第二十三章 旋转（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第二十三章 旋转（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列现象属于旋转的是（    ） A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的定义是解题的关键；因此此题可根据旋转的定义“把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度”进行求解即可． 【详解】解：A、B、D选项都不符合旋转的定义，而C选项符合旋转的定义，故C选项属于旋转现象； 故选C． 2．下列图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 4．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 5．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 【答案】B 【分析】利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出是等边三角形是解题关键． 6．如图，在中，，，将斜边绕点顺时针旋转至，连接，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，旋转的性质，掌握证明三角形全等，得出边的长度是解题的关键．根据题意，过点作于（图示见详解），因为，即可求得，所以得到，则有，由此即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到， ∴，， 过点作于，如图所示， ∵，， ∴，， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 8．在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转并放大得到等腰，且，再将绕原点O顺时针旋转并放大得到，且，依此规律，得到等腰，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键． 根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律， ∴每4次循环一周，， ， ∴点与同在一个象限内， ， ， 故选：D． 9．如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算等知识，构造全等三角形是解题的关键．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，利用证明，得，当C、H、D三点共线时，最大，从而求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图1中，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴定值， ∵， ∴当D，C，H共线时，的值最大，如图2中， 设， ∵点C为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 10．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 【答案】A 【分析】据矩形长为宽为，可得矩形的对角线长为，由矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，可得该正方形的边长不小于，进而可得正方形边长的最小整数的值． 【详解】解：矩形长为宽为， 矩形的对角线长为：， 矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放， 该正方形的边长不小于， ， 该正方形边长的最小正数为． 故甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，； 乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长； 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 【答案】B点 【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心）是解题的关键． 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点，点即为旋转中心．    故答案为：点． 12．二次函数的图像关于原点中心对称的图像表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意，二次函数的对称轴为，顶点坐标为，根据关于原点中心对称即可得到答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为，过点 关于原点中心对称的图像表达式的对称轴为，顶点坐标为，开口向上 ， 故答案为：； 13．正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，则旋转角的度数最小是 ． 【答案】45 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】解：∵， ∴该图形绕中心至少旋转45度后能与自身重合． 故答案为：45 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，．将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，全等三角形的性质与判定；分别过点和点作轴的垂线，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ，． 又，， ，， ， 点的坐标为． 故答案为：． 15．如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【详解】解：过点A作于M，   是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 16．如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转可以证明，可得，根据垂线段最短，当时，最短，即最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 【详解】解：如图， 取的中点，连接， 线段绕点逆时针旋转得到， ， 又是等边三角形， ， 即， ， 是等边三角形的高， ， ， 又旋转到， ， ， ， 根据垂线段最短，当时，最短，即最短， 此时， ， ， ． 线段长度的最小值是． 故答案为： 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接． 求： (1)旋转角的度数________； (2)线段的长_________； (3)求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了旋转图形的性质、等边三角形的判定及性质，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由旋转的性质及等边三角形的性质得，从而可得解； （2）根据旋转的性质得，，从而为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可得解； （3）先由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由是等边三角形得，即可求得． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵绕点顺时针旋转后得到，，旋转用的度数为． 故答案为：； （2）解：∵绕点顺时针旋转后得到， ∴， 而 ∴为等边三角形； ∴． （3）解：∵为等边三角形， ∴ ∵绕点顺时针旋转后得到， ∴， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴ 18．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质及全等三角形的判定与性质． （1）依据题意画图即可； （2）由等边三角形的性质知，，由旋转的性质知，，从而得，再证可得答案； （3）由，知为等边三角形，即，继而由，得到，再利用即可得解． 【详解】（1）补全图形如下： （2）证明：是等边三角形， ，． 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，． ． ． 在和中， ， ． （3）解：如图， ，， 为等边三角形． ， ， ． ． 19．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， (3) 【分析】此题主要考查了平移，旋转的性质，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质． （1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）连接，相交于点D，即可判断出点D是旋转中心，由网格线即可得出点D的坐标； 【详解】（1）解：如图1，即为所画； （2）解：如图2，即为所画， 由图可知； （3）解：线段可以看成是线段绕着某个定点旋转后得到的图形， 点与点B是对应点，点与点A是对应点， 连接，相交于点D（定点）， 由图形知，， 即旋转中心为点， 故答案为． 20．在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，． (1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______． (2)如图②，直线与直线交于点． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． ②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______ 【答案】(1)； (2)①（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析；② 【分析】（1）线段与的数量关系是，位置关系是．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论； （2）①（1）中的两个结论仍然成立．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论； ②分两种情况：当点恰好在线段上时；当点恰好在线段上时，分别求出线段长度即可． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是，位置关系是, 理由：设交于点， ∵，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）①（1）中的两个结论仍然成立． 理由：∵，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图，当点恰好在线段上时，过点作于点， 由①知：，即，此时点与点重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 如图，当点恰好在线段上时， 由①知：， ∵，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴线段长度的取值范围是． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握全等三角形的判定和性质、通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图所示的是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据、两点的坐标， ①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置； ②点P的坐标为 ，点关于原点对称的点的坐标为 ； (2)若台阶有k级（每个台阶凸出的角的顶点记作且k为正整数）． ①直接用含k的代数式表示点的坐标； ②判断点是否在台阶上？说明理由； (3)把台阶上点到x轴的距离与点到y轴距离中的较小值称为的“短距”，若台阶中某一点的“短距”为1，直接写出该点的坐标． 【答案】(1)①图象见解析；②， (2)①；②不在，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，发现点的坐标规律是关键． （1）①根据点的坐标画出直角坐标系即可； ②根据坐标系直接写出点P和点关于原点对称的点的坐标即可； （2）①根据点的坐标规律，直接写出点P的坐标即可； ②将点坐标代入验证即可； （3）根据点的坐标规律直接写出“短距”为1的点的坐标即可． 【详解】（1）①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置如图所示： ②根据坐标系可得， 点关于原点对称的点的坐标为 故答案为：，． （2）① ②当时，解得， 则， 点不在台阶上． （3）点的“短距”为1， 故该点的坐标为． 22．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的动点，求四边形的面积的最大值和此时点的坐标； (3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)6，； (3)或． 【分析】（1）将、代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即得到抛物线的解析式为； （2）连接，作轴于点，设，则，由，求得，则四边形的面积的最大值为，此时； （3）先由线段绕点顺时针旋转，得到线段，得，，再分两种情况讨论，一是，即点在轴的正半轴上，将、分别代入，求出线段与抛物线有一个公共点时，的最小值和最大值，即得到此时的取值范围；二是，即点在轴的负半轴上，将、分别代入，求出线段与抛物线有一个公共点时，的最小值和最大值，即得到此时的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，连接，作轴于点，设，则， 当时，由，得，， ∴， ∴，， ∵点在第四象限内抛物线上， ∴， ∴， 即， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为，此时． （3）∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， 当时，如图， 当点在抛物线上，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当点在抛物线上，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线有一个公共点； 当时，如图， 当点在抛物线上，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 当点在抛物线上，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴当时，线段与抛物线有一个公共点， 综上所述，的取值范围是或 ． 【点睛】此题重点考查二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、旋转的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，第（2）小问关键在于运用函数解析式，第（3）小问关键在于确定，点的位置和坐标． 23．如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见解析 (4)的最大为12 【分析】（1）求出的长度，利用旋转的性质得出，进而求出的长度即可； （2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积； （3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出； （4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，， ，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值． 【详解】（1）解：当落在上时，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴每个内角都等于， ∵，由勾股定理得： ， 由旋转的性质可知：， ∴， 故答案为：2； （2）解：当点E落在上时，过点B作于点M，    在中，由勾股定理得： , ∵是直角三角形，， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：连接、，设与相交于点N，与相交于点P，    由旋转的性质知：，， ∴在等腰和等腰中得到：，， ∴， ∵， ∴， 即； （4）解：过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，    ∴， ， ∵ ∴， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， ∴当点三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算，属于中考压轴题，难度较大，在旋转的过程中，找到变化的量和不变的量，通过分析得出三点共线时．最大是解题的突破口． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可; ②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可； （2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解． 【详解】（1）①作图如图所示： 由P运动知，由旋转得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到． ②∵， ∴点A经过P运动后得到的点的坐标为 点A经过Q运动后得到的点的坐标为 ∵ ∴， ∴． （2）由题意可得： 由旋转的不变性和平移的性质得：，， 设，经过P运动，则，则； Q运动后，，， 则， ∴当时，线段与存在公共点， ∴， ∴． 25．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 试卷第2页，共35页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列现象属于旋转的是（    ） A．电梯的上下移动 B．飞机起飞后冲向空中的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 2．下列图标中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 4．对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 5．如图，中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（    ） A．4， B．2， C．2， D．3， 6．如图，在中，，，将斜边绕点顺时针旋转至，连接，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．18 D．36 7．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 8．在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转并放大得到等腰，且，再将绕原点O顺时针旋转并放大得到，且，依此规律，得到等腰，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，点为线段的中点，为直线上方的一点，且满足，连接，以为腰，为直角顶点作等腰，连接，当最大，且最大值为2时，的长为（    ）． A． B． C．4 D． 10．对于题目：“如图，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转即平移或旋转的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数”甲、乙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数． 甲：如图，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取． 乙：如图，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去：结果取． 下列正确的是（  ） A．甲的思路对，他的值错 B．乙的思路错，他的值对 C．甲和乙的思路都对 D．甲和乙的值都对 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，正方形网格中，绕某一点逆时针旋转n度后得到．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ． 12．二次函数的图像关于原点中心对称的图像表达式为 ． 13．正八边形绕着它的中心旋转，若旋转后的正八边形能与自身重合，则旋转角的度数最小是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，．将线段绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是 ． 15．如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    16．如图，边长为6的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，是等边内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接． 求： (1)旋转角的度数________； (2)线段的长_________； (3)求的度数． 18．如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，，， (1)依题意补全图形 (2)求证：； (3)若，求的度数． 19．在长度均为1的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知点A、B、C的坐标分别为、、． (1)将沿着x轴向左平移5个单位后得到，请在图中画出平移后的； (2)将绕着O顺时针旋转后得到，请在图中画出旋转后的，并直接写出的坐标； (3)将线段绕着某个定点旋转后得到（其中点A的对应点为点，点B的对应点为点）则这个定点的坐标是______． 20．在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，． (1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______． (2)如图②，直线与直线交于点． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． ②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图所示的是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高，点的坐标为，点的坐标为． (1)根据、两点的坐标， ①补画出x轴、y轴，并标出原点O的位置； ②点P的坐标为 ，点关于原点对称的点的坐标为 ； (2)若台阶有k级（每个台阶凸出的角的顶点记作且k为正整数）． ①直接用含k的代数式表示点的坐标； ②判断点是否在台阶上？说明理由； (3)把台阶上点到x轴的距离与点到y轴距离中的较小值称为的“短距”，若台阶中某一点的“短距”为1，直接写出该点的坐标． 22．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的动点，求四边形的面积的最大值和此时点的坐标； (3)点是轴上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，若线段与抛物线有一个公共点，结合函数图像，请直接写出的取值范围． 23．如图1，矩形中，，，将矩形绕着点B顺时针旋转，得到矩形．    (1)当点E落在上时，则线段的长度等于 ； (2)如图2，当点E落在上时，求的面积； (3)如图3，连接、、、，判断线段与的位置关系且说明理由； (4)在旋转过程中，请直接写出的最大值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 25．（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 试卷第2页，共35页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$