL的面积为 IJ2，进而得到当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大，即IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大，即可得解． 【解答】解：连接ⅠK，JL， ∵正八边形，IA＝JC＝KE＝LG， ∴IJ＝JK＝KL＝LI，IK＝JL， ∴四边形IJKL为正方形， ∴四边形IJKL的面积为IJ2， 当IJ最大时，四边形IJKL的面积最大， ∴IJ＝AC即为正八边形的对角线时，四边形IJKG的面积最大， 如图，连接AE，CG交于点O，连接OB，交AC于点M， 则△AOC为等腰直角三角形，O为正八边形的中心， ∴OC＝OB＝OA，OB垂直平分AC， ∴， 设OM＝AM＝x， 则， ∴， 在Rt△AMB 中，AB2＝BM2+AM2， 即 ， 解得： （负值不合题意，舍去）， ∴， ∴四边形IJKL的最大面积为， 故选：A． 【点评】本题考查正多边形的性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．本题的难度较大，熟练掌握相关性质，求出正八边形的边长是解题的关键． 8．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半）， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故选：B． 【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO的延长线交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的大小是 　35°　． 【分析】如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出∠AOB＝125°，再由切线长定理得到BD＝BE，进而推出OB是DE的垂直平分线，即∠OHF＝90°，则∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°． 【解答】解：如图所示，连接OE，OD，OB，设OB、DE交于H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线， ∴， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠ACB＝110°， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝125°， ∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， 又∵OD＝OE， ∴OB是DE的垂直平分线， ∴OB⊥DE，即∠OHF＝90°， ∴∠AFD＝∠AOH﹣∠OHF＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10．如图，正八边形ABCDEFGH和正六边形GHIJKL的边长均为6，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 　　.（结果保留π） 【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，六边形GHIJKL是正六边形， ∴∠AHG135°，∠IHG120°， ∴∠AHI＝360°﹣135°﹣120°＝105°， ∴S阴影部分． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，若∠CAD＝60°，AB＝2，则AD的长为 　　． 【分析】根据圆周角定理得∠ADC＝∠ABC＝90°，根据角平分线的定义得∠ADB＝∠CDB∠ADC＝45°，所以，AB＝BC，△ABC是等腰直角三角形，可得AC＝2，求出∠ACD＝30°，根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半即可得出答案． 【解答】解：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB∠ADC＝45°， ∴， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴ACAB＝2， ∵∠CAD＝60°， ∴∠ACD＝30°， ∴ADAC． 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理，角平分线定义，圆心角、弧、弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键． 12．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝　130　°． 【分析】根据圆周角定理即可得到结论． 【解答】解：连接OC， ∵∠A＝25°， ∴∠BOC＝50°， ∵BO∥CD， ∴∠OCD＝50°， ∵OC＝OD， ∴∠COD＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴∠BOD＝80°+50°＝130°， 故答案为：130 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE，则∠AEC＝　60°　． 【分析】设CD垂直平分OB于点F，连接AD，根据可知∠OCF＝30°，则∠COB＝60°，进而求出∠AOC＝120°，推出，根据圆周角定理求出∠AEC＝60°． 【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB， ∴， ∴， ∴∠OCF＝30°， ∴∠COB＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴， ∴∠AEC＝∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，解直角三角形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 14．如图，以菱形ABCD的顶点B为圆心，边长AB为半径作圆，经过顶点D，点E、F分别在弧AD、弧DC上，且∠EBF＝60°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 　4　. 【分析】根据菱形的性质，正三角形的判断和性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝DB＝BE＝FB＝CB， ∴△ABD，△BCD是正三角形， ∴∠ABD＝60°＝∠EBF，即∠ABE+∠DBE＝∠DBF+∠DBE， ∴∠AOE＝∠DBF， S阴影部分＝S扇形ABD﹣S△ABD 4×（4） 4． 故答案为：4． 【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法，菱形的性质以及正三角形的判断和性质是正确解答的关键． 15．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　90　°． 【分析】根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【解答】∵AB是圆的直径， ∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°， ∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆， ∴， 故答案为：90． 【点评】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，以点C为圆心，r为半径作圆，在△ABC的边上取一点D，过点D作⊙C的切线，切点记为Q．若DQ，且满足条件的D点恰有3个，则r的取值应满足的条件为 　r或　． 【分析】第一步，根据题目，我们知道 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，．第二步，分情况讨论D点的情况． 【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8， ． 作CE⊥AB于E， CE， ①当0＜CD时， 存在2个D（AC、BC上各一个） ②当CD时， 存在3个D， r； ③当， 存在4个D， ④当CD＝6时， 存在3个D， r； ⑤当6＜CD＜8时， 存在2个D， ⑥当CD＝8时， 存在1个D， ⑦当CD＞8时， 存在0个D， 综上，r或． 故答案为：r或． 【点评】本题主要考了圆的切线性质和勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则EO的最小值为 　1　． 【分析】首先证明△ACD是等边三角形，再证明AE⊥CE，求出OF，EF，可得结论． 【解答】解：连接OA和OB，作OF⊥AB．连接AE，EF． 由题知：沿着弦AB折叠，正好经过圆心O， ∴OFOAOB， ∴∠AOF＝∠BOF＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠ACB＝120°， ∠D∠AOB＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∵E是CD中点， ∴AE⊥BD， 又∵OF⊥AB， ∴F是AB中点， 即，EF是△ABE斜边中线， ∴AF＝EF＝BF， 即，E点在以AB为直径的圆上运动． 所以，当E、O、F在同一直线时，OE长度最， 此时，AE＝EF，AE⊥EF， ∵⊙O的半径是2，即OA＝2，OF＝1， ∴AF（勾股定理）， ∴OE＝EF﹣OF＝AF﹣OF1． 故答案为：1． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以点D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值为 　4　，t的最大值为 　6　． 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系解得t的最大值与最小值，进而确定t的取值范围． 【解答】解：连接AP， 由题意，得：AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t， ∴AB＝AC， ∵∠BPC＝90°， ∴APAB＝t， t要最大，就是点A到⊙O上的一点的距离最大， ∴P在AD的延长线上， ∵A（0，1），D（4，4）， ∴AD， ∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4， ∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6， 故答案为：4；6． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，⊙O经过菱形ABCD的顶点B，D，与边BC，CD分别相交于点E，F． （1）若AB与⊙O相切，求证：AD与⊙O相切； （2）求证：BE＝DF． 【分析】（1）连接OD、OB、AC，根据菱形的性质及全等三角形的判定与性质可得OD⊥AD，然后由切线的判定方法可得结论； （2）连接OE、OF，根据圆的性质及全等三角形的判定与性质可得结论． 【解答】证明：（1）连接OD、OB、AC， ∵⊙O经过菱形ABCD的顶点B，D， ∴AC过点O，AD＝DC＝BC＝AB，∠DAO＝∠BAO，∠DCO＝∠BCO， 在△AOD和△AOB中， ， ∴△AOD≌△AOB（SAS）， ∴∠ADO＝∠ABO， ∵AB与⊙O相切， ∴∠ADO＝∠ABO＝90°， ∵OD是半径， ∴AD与⊙O相切； （2）在△DOC和△BOC中， ， ∴△DOC≌△BOC（SAS）， ∴∠ODF＝∠OBE， ∵OD＝OF＝OB＝OE， ∴∠ODF＝∠OFD＝∠OBE＝∠OEB， ∴∠DOF＝∠BOE， ∴DF＝BE． 【点评】此题考查的切线的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若，则阴影部分的面积？ 【分析】（1）连接OD，AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据三角形中位线定理得到OD∥AC，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠B＝∠BDO＝30°，得到∠DOA＝60°，根据直角三角形的性质得到CD＝2，DECD，AEDE＝1，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OD，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OB＝OA， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC，∠C＝30°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠BDO＝30°， ∴∠DOA＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DEC＝∠AED＝90°， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∵CD＝2， ∴DECD， ∴AEDE＝1， ∴AD＝2AE＝2， ∵OA＝OD， ∴△ODA是等边三角形， ∴OA＝AD＝2， ∴阴影部分的面积＝△AOD的面积+△ADE的面积﹣扇形AOD的面积． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，扇形的面积的计算，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确地找出辅助线是解题的关键． 21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝35°． （Ⅰ）如图①，若AD＝BD，求∠ABC和∠ABD的度数； （Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数． 【分析】（Ⅰ）由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝∠ADB＝90°，而∠BAC＝35°，所以∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°；因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD＝45°； （Ⅱ）连接OD，则OD＝OC，由切线的性质得DP⊥OD，则∠ODP＝90°，由DP∥AC，得∠P＝∠BAC＝35°，则∠POD＝90°﹣∠P＝55°，而∠BOC＝2∠BAC＝70°，所以∠COD＝∠POD+∠BOC＝125°，则∠OCD＝∠ODC＝27.5°． 【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝35°， ∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠BAD（180°﹣90°）＝45°， ∴∠ABC和∠ABD的度数分别为55°和45°. （Ⅱ）如图②，连接OD，则OD＝OC， ∵DP与⊙O相切于点D， ∴DP⊥OD， ∴∠ODP＝90°， ∵DP∥AC， ∴∠P＝∠BAC＝35°， ∴∠POD＝90°﹣∠P＝90°﹣35°＝55°， ∵∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°， ∴∠COD＝∠POD+∠BOC＝55°+70°＝125°， ∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣125°）＝27.5°， ∴∠OCD的度数为27.5°． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的性质定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 22．（8分）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OE，根据切线的判定方法，只要证明OE⊥DE即可； （2）证出OD是△ABC的中位线，进而求出OD，再在直角三角形中利用勾股定理求出半径即可． 【解答】解：（1）如图，连接OE、OD， 在△AOD和△EOD中， ∵OA＝OE，DE＝DA，OD＝OD， ∴△AOD≌△EOD（SSS）， ∴∠OED＝∠BAC＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）∵△AOD≌△EOD， ∴∠AOD＝∠EOD， ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∵∠AOE＝∠B+∠OEB， ∴∠BEO＝∠EOD， ∴OD∥BC， 又∵AO＝BO， ∴， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， ， 即：⊙O的半径为． 【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法是解决问题的前提，转化到直角三角形中利用边角关系求解是常用的方法． 23．（8分）如图，AB是⊙O为直径，点D是⊙O上一点，过点A的切线与弦BD的延长线交于点C，过点D的直线与线段AC交于点E，且DE＝CE． （1）猜想直线DE与⊙O的位置关系，并证明； （2）若⊙O的半径是3，∠B＝30°，求阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明∠ODE＝90°，即可解决问题； （2）连接AD，OE，根据AB是⊙O为直径，可得∠ADB＝90°，然后证明△AOD是等边三角形，根据切线的性质证明OE是AD的垂直平分线，根据阴影部分的面积＝S四边形AODE﹣S扇形AOD，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切， 证明；如图，连接OD， ∴OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵CA切⊙O于点A， ∴OA⊥CA， ∴∠CAB＝90°， ∴∠C+∠B＝90°， ∵DE＝CE， ∴∠C＝∠EDC， ∴∠EDC+∠B＝90°， ∴∠EDC+∠ODB＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE是⊙O的切线； （2）如图，连接AD，OE， ∵AB是⊙O为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠DAB＝60°， ∵OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∵⊙O的半径是3， ∴AD＝OA＝3， ∵EA和ED是⊙O的切线， ∴OE是AD的垂直平分线，∠AOE＝30°， ∴OE32， ∴S四边形AODEAD•OE3×23， ∵S扇形AOD， ∴阴影部分的面积＝S四边形AODE﹣S扇形AOD＝3． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA＝OD，则∠ODA＝∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD＝∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF＝AE＝4cm，由垂径定理得：DF＝3，根据勾股定理求半径OD的长． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵DA平分∠BDE， ∴∠ODA＝∠EDA， ∴∠OAD＝∠EDA， ∴EC∥OA， ∵AE⊥CD， ∴OA⊥AE， ∵点A在⊙O上， ∴AE是⊙O的切线； （2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F， ∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°， ∴四边形AOFE是矩形， ∴OF＝AE＝4cm， 又∵OF⊥CD， ∴DFCD＝3cm， 在Rt△ODF中，OD5cm， 即⊙O的半径为5cm． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长． 【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵C是的中点， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：∵， ∴BC＝CD＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴AB10， ∴⊙O的半径为5， ∵S△ABCAB•CEBC•AC， ∴CE． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用． 26．（8分）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD． （1）求证：BD＝CD； （2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由． 【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明． （2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD＝∠CBD再等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而证明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴由垂径定理得： ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD． （2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 理由：由（1）知：， ∴∠1＝∠2， 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠4＝∠5， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． 由（1）知：BD＝CD ∴DB＝DE＝DC． ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 【点评】本题主要考查等弧对等弦，及确定一个圆的条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$