专题训练提升课件 2024-2025学年湘教版（2024）数学七年级上册

第4章　图形的认识 专题训练10　【专项整合】　线段与角的计算 湘教 七年级上册 利用分类讨论思想计算线段或角 1. [2023·大理期末]点A，B，C在同一条直线上，AB＝ 4 cm，BC＝2 cm，点O是AC的中点，则AO＝ ⁠ ⁠. 1 cm或 3 cm　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 全章整合与提升 2. 已知∠AOB＝60°，OM是∠AOB的平分线，∠BOC＝ 20°，ON是∠BOC的平分线，则∠MON的度数 为 ⁠. 40°或20°　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 利用设参数法计算线段或角 3. 已知线段AB，在AB的延长线上取一点C，使AC＝ 2BC，在AB的反向延长线上取一点D，使DA＝2AB， 那么线段AC的长度是线段DB长度的(　A　) A. B. C. D. A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 如图，点O是直线AB上一点，OM，ON在直线AB的异 侧，且∠MON＝90°，OE平分∠MOB，OF平分 ∠AON，则∠AOF与∠MOE的数量关系为 ⁠ ⁠. ∠MOE－ ∠AOF＝45°　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 点拨：设∠AOF＝θ.因为OF平分∠AON，所以∠AON ＝2θ.因为∠MON＝90°， 所以∠MOA＝90°－2θ， 所以∠BOM＝180°－(90°－2θ)＝90°＋2θ. 因为OE平分∠MOB， 所以∠MOE ∠BOM＝45°＋θ. 又因为θ＝∠AOF，所以∠MOE－∠AOF＝45°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 利用整体思想计算线段或角 5. 【中考趋势题】综合与探究 旧知回顾： (1)如图①，线段AB＝20 cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点. ①若AC＝8 cm，则线段DE的长为 cm. ②设AC＝m cm，则线段DE的长为 cm. 10　 10　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识迁移： (2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，若∠AOB ＝120°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分 ∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)因为射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC， 所以∠MOC ∠AOC，∠CON ∠BOC. 又因为∠AOB＝120°，所以∠MON＝∠MOC＋∠CON ∠AOB＝60°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 拓展探究： (3)已知∠COD在∠AOB内的位置如图③所示，∠AOB＝ α，∠COD＝30°，且∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝ 2∠BON，则∠MON的度数为 .(用含α的 代数式表示) α＋10°　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 利用方程思想计算线段或角 6. 如果一个角等于它的余角的2倍，那么这个角的度数是 (　B　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 如图，点A、B在线段EF上，点M、N分别是线段 EA、BF的中点，EA∶AB∶BF＝1∶2∶3，若MN＝8 cm， 则线段EF的长是(　C　) A. 10 cm B. 11 cm C. 12 cm D. 13 cm C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 线段或角中的动态问题 8. 知识准备： 数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，则A，B两点 之间的距离就是线段AB的长，且AB＝｜a－b｜，AB 的中点C表示的数为 (a＋b). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)线段AB的长为 ；线段AB的中点表示的数是 ⁠； 14　 3　 问题探究： 在数轴上，已知点A表示的数是－4，点B表示的数是10. (2)数轴上表示x和－5的两点之间的距离是 ⁠ ；若该距离是8，则x＝ ⁠； (3)若动点P从点A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动.经过多少秒，P，Q两点相距6个单位长度？ ｜x＋5｜ 3或－13　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：设运动时间为t s，则此时点P表示的数为－4＋6t，点Q表示的数为10－2t， 所以P，Q之间的距离为｜－4＋6t－(10－2t)｜ ＝｜－4＋6t－10＋2t｜＝｜8t－14｜. 由题意知｜8t－14｜＝6，解得t＝2.5或t＝1， 所以经过1 s或2.5 s，P，Q两点相距6个单位长度. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝ 65°，将一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在 点O处. (1)如图①，如果直角三角尺DOE的一边OD在射线OB上，那么∠COE的度数为 °； 25　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝ 65°，将一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在 点O处. (2)将图①中的直角三角尺DOE绕点O按逆时针 方向转动到如图②所示的位置，如果OC恰 好平分∠BOE，求∠COD的度数； 解：(2)因为∠BOC＝65°，OC平分∠BOE， 所以∠EOC＝∠BOC＝65°.因为∠DOE＝90°， 所以∠COD＝∠DOE－∠EOC＝90°－65°＝25°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝65°，将一个含30°角的直角三角尺的直角顶点放在 点O处. (3)如图③，将直角三角尺DOE绕点O任意转动，如果OD始终在∠BOC的内部，请用等式表示∠BOD和 ∠COE之间的数量关系，并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(3)∠COE－∠BOD＝25°. 理由：因为∠BOD＋∠COD＝∠BOC＝65°， ∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90°， 所以(∠COE＋∠COD)－(∠BOD＋∠COD) ＝∠COE＋∠COD－∠BOD－∠COD ＝∠COE－∠BOD ＝90°－65° ＝25°， 即∠COE－∠BOD＝25°. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$第4章　图形的认识 专题训练11　【一题多解】　 常见解决线段和角的问题的方法 湘教 七年级上册 利用和或差解决问题 1. 试用两种方法完成此题. 如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别 是AC，BD的中点，若AB＝24，CD＝10，求MN的长. 2 1 全章整合与提升 解法一：(可以尝试转化为线段的和来计算！) 因为AB＝24，CD＝10， 所以AC＋DB＝AB－CD＝24－10＝14. 因为M，N分别是AC，BD的中点， 所以MC＋DN (AC＋DB) ×14＝7. 所以MN＝MC＋DN＋CD＝7＋10＝17. 2 1 解法二：(可以尝试转化为线段的差来计算！) 因为AB＝24，CD＝10， 所以AC＋DB＝AB－CD＝24－10＝14. 因为M，N分别是AC，BD的中点， 所以AM＋BN (AC＋DB) ×14＝7， 所以MN＝AB－(AM＋BN)＝24－7＝17. 2 1 利用算术法或列方程解决问题 2. 试用两种方法完成此题. 如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，OD是 ∠AOB的平分线，∠AOC与∠BOC的度数比为3∶2，且 ∠DOC＝12°，求∠AOB的度数. 2 1 解法一：(可以尝试用常规的算术法来解决！) 因为∠AOC∶∠BOC＝3∶2，所以∠AOC ∠BOC. 因为∠AOB＝∠AOC＋∠BOC，所以∠AOB ∠BOC. 因为OD平分∠AOB，所以∠AOB＝2∠BOD， 所以2∠BOD ∠BOC. 又因为∠COD＝∠BOD－∠BOC， 所以∠BOD＝5∠COD. 因为∠COD＝12°， 所以∠BOD＝60°，所以∠AOB＝2∠BOD＝120°. 2 1 解法二：(可以尝试用方程来解决！) 因为∠AOC∶∠BOC＝3∶2， 所以可设∠AOC °，则∠BOC °， 所以∠AOB＝∠AOC＋∠BOC °. 因为OD平分∠AOB，所以∠AOD °. 因为∠COD＝12°且∠COD＝∠AOC－∠AOD， 所以3x－2.5x＝12，解得x＝24， 所以∠AOB＝(5×24)°＝120°. 2 1 $$第4章　图形的认识 专题训练12　【综合与实践】　 七巧板中的几何问题 湘教 七年级上册 【项目主题】 探索七巧板的几何组成及其在图形拼接中的应用. 全章整合与提升 【项目背景】 我们熟知的七巧板，是由宋代黄伯思设计的“燕几图”(“燕几”就是“宴几”，也就是宴请宾客的案几)演变而来的.到了明代，严澄将“燕几图”里的方形案几改为直角梯形、三角形等，发明了“蝶翅几”.而到了清代初期，在“燕几图”和“蝶翅几”的基础上，兼有三角形、正方形 和平行四边形，能拼出更加生动、多样图案的 七巧板就问世了(如图①网格中所示). 【驱动任务】通过实际操作七巧板，了解其几何特性，并完 成特定图形的拼接任务. 【研究步骤】 (1)若正方形网格的边长为1，则图①中七巧板 的七块拼板的总面积为 ⁠； 8　 (2)使用图①中的七巧板可以拼出一个轮廓如图②所示的长方 形，请在图②中画出拼图方法(要求：画出各块拼板的轮 廓)； 解：如图②(答案不唯一). (3)随着七巧板的发展，出现了一些形式不同的七巧板，如图 ③所示的是另一种七巧板.利用图③中的七巧板可以拼出 一个轮廓如图④所示的图形(大正方形的中间去掉一个小 正方形)，请在图④中画出拼图的方法(要求：画出各块拼 板的轮廓). 解：如图④(答案不唯一). (4)分析(1)(2)(3)，尝试找出七巧板几何上的规律(写出一条即 可). 解：七巧板的拼接遵循面积守恒原则，即无论怎样组合，总面积不变.(答案不唯一) 【创新拼接】 选择一个你感兴趣的图形(如动物或植物)，使用七巧板进行 拼接，并描述你的拼接过程. 解：略. 【报告撰写】将你的拼接过程、发现的几何规律和创新拼接 的图形整理成一份报告，展示你的理解和创造力. 解：略. $$第1章　有理数 专题训练1　【方法整合】　 有理数大小比较的常用方法 湘教 七年级上册 利用法则比较有理数的大小 1. [2024年1月宁波期末]在2，－3，0， 四个数中，最大的 数是(　A　) A. 2 B. －3 C. 0 D. A 2 3 4 5 6 7 1 全章整合与提升 2. 下列各数中，比－1大的数是(　D　) A. －3 B. －2 C. －1 D. 0 D 2 3 4 5 6 7 1 3. [2023·岳阳汨罗期中]把－(－1)，－ ，－ ，0用 “＞”连起来的式子正确的是(　D　) D A. 0＞－(－1)＞－ ＞－ B. －(－1)＞0＞－ ＞－ C. 0＞－ ＞－ ＞－(－1) D. －(－1)＞0＞－ ＞－ 2 3 4 5 6 7 1 4. [2023·长沙开福区期中]下列式子：①－(－21)＜＋(－21)；②－ ＞8 ；③－ ＜－ ；④＋ ＜＋ .其中正确的有 (填序号). ③④　 2 3 4 5 6 7 1 利用数轴比较有理数的大小 5. 有理数a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，下列结 论错误的是(　D　) A. a＜0 B. b＞0 C. a＜b D. －a＜b D 2 3 4 5 6 7 1 6. [2024·长沙月考]如图是一条不完整的数轴，请将它补 画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点，并将对 应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用 “＜”连接起来. A：2；B：－1.5；C：300％；D：－ ；E：－ . 2 3 4 5 6 7 1 解：300％＝3，－ ，－ － . 如图所示. －1.5＜－ ＜－ ＜2＜300％. 2 3 4 5 6 7 1 利用特殊值法比较有理数的大小 7. 若a＞1，则｜a｜，－a， 的大小关系正确的是(　C　) A. ｜a｜＞－a＞ B. ＞－a＞｜a｜ C. ｜a｜＞ ＞－a D. －a＞｜a｜＞ C 2 3 4 5 6 7 1 (1)因为a＞1， 所以可取a＝2，则｜a｜＝ ，－a＝ ，  　 　. (2)当a＝2时，｜a｜，－a， 的大小关系为 ⁠ ⁠. 2　 －2　 　 ｜a｜＞ ＞－a　 思路导航： 2 3 4 5 6 7 1 如果a是小于1的正数，那么将a， ，－a，－ 用 “＜”连接起来，正确的是(　D　) D A. －a＜－ ＜ ＜a B. ＜－a＜a＜－ C. － ＜a＜－a＜ D. － ＜－a＜a＜ $$第1章　有理数 专题训练2　【易错整合】　 有理数中的几种易错类型 湘教 七年级上册 对有理数的概念理解不清 1. 下列说法正确的是(　D　) A. 最小的整数是0 B. 有理数分为正数和负数 C. 只有1的倒数等于它本身 D. 有理数的绝对值一定是非负数 D 2 3 4 5 6 7 8 9 1 全章整合与提升 2. 下列各数：0，－3.14，－ ，－(＋5)，－1 ，－1.6， － 中，分数有(　C　) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 对0的认识不全面 3. [2024·长沙月考]下列有关“0”的叙述中，错误的是(　B　) A. 不是正数，也不是负数 B. 是最小的有理数 C. 是整数，也是有理数 D. 不是负数，是有理数 B 2 3 4 5 6 7 8 9 1 4. 下列说法中，正确的有 .(填序号) ①0可以表示没有，也可以表示具体的意义；②0是最小的 正整数；③0 ℃是零上温度和零下温度的分界线；④0常 用来表示某种量的基准. ①③④　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 忽略分类讨论致错 5. [2024·绍兴月考]若｜－x｜＝3，则x＝(　C　) A. 3 B. －3 C. 3或－3 D. 或－ 思路导航： ｜a｜＝b(b＞0)→①a＝b(a＞0)或②a＝－b(a＜0). C 2 3 4 5 6 7 8 9 1 [2023·岳阳月考]若｜－a｜＝｜－6｜，则a＝ ⁠. 6或－6　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. [2024·广州天河区月考]在数轴上，点A表示的数是－3， 从点A出发，沿数轴移动2个单位长度到达点B，则点B 表示的数是 ⁠. 易错点睛：在数轴上移动存在向右移动和向左移动两种情况，此题容易只考虑一种情况而致错. －1或－5　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. [2023·邵阳期末]若有理数x，y，z满足xy＜0，yz＞0，并且｜x｜＝3，｜y｜＝2，｜z＋1｜＝2，求x＋y＋z的值. 解：因为xy＜0，yz＞0，所以x，y异号，y，z同号， 因为｜x｜＝3，｜y｜＝2，｜z＋1｜＝2， 所以当x＞0，y＜0，z＜0时，x＝3，y＝－2，z＝－3， 所以x＋y＋z＝3－2－3＝－2. 当x＜0，y＞0，z＞0时，x＝－3，y＝2，z＝1， 所以x＋y＋z＝－3＋2＋1＝0.所以x＋y＋z的值是0或－2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 混合运算中错误使用运算律或运算顺序出错 8. 计算：(1)－81÷ × ÷(－16)； 解：原式＝－81× × ×(－ )＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)(－5)－(－5)× ÷ ×(－5). 解：原式＝(－5)－(－5)× ×10×(－5) ＝(－5)－25＝－30. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 计算：24÷ . 解：原式＝24÷ 24÷ 576. 易错点睛：解本题时往往会出现将分配律运用到除法运算中，从而出现“原式＝24÷ －24÷ －24÷ 72－192 －144＝－264”这样的错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $$湘教七年级上册 第2章{ 代数式 专题训练3 【单点练透】 利用整体思想求代数式的值 全章整合与提升 思维模型 将已知条件 倍数提取 在所求代数式与 看成整体 括号添加 已知间建立联系 1.2024·广安中考1若x2一2x一3=0，则2x2一4x十1=7 123456 2.已知2-5M-1=0,则5(1+2a)-22=3. 123456 3.已知多项式3十b3十cx十9，当x=一1时，多项式的值 为17，则当x=1时该多项式的值是1 12 345 4.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为5， 则x一a+b+cd)+a 2= 4或-6. 123 45 6 5.已知2+b2=6,b=-2,求(4a2+3ab-b2)-(7a2- 5ab+2b2)的值， 解：原式=42+3ab-b2-72+5ab-2b2 =-32+8ab-3b2=-3(a2+b2)+8ab. 因为2十b2=6,b=-2, 所以原式=一3×6+8×（一2）=一34. 123456 6.已知Ix+y-21+(y+3)2=0,求c+y)一[y一2y) 一x]一（一y)的值 ◆以练代讲 (1)1x+y-21≥0，y+3)2≥0： (2)根据|x+y一21+y十3)2=0可得x+y=2,y =一3； 12345 6 6.已知Ix+y一2|+(y+3)2=0,求x+y)一[y一2y) 一x一（一y)的值. 3)化简c+y)一[y一2y)一x]一（一y): 解：原式=x+y一y-2y一x)十y =x十y-y+2y十x+ =2x十2y+y =2x+y)+y. 12345 6 6.已知Ix+y一2|+(y十3)2=0，求x+y)一[y一2y) 一x一（一y)的值 (4)将x十y、y代入化简的结果. 解：因为x十y=2,y=一3， 所以原式=2x十y)十y =2×2十(-3) =1. 123456第2章　代数式 专题训练4　【专项整合】　 整式加减运算的应用 湘教 七年级上册 化简结果不含特定的项或值与某字母无关的情形 1. [2024·长沙月考]已知A＝m2－mn－3n2，B＝2m2－mn－2n2. (1)化简5A－(3A＋3B)； 解：(1)5A－(3A＋3B)＝5A－3A－3B＝2A－3B＝2(m2－mn－3n2)－3(2m2－mn－2n2)＝2m2－2mn－6n2－6m2＋3mn＋6n2＝－4m2＋mn. (2)若(2x2＋mx－y＋5)－(2nx2－3x＋4y－3)的值不含有字母x的项，求5A－(3A＋3B)的值. 2 3 4 1 全章整合与提升 解：(2)(2x2＋mx－y＋5)－(2nx2－3x＋4y－3)＝2x2＋mx－y＋5－2nx2＋3x－4y＋3＝(2－2n)x2＋(m＋3)x－5y＋8. 因为(2x2＋mx－y＋5)－(2nx2－3x＋4y－3)的值不含有字母x的项，所以2－2n＝0，m＋3＝0， 解得n＝1，m＝－3，所以5A－(3A＋3B)＝－4m2＋mn＝ －4×(－3)2＋(－3)×1＝－36－3＝－39. 2 3 4 1 2. [2023·邢台期末]一道题目“化简并求值(□m2＋3m－4)－(3m＋4m2－2)，其中m＝－1.”不小心被污损了，系数 “□”看不清楚了. (1)如果嘉嘉把“□”处的数值看成2，化简并求值(2m2＋3m－4)－(3m＋4m2－2)，其中m＝－1； 解：(1)原式＝2m2＋3m－4－3m－4m2＋2＝2m2－4m2＋3m－3m－4＋2＝－2m2－2，当m＝－1时，原式＝－2×(－1)2－2＝－2－2＝－4. 2 3 4 1 (2)若无论m取何值，这个整式的值都是－2，请通过计算确定“□”处的数值. 解：(2)(□m2＋3m－4)－(3m＋4m2－2)＝□m2＋3m－4－3m－4m2＋2＝(□－4)m2－2， 由题意知□－4＝0，解得□＝4，所以“□”处的数为4. 2. [2023·邢台期末]一道题目“化简并求值(□m2＋3m－4)－(3m＋4m2－2)，其中m＝－1.”不小心被污损了，系数 “□”看不清楚了. 2 3 4 1 看错运算符号或系数问题 3. [2024·北京月考]由于看错了运算符号，某学生把一个多项 式减去x2＋6x－6误当成了加法计算，结果得到2x2－2x ＋3，则正确的结果是多少？ 解：根据题意得，这个多项式为2x2－2x＋3－(x2＋6x－6)＝2x2－2x＋3－x2－6x＋6＝x2－8x＋9， 所以正确的结果是x2－8x＋9－(x2＋6x－6)＝x2－8x＋9－x2－6x＋6＝－14x＋15. 2 3 4 1 4. 一名同学做一道题：已知两个多项式A，B，…，计算2A＋B. 他误将“2A＋B”看成“A＋2B”，求得的结果为9x2－2x＋7.已知B＝x2＋3x－2，求正确的结果. 解：根据题意，得A＝9x2－2x＋7－2(x2＋3x－2) ＝9x2－2x＋7－2x2－6x＋4 ＝7x2－8x＋11， 所以2A＋B＝2(7x2－8x＋11)＋x2＋3x－2＝14x2－16x＋22＋x2＋3x－2＝15x2－13x＋20， 即正确的结果为15x2－13x＋20. 2 3 4 1 $$第2章　代数式 专题训练5　【综合与实践】　 做两个大小不同的长方体纸盒 湘教 七年级上册 某校数学活动小组要研究如何用数学思维分析问题和解决问 题，刘丽同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下： 填写人：刘丽 实践活动报告时间：2024年××月××日 全章整合与提升 【研究题目】做两个大小不同的长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)： 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 2a 3b 4c (1)做大小两个纸盒各一个共用料多少平方厘米？ (2)做一个小纸盒比做一个大纸盒少用料多少平方厘米？ 按如下步骤完成此题目的实践研究： 活动任务：用数学思维分析问题和解决问题. [步骤一] 解析题意 回忆学过的有关“长方体”的数学知识： ⁠； “用料多少平方厘米？”在本题中从数学的角度理解就是 ⁠ ⁠； 所以解决本题应用的数学公式为 ⁠ ⁠. 长方体表面积和体积公式　 求长方体(纸盒)的表面积 长方体的表面 积＝长×宽×2＋宽×高×2＋长×高×2 [步骤二]获得信息和加工 信息 做小纸盒的用料就是求 ⁠ ，列式为 ⁠； 做一个小纸盒比做一个大纸盒少用料多少平 方厘米就是求 ⁠ ，列式为 ⁠ .本题用到的数学知识 有 ⁠. 小长方体(纸盒)的 表面积　 2ab＋2bc＋2ac　 大小长方体(纸盒)的表面积 的差　 (12ab＋24bc＋16ac)－ (2ab＋2bc＋2ac)　 整式的加减运算　 [步骤三] 程序定制 1.语句解析→关键词→相关的数学知识搜索； 2.加工信息→写出获得的信息→整合获得的信息→列出代数式； 3.总结反思用到的数学知识与数学方法(思想)； 4.形成数学学习经验. [步骤四]数学语言表达(完整写出本题的解题过程)： 解：(1)(2ab＋2ac＋2bc)＋(12ab＋24bc＋16ac)＝2ab＋ 2ac＋2bc＋12ab＋24bc＋16ac＝14ab＋26bc＋18ac(cm2). 答：做大小两个纸盒各一个共用料(14ab＋26bc＋18ac)cm2. (2)(12ab＋24bc＋16ac)－(2ab＋2ac＋2bc)＝12ab＋24bc＋ 16ac－2ab－2ac－2bc＝10ab＋22bc＋14ac(cm2). 答：做一个小纸盒比做一个大纸盒少用料(10ab＋22bc＋ 14ac)cm2. $$第3章　一次方程(组) 专题训练6　【方法整合】　 分析一元一次方程实际问题常见方法 湘教 七年级上册 直接找等量关系 1. 售价＝标价×折扣； 利润＝售价－进价＝进价×利润率 2. 速度×时间＝路程； 工作效率×工作时间＝工作总量 3. 抓住关键词：“比……多(少)”“是……的几倍” 4. 抓住关键联系：用不同方式表示同一个量，寻找等 量关系 全章整合与提升 1. 学校把一些图书分给某班学生阅读，若每人分4本，则剩 余30本；若每人分5本，则还缺15本.这个班共有多少名学 生？图书有多少本？ 思路导航： 4x＋30　　　 5x－15 2 3 1 解：设这个班共有x名学生. 根据题意，得4x＋30＝5x－15， 解得x＝45，则4x＋30＝210. 答：这个班共有45名学生，图书有210本. 2 3 1 随着经济复苏，旅游业也越来越火，某工厂接到一批兵马俑 纪念品的生产任务，景点要求6天内完成.若工厂安排10位工 人生产，则6天后会剩余1 200套兵马俑纪念品未生产；若工 厂安排15位工人生产，则恰好能提前1天完成生产任务，每 位工人每天可以生产多少套兵马俑纪念品？ 解：设每位工人每天可以生产x套兵马俑纪念品. 由题意，得6×10x＋1 200＝15x×(6－1)， 解得x＝80. 答：每位工人每天可以生产80套兵马俑纪念品. 画线段图分析法 2. 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行 40 km，经过3 h，快车已驶过中点25 km，这时快车与慢车还相距7 km，慢车每小时行多少千米？ 思路导航： 2 3 1 解：设慢车每小时行x km，根据题意，得 40×3－25＝3x＋7＋25，解得x＝21， 答：慢车每小时行21 km. 2 3 1 A、B两地相距31 km，甲从A地骑自行车去B地，1 h后乙骑 摩托车也从A地去B地.已知甲每小时行驶12 km，乙每小时 行驶 28 km. (1)问乙出发后多少小时追上甲？ 解：(1)设乙出发后x h追上甲， 由题意，得12 28x，解得x . 答：乙出发后 h追上甲. (2)若乙到达B地后立即返回，则乙在返回路上与甲相遇时距 乙出发多长时间？ 解：(2)设乙在返回路上与甲相遇时距乙出发y h，由题意，得12 ＋28y＝31×2，解得y . 答：乙在返回路上与甲相遇时距乙出发 h. A、B两地相距31 km，甲从A地骑自行车去B地，1 h后乙骑 摩托车也从A地去B地.已知甲每小时行驶12 km，乙每小时 行驶 28 km. 列表格分析法 3. 3月12日是植树节，为贯彻“绿水青山就是金山银山”的生态理念，学校组织植树活动.已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数比在乙处植树的人数的2倍多3，求应调往甲处的人数. 对于数量关系较复杂的题目可以通过列表格的方法进行梳理. 2 3 1 地点 甲 乙 原有人数 23 17 增加人数 x 20－x 增加后人数 23＋x 17＋20－x 23 17 20－x 23＋x 17＋20－x 设应调往甲处的人数为x. 2 3 1 甲增加后的人数＝2×乙增加后的人数＋3， 按上面的思路继续解题： 解：23＋x＝2(17＋20－x)＋3，解得x＝18. 答：应调往甲处的人数为18. 2 3 1 1. 欢乐百货商场用18 000元购进了衬衫和卫衣共200件，已 知每件衬衫的进价为100元，每件卫衣的进价为80元. (1)求欢乐百货商场购进了衬衫和卫衣各多少件； 解：(1)设欢乐百货商场购进了衬衫x件，则购进了卫衣(200－x)件，根据题意，得100x＋80(200－x)＝18 000，解得x＝100，所以200－x＝200－100＝100. 答：欢乐百货商场购进了衬衫100件，卫衣100件. 2 1 1. 欢乐百货商场用18 000元购进了衬衫和卫衣共200件，已 知每件衬衫的进价为100元，每件卫衣的进价为80元. (2)最初，该商场以每件160元的价格售出了衬衫40件，并且在进价基础上提价50％销售卫衣，由于款式受欢迎迅速售罄.随后，在迎春大促销期间，商场决定降价销售剩余的衬衫，设降价后每件衬衫的售价为m元，若通过这次促销活动使得衬衫和卫衣全部售出后正好获得8 200元的利润，请求出m的值. 2 1 解：(2)根据题意，得(160－100)×40＋(m－100)×(100－40)＋80×50％×100＝8 200， 解得m＝130. 答：m的值为130. 2 1 2. 合肥园博园在开园的时候汇聚了31个国内展园和7个国际 展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术.自开 园以来，受到广大市民和全国游客的热烈欢迎，成为又一 打卡地.据统计，某日A入口比B入口入园游客多1.2万人. 第二天A入口入园游客增加了10％，B入口入园游客减少 了10％，当天A、B入口入园游客总人数增加了3％，试求 第二天A、B入口入园游客的人数各是多少. 2 1 解：设某日A入口入园游客有x万人，则B入口入园游客有(x－1.2)万人，第二天A入口入园游客有(1＋10％)x万人， B入口入园游客有(1－10％)(x－1.2)万人， 根据题意，得(1＋10％)x＋(1－10％)(x－1.2)＝(1＋3％)[x＋(x－1.2)]， 整理，得2x－1.08＝2.06x－1.236，解得x＝2.6， 则(1＋10％)×2.6＝2.86(万人)，(1－10％)×(2.6－1.2)＝1.26(万人). 答：第二天A入口入园游客的人数为2.86万，B入口入园游客的人数为1.26万. 2 1 $$第3章　一次方程(组) 专题训练7　【专项整合】　 整体思想解决方程组问题 湘教 七年级上册 两个方程直接相加或相减得式子的值 1. [2024·石家庄月考]已知x，y满足方程组则 3x＋y的值为 ⁠. 8　 2 3 4 5 6 1 全章整合与提升 2. [2024年1月成都期末]已知关于x，y的二元一次方程组 则4x＋y的值为 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 1 两个方程相加(减)后再除以一个系数得式子的值 3. 已知则a－b＝ ⁠. 2　 2 3 4 5 6 1 4. [2024·济南月考]若关于x，y的二元一次方程组 的解为则a－b的值为 ⁠. －3　 点拨：因为关于x，y的二元一次方程组的解为所以①－②，得2a－2b＝－6，所以a－b＝－3. 2 3 4 5 6 1 5. 阅读材料“轮换式方程组的解法”，然后解题. 材料：解方程组 解：将①＋②，得4 004(x＋y)＝12 012，即x＋y＝3，③ 将②－①，得2(x－y)＝2，即x－y＝1④. 将③＋④，得2x＝4，即x＝2. 将x＝2代入③，得2＋y＝3，即y＝1， 所以原方程组的解为 按照上述方法：解方程组 2 3 4 5 6 1 解：将①＋②，得5(a＋b)＝25，即a＋b＝5.③ 将②－①，得a－b＝1.④ 将③＋④，得2a＝6，即a＝3. 将a＝3代入③，得3＋b＝5，即b＝2， 所以原方程组的解为 2 3 4 5 6 1 整体代换解方程组 6. [2024·长沙月考]善于思考的乐乐在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法. 解：将②变形，得－4x－6y－y＝－12， 即－2(2x＋3y)－y＝－12，③ 2 3 4 5 6 1 把①代入③，得－2×10－y＝－12， 解得y＝－8， 把y＝－8代入①，得2x＋3×(－8)＝10， 解得x＝17，所以方程组的解为 根据上述材料，用“整体代换”的方法解方程组 2 3 4 5 6 1 解： 将②变形，得3(x－5y)＋2y＝8，③ 把①代入③，得3×3＋2y＝8，解得y＝－ ， 把y＝－ 代入①，得x－5× 3， 解得x ，所以方程组的解为 2 3 4 5 6 1 $$第3章　一次方程(组) 专题训练8　【专项整合】　 与二元一次方程(组)有关的参数问题 湘教 七年级上册 直接根据解的概念代入方程(组)求参数值 1. 若是关于x，y的二元一次方程y＝kx＋5的一个 解，则k的值为 ⁠. －2　 2 3 4 5 6 7 8 1 全章整合与提升 2. 已知是方程4x－3y＝3的一个解，则a的值 是 ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 1 3. [2024·岳阳月考]已知和都是关于x，y的 二元一次方程ax－y＝b的解，则a，b的值分别是 (　C　) A. －5，2 B. 5，－2 C. 5，2 D. 以上都不对 C 2 3 4 5 6 7 8 1 被遮挡或错解问题中求参数的值 4. 甲、乙两人同解方程组由于甲看错了 方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方 程②中的b，得到方程组的解为则a＋b＝ ⁠. 4　 2 3 4 5 6 7 8 1 点拨：依题意，将代入②中， 将代入①中，得 解得 所以a＋b＝1＋3＝4. 2 3 4 5 6 7 8 1 根据方程组同解求参数值 5. 已知方程组和的解相同，则 2n－m＝ ⁠. 14　 2 3 4 5 6 7 8 1 根据解的关系求参数值 6. [2023·内江月考]已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是 ⁠. 1　 2 3 4 5 6 7 8 1 7. [2024·深圳月考]若关于x，y的二元一次方程组的解也是x＋2y＝12的解，则k的值为 ⁠. 点拨： ①－②，得x＋2y＝3k. 又因为x＋2y＝12，所以3k＝12，解得k＝4. 4　 2 3 4 5 6 7 8 1 根据解的情况求参数值 8. 已知关于x，y的方程组 (1)写出方程x＋2y＝6的所有正整数解； 解：(1)方程x＋2y＝6的正整数解有 2 3 4 5 6 7 8 1 (2)如果方程组有整数解，求整数m的值. 8. 已知关于x，y的方程组 2 3 4 5 6 7 8 1 解：(2) ①＋②，得3x＋mx＝14，所以x . 因为方程组有整数解，且m是整数， 所以3＋m＝±1，3＋m＝±2，3＋m＝±7，3＋m＝±14， 所以m＝－2，－4，－1，－5，4，－10，11或－17.将m的值依次代入方程组，检验此时方程组是否有整数解. 经检验，整数m的值为－2或－4或－10或4时符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 1 $$第3章　一次方程(组) 专题训练9　【综合与实践】　古诗文中的数学 湘教 七年级上册 1. 索竿之长 一支竿子一条索，索比竿子长一托.对折索子来量竿， 却比竿子短一托.竿与索长各几何？ [一题多解]一元一次方程： 解：设索长x托，则竿子长(x－1)托. 由题意得，(x－1)－ 1，解得x＝4.则x－1＝3. 2 3 4 5 1 《算法统宗》介绍 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著. 它是一部应用数学书，列有595个应用题计算. 全章整合与提升 二元一次方程组： 解：设索长x托，竿子长y托. 由题意得，解得 答：索长4托，竿子长3托. 2 3 4 5 1 2. 客人分银 隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两， 九两分之少半斤.问客有几位，银有几两？ 《算法统宗》介绍 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著. 它是一部应用数学书，列有595个应用题计算. 解：设客有x位， 由题意得，7x＋4＝9x－8， 解得x＝6.7x＋4＝46. 答：客有6位，银有46两. 2 3 4 5 1 3. 哪吒斗夜叉 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒；两处争强来斗胜， 不相胜负正交加；三十六头齐出动，一百零八手相抓； 旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？ 哪吒，中国古代神话传说人物之一.对于其角色的记载源于元代《三教搜神大全》，活跃于明代古典小说《西游记》《封神演义》等多部文学作品中.在《九章算术比类大全》中记载了一首关于哪吒战夜叉的古诗. 2 3 4 5 1 解：设有x个夜叉，y个哪吒. 由题意得，解得 答：有6个夜叉，10个哪吒. 2 3 4 5 1 4. 隔溪牧羊 甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只， 多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样； 问甲乙各几羊，让你算个半晌. 《张丘建算经》介绍 中国古代数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题求解等. 2 3 4 5 1 解：设甲有x只羊，乙有y只羊. 由题意得，解得 答：甲有63只羊，乙有45只羊. 2 3 4 5 1 5. 周瑜寿多少 而立之年督东吴，早逝英年两位数； 十比个位正小三，个位六倍与寿符； 哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？ 周瑜，东汉末年名将，长壮有姿貌、精音律，江东有“曲有误，周郎顾”之语.21岁起随孙策奔赴战场平定江东，后追随孙权然而天妒英才，英年早逝. 2 3 4 5 1 解：设周瑜寿命的十位数字是x，个位数字是y，则 解得 答：周瑜寿命为36岁. 2 3 4 5 1 $$